大学物理教程上册第5章作业答案.pdf

第5章 刚体力学 部分作业答案 第5章 刚体力学 部分作业答案 5-4 一个半圆形薄板的质量为m、半径为R，当它绕着它的 直径边转动时，其转动惯量是多大？ 5-4 一个半圆形薄板的质量为m、半径为R，当它绕着它的 直径边转动时，其转动惯量是多大？ 解：薄板的面密度为 质量元 由质量连续分布刚体转动惯量公式 解：薄板的面密度为 质量元 由质量连续分布刚体转动惯量公式 x y -RRO d r dr 22 1 2 2mm RR ()dmrddr 2 Jr dm 质量元与转轴的距离为 质量元与转轴的距离为 rsin 2 2 (rsin)()Jr dmrddr 32 00 r drsin R d 4 0 11 (1-2 ) 42 Rcosd 4 0 111 (1-2 ) 422 Rsin 44 111 (-0) 1 428 = 2 RR 22 1 2 2mm RR 把 ，代入得：把 ，代入得： 2 42 21 4 1 8 RR m J R m 5-8 求半圆形的均匀薄板的质心。5-8 求半圆形的均匀薄板的质心。 x y -RRO d r dr 解：设薄板的总质量为解：设薄板的总质量为M，半径为，半径为R. 由半圆形的对称性可知薄板的质心在由半圆形的对称性可知薄板的质心在y轴上。 薄板的面密度为 质量元 由质量连续分布刚体质心公式 轴上。 薄板的面密度为 质量元 由质量连续分布刚体质心公式 22 1 2 2MM RR ()dmrddr C rdm r M C ydm y M yr sin 1 ()() C r sir ydm yr M ndd M 00 2 R srind M dr 3 0 ) 1 3 (c M osR 3 3 2 (2 3 1 3 )= M R R M 22 1 2 2MM RR 把 ，代入得：把 ，代入得： 33 2 224 3 = 3 2 3 C RR MMR y MR 薄板的质心为：薄板的质心为： 4 (0, ) 3 R 5-15 如附图所示，一通风机的转动部分以初速度5-15 如附图所示，一通风机的转动部分以初速度0 绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系 数 绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系 数C为一常量，若转动部分对其轴的转动惯量为为一常量，若转动部分对其轴的转动惯量为J， 问： （ ， 问： （1）经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的 一半？（ ）经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的 一半？（2）在此时间内共转过多少转？）在此时间内共转过多少转？ 解：（解：（1）设空气的阻力矩为： 由刚体定轴转动定律 ）设空气的阻力矩为： 由刚体定轴转动定律 f MC MJ M Jd C tJ d 0 0 t dCdt J 0 0 or () CtCt e JJ xpln （2）设在此时间转过）设在此时间转过角度角度 0 0 0 1()()()() Ct J t JCt expdte J dt C 把代入把代入2 J tln C 00 (1)=1 2 () Ct J C JJ eexp CC J ln C J 000 1 =1()=1=2 22 JJ exp CC J ln C 在此时间转过转数：在此时间转过转数： 0 = 42 J N C 设经过设经过t时间其转动角速度减少为初角速度的一半，则有时间其转动角速度减少为初角速度的一半，则有 1 02 0 Ct ln J 2 J tln C 5-16 如附图所示，质量为5-16 如附图所示，质量为0.5kg，长为，长为0.40m的均匀细 棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴转动。如将此棒放 在水平位置，然后任其落下，求： （ 的均匀细 棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴转动。如将此棒放 在水平位置，然后任其落下，求： （1）当棒转过）当棒转过60时的角加速度和角速度； （ 时的角加速度和角速度； （2）下落到竖直位置时的动能； （ ）下落到竖直位置时的动能； （3）下落到竖直位置时的角速度。）下落到竖直位置时的角速度。 P O A 解：细棒绕某一端的轴转动的转动惯量为 （1）细棒转过任意角度时所受的重力矩为 解：细棒绕某一端的轴转动的转动惯量为 （1）细棒转过任意角度时所受的重力矩为 2 1 3 Jml (90)=Mrmg sinrmg sinrmg cos 由刚体定轴转动定律由刚体定轴转动定律MJ 1 4 2 1 3 3 4 lmgM Jml g l 代入数据代入数据 2 339 8 18 4 440 4 g. . rad s l. 转过转过60时时 1 60 4 rmgMcoslmg 细棒从水平位置下落至竖直位置整个过程机械能守恒。 取竖直位置质心处的水平线为重力势能零点。 细棒从水平位置下落至竖直位置整个过程机械能守恒。 取竖直位置质心处的水平线为重力势能零点。 2 1 0(160 ) 222 ll mgmgsinJ （2）细棒下落至竖直位置时，取竖直位置质心处 的水平线为重力势能零点。 （2）细棒下落至竖直位置时，取竖直位置质心处 的水平线为重力势能零点。 1 0 50 40 5908 2 98 k Elmg.J 1 33339 8 220 9 4 78 .rad g. . s l 00 2 k l mgE （3）细棒下落至竖直位置时（3）细棒下落至竖直位置时 2 1 2 k EJ 1 2339 8 8 57 0 4 k E .ra . l. d J s g 5-19 质量为5-19 质量为m，半径为，半径为R的匀质圆盘可绕过盘心的光 滑竖直轴在水平桌面上转动，盘与桌面间的滑动摩擦 系数为 的匀质圆盘可绕过盘心的光 滑竖直轴在水平桌面上转动，盘与桌面间的滑动摩擦 系数为，若用外力使其角速度达到，若用外力使其角速度达到0时撤去外力， 求： （ 时撤去外力， 求： （1）此后圆盘还能转动多久时间？共转了多大角度？ （ ）此后圆盘还能转动多久时间？共转了多大角度？ （2）上述过程中摩擦力矩所做的功。）上述过程中摩擦力矩所做的功。 解：匀质圆盘绕过盘心竖直轴转动的转动惯量为 匀质圆的面密度： （1）此圆盘转动过程中受到阻力矩作用，角速度 逐渐减小，并最终静止。但圆盘不同位置阻力矩 不同，但距离盘心相同距离的质量元所受的阻力 矩相同，设半径为 解：匀质圆盘绕过盘心竖直轴转动的转动惯量为 匀质圆的面密度： （1）此圆盘转动过程中受到阻力矩作用，角速度 逐渐减小，并最终静止。但圆盘不同位置阻力矩 不同，但距离盘心相同距离的质量元所受的阻力 矩相同，设半径为r的圆环受到的阻力矩为的圆环受到的阻力矩为dM 2 1 2 JmR 2 m R R O r dr 此圆环的质量为此圆环的质量为2dmr dr 此圆环转动时受到的阻力为此圆环转动时受到的阻力为2dfdmggrdr 受到的阻力矩为受到的阻力矩为 2 2dMrdfgr dr 此圆盘转动时受到的总的阻力矩为此圆盘转动时受到的总的阻力矩为 23 0 2 (2) 3 R MdMgrdrgR 2 3 22 33 m R gRmgR 由刚体定轴转动定律由刚体定轴转动定律MJ 2 2 3 1 2 4 3 mgR M J mR g R 0 t 设此圆盘转动设此圆盘转动t时间停止时间停止 22 00 00 33114 ()() 24234 RRg dttt gRg 000 3 4 4 3 g t R R g 这段时间转过的角度这段时间转过的角度 22 00 2 0 3 8 33 48 RR gg R g 此过程中摩擦力矩所做的功此过程中摩擦力矩所做的功 222222 0 2 000 11111 2222 1 42 AJJJmRmR 2 0 22 0 32 3 1 84 R AMmgRR g m 或者由刚体转动动能定理或者由刚体转动动能定理 5-20 如附图所示，在光滑的水平面上有一木杆，其质 量 5-20 如附图所示，在光滑的水平面上有一木杆，其质 量m1 =1kg，长为，长为l=40cm，可绕通过其中点并与之垂直 的轴转动，一质量为 ，可绕通过其中点并与之垂直 的轴转动，一质量为m2 =10g的子弹，以的子弹，以v=2.0 102m/s 的速度射入杆端，其方向与杆及轴正交。若子弹陷入 杆中，试求所得到的角速度。 的速度射入杆端，其方向与杆及轴正交。若子弹陷入 杆中，试求所得到的角速度。 子弹相对于转轴的角动量为 把子弹和木杆看做一个系统，子弹与杆相互作用过程中， 系统所受的合外力矩等于零，满足角动量守恒。 子弹陷入杆中，整个系统相对于原转轴的转动惯量为 解：木杆绕通过其中点并与之垂直的轴转动的转动惯量为 子弹相对于转轴的角动量为 把子弹和木杆看做一个系统，子弹与杆相互作用过程中， 系统所受的合外力矩等于零，满足角动