饮酒驾车问题的数学模型(原稿).doc

饮酒驾车问题的数学模型【摘要】本问题是生活中的饮酒驾车问题，酒精对人体的作用过程实际上类似于生物医学中的药用过程，针对饮酒方式的不同，本文将饮酒过程分成快速饮酒、某时间段内匀速饮酒和周期饮酒三种形式来讨论。并分别建立了一室快速饮酒、二室匀速饮酒以及周期饮酒三种系统动力学模型，并运用非线性最小二乘法进行数据拟合得到相关参数,从而得到了血液中酒精含量与时间的函数关系。结合模型，运用MATLAB工具得到了快速饮用三瓶啤酒时的违规时间分布，t:0.0650.24小时内饮酒驾车；t:0.244.5小时内醉酒驾车；t:4.512小时内饮酒驾车。结合模型，得到了在2个小时内均匀饮用三瓶啤酒的违规时间分布，t:24.5小时内为醉酒驾车；当t为4.5-12小时为饮酒驾车。模型的建立,使问题一以及问题三得到了较为确切的解释。【关键词】动力学 吸收速率 消除速率 模型一、问题重述在2003年全国道路交通事故死亡人数中，饮酒驾车造成的占有相当比例，为此，国家发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验国家标准。在新标准下，大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合标准，接着晚上又喝了一瓶，但凌晨2点检查时却被定为饮酒驾车，为什么喝同样多的酒，两次检查结果不一样？建立饮酒时人体内酒精含量与时间关系的数学模型，并讨论快速或慢速饮3瓶啤酒在多长时间内驾车就会违反新标准，估计血液中的酒精含量在什么时间最高，如果某人天天喝酒，是否还能开车，并根据你所做的结合新国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。二、符号说明及模型假设2.1符号说明-人体饮入酒精总量t-饮用酒的时间-t时刻血液中的酒精量-t时刻人体吸收的酒精量M-人的体重-人的体液占人的体重的百分含量-人的血液占人体重的百分含量-酒精在人体中的吸收速率常数1-酒精在人体中的消除速率常数1-t时刻血液中的酒精浓度F-酒精在人体中的吸收度V-人体的血液体积V酒-喝酒的体积-酒中的酒精含量-饮酒持续时间2.2基本假设1. 酒精在血液中的含量与在体液中的含量大至相同；2. 每瓶啤酒的酒精含量、体积基本相同；3. 酒精进入人体后，不考虑其他因素对酒精的分解作用；4. 如果在很短时间内饮酒，认为是一次性饮入，中间的时间差不计；5. 确定是否饮酒驾车或醉酒驾车以新的国家标准为界；6. 不管喝的是什么酒，只以涉入的酒精总量纳入计算；7. 酒精按一级吸收过程进入体内；8. 正常情况下，酒精在各人体中的吸收和消除速率基本相同；9. 将慢速饮酒看作是一个匀速过程。三、问题分析与模型建立3.1模型（快速饮酒模型）同药物一样，酒精进入机体后，作用于机体而影响某些器官组织的功能；另一方面酒精在机体的影响下，可以发生一系列的运动和体内过程：自用药部位被吸收进入血液循环；然后分布于各器官组织、组织间隙或细胞内；有部分酒精则在血浆、组织中与蛋白质结合；或在各组织（主要是肝脏）发生化学反应而被代谢；最后，酒精可通过各种途径离开机体（排泄）；即吸收、分布、代谢和排泄过程。它们可归纳为两大方面：一是酒精在体内位置的变化，即酒精的转运，如吸收、分布、排泄；二是酒精的化学结构的改变，即酒精的转化亦即狭义的代谢。由于转运和转化以致形成酒精在体内的量或浓度（血浆内、组织内）的变化，而且这一变化可随时间推移而发生动态变化。又因为酒精有促进血液循环的作用2。而药物动力学模型中的一室模型3是指给药后，药物一经进入血液循环，即均匀分布至全身,故快速饮酒情况可通过建立一室模型求解。虽然酒精在体内的分布状况复杂，但酒精的吸收、分解等则都在系统内部进行，酒精进入人体后，经一段时间进入血液，进入血液后，当在血液中达最高浓度时，随后开始消除3，把酒精在体内的代谢过程看为进与出的过程，这样便会使问题得到简化。用和分别表示酒精输入速率和输出速率。由于单位时间内血液中酒精的改变即变化率就等于输入与输出速率之差，所以其动力学模型为：=- （1）又因为酒精在血液中的消除速率与当时血液内的药量成正比，所以=kt，代入（1）式得： =-kt （2）则由（2）式可知x(t)的变化规律由饮酒速率而定。而酒精在人体内的代谢可简单的由图一表示：Fx0吸收室x1(t)kx(t)V (图一)则t时刻吸收室的药量为x1(t)，又药物是按一级吸收过程进入体内的，对于吸收室有： =-k1x1 (3)对于房室，=，于是（2）式变为： （4）（3）、（4）两式构成一阶线性方程组，当t=0时，x(0)=0,解（2）式得：，将其代入（4）式得一阶线性非齐次方程：解之得：从而，人体内酒精含量为：在这种情况下，酒精含量最大值出现的时间：使时t的值。一般情况下，又因为酒精在血液中的含量与在体液中的含量大至相同。则有： (F为常数且0F0为吸收速率常数，其解为： 当时，由于经过时间间隔T，又第二次饮酒，饮入量为，所以时类似有，当时，酒精含量为：并且当时，又第三次饮酒，饮酒量仍为，所以， 那么当时，体内酒精浓度应为：按此类推，则当时，体内酒精浓度达到： （2）（2）式的右边为一等比数列之和，利用等比数列求和得： 当时，根据自己要求，如果我们需要酒精含量接近时，我们近似地有如果间隔时间T确定，那么饮入酒精量可由： （3）体内酒精的分布可由图六看出多饮几次酒后，体内酒精浓度缓慢趋于极限值。（图六）由上模型，代入参数计算，也可以解决问题一，取T=6时，酒精含量为19.98毫克/毫升，取=12时，酒精含量为27.6毫克/毫升。此结果与前面用一次模型求解的结果吻合，这样更全而的解释了相等饮量，间隔相等时间，前次达标，而后一次超标的原因。运用此模型，更方便解决天天饮酒是否能驾车的问题，令T=24，毫克/百毫升，代入（3）式得，毫克，也就是说只要每天的饮酒量小于20000毫克就不会出现违规情况，可以驾车；令毫克/百毫升，毫克，即饮酒量大于80000毫克时就会出现醉酒驾车情况，就不能驾车。当每饮酒量为20000 x0=1 1; x=leastsq(fun,x0);7、JM2004C7.mc=306875828277686858515041 3835282518151210774;A=79.4908;a=0.1234;t=0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16;f=c-A*exp(-a*t);8、JM2004C8.mfunction s=b002(z)f=-47.0759 -6.7345 2.5359 11.7373 15.9415 14.8941 9.6102 13.1040 6.3887 2.4768 4.3802 -1.8901 0.0890 1.4901 -1.6197 -1.1812 -5.1418 -5.4553 -6.0806 -5.9817 -7.1263 -5.4864 -7.0369;t=0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16;s=f-exp(log(z(1)-z(2)*t); z0=0 1; z=leastsq(b002,z0)9、JM2004C9.mA=79.4908;a=0.1234;B=-28.0251 + 0.0000i; b= 2.1096