立体几何怪难题-理科.doc

立体几何提升训练【例1】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，垂直于底面，分别为的中点。 (1)求证：；（2）求与平面所成的角；（3）求截面的面积。解：（1）证明：因为是的中点， 所以。 由底面，得， 又，即， 平面，所以 ， 平面， 。（2）连结， 因为平面，即平面，所以是与平面所成的角， 在中，在中，故，在中, ，又，故与平面所成的角是。 （3）由分别为的中点，得，且，又，故，由（1）得平面，又平面，故，四边形是直角梯形，在中， 截面的面积。（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示（图略）由，得，因为 ，所以。（2）因为 所以，又 ，故平面，即是平面的法向量。设与平面所成的角为，又。则，又，故，即与平面所成的角是。 因此与平面所成的角为，【例2】如图，已知是底面为正方形的长方体，点是上的动点（1）试判断不论点在上的任何位置，是否都有平面垂直于平面并证明你的结论；（2）当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；（3）求与平面所成角的正切值的最大值解：（1）不论点在上的任何位置，都有平面垂直于平面.证明如下：由题意知， 又 平面 又平面 平面平面（2）解法一：过点P作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角在中 , ， 又在中， 异面异面直线与所成角的余弦值为解法二：以为原点，所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示，则，异面异面直线与所成角的余弦值为（3）由（1）知，平面，是与平面所成的角，且当最小时，最大，这时，由得，即与平面所成角的正切值的最大值【例3】已知平面，与交于点，（1）取中点，求证:平面。（2）求二面角的余弦值。解法1:(1)联结，AC=AC，为中点，为中点， 平面（2）联结，在等边三角形中,中线，又底面， ， 平面平面。过作于，则平面，取中点，联结、，则等腰三角形中，平面，是二面角的平面角等腰直角三角形中，等边三角形中，Rt中，. 二面角的余弦值为。 解法2：以分别为轴，为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ，是等边三角形，且是中点，则、（1） ，平面（2）设平面的法向量分别为，.则的夹角的补角就是二面角的平面角；，由及得，二面角的余弦值为。【例4】如图，已知AB平面ACD，DE/AB，ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点。 （I）求证：AF/平面BCE； （II）求证：平面BCE平面CDE； （III）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小。【解】（I）解：取CE中点P，连结FP、BP，F为CD的中点，FP/DE，且FP= 又AB/DE，且AB=AB/FP，且AB=FP， ABPF为平行四边形，AF/BP。又AF平面BCE，BP平面BCE， AF/平面BCE。 （II）ACD为正三角形，AFCD。AB平面ACD，DE/AB，DE平面ACD，又AF平面ACD，DEAF。又AFCD，CDDE=D，AF平面CDE。 又BP/AF，BP平面CDE。又BP平面BCE，平面BCE平面CDE。 （III）由（II），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系Fxyz.设AC=2，则C（0，1，0），显然，为平面ACD的法向量。设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45。【例5】如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD， ABCD，AD=CD=2AB=2，E，F分别是PC，CD的中点（）证明：CD平面BEF；（）设，求k的值.解：（）证明： PA平面ABCD，ADCD. CD平面BEF （）连结AC且交BF于H，可知H是AC中点，连结EH,由E是PC中点,得EHPA, PA平面ABCD. 得EH平面ABCD，且EH. 作HMBD于M，连结EM，由三垂线定理可得EMBD.故EMH为二面角EBDF的平面角，故EMH=600. RtHBMRtDBF, 故. 得, 得 .在RtEHM中， 得 解法2：（）证明，以A为原点，建立如图空间直角坐标系.则，设PA = k,则, 得有 () . 设平面BDE的一个法向量，则 得 取由 得【例6】如图，在棱长都相等的四面体ABCD中，点E是棱AD的中点， (1)设侧面ABC与底面BCD所成角为，求tan. (2)设CE与底面BCD所成角为，求cos. (3)在直线BC上是否存在着点F，使直线AF与CE所成角为90，若存在，试确定F点位置；若不存在，说明理由。答案：解：(1)连AF、DF，由ABC及BDC是正三角形，F为BC中点，得AFBC，DFBC，AF=DF AFD为二面角A-BC-D的平面角 设棱长为a，在ABC中，AF=，DF= 在AFD中， (2)法一：BC面ADF，BC面BCD AEBCDyOxz面ADF面BCD在面ADF中，过E作EGDF，则EG面BCD，连CG，则ECG=又AF=DF，E为AD中点，故EFAD在RtDEF中，EF=DE=，由得在RtCEG中， 法二：设AO面BCD于O，则O为等边三角形，BCD为中心，设BC中点为M，CD中点为N，以O为坐标原点，OM所在直线为x轴，ON所在直线为y轴，OA所在直线为y轴建立直角坐标系0-xyz，设棱长为2a，则0(0,0,0)，A(0,0，a),C(a,a,0),D(-a,0,0)，E(-a,0,a) 0,0，a，(-a,-a,a)cos=CE与面BCD所成角的余弦值为cos= sin=(3)法一：设F(a,y,0)，则 又 ，y=-2a F(a,-2a,0),即F在CB处长线上，且FB=BC 法二：设，B、C、F三点共线， 又 F在CB延长线上，且FB=BC【例7】如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，且,若、分别为线段、的中点(1) 求证：直线/ 平面；(2) 求证：平面平面； (3) 求二面角的正切值.(1)证明：连结，在中/且平面，平面(2)证明：因为面面平面面所以，平面 又，所以是等腰直角三角形，且即，且、面面又面面面(3)解：设的中点为,连结,则由()知面,面是二面角的平面角中，故所求二面角的正切为 另解：如图,取的中点, 连结,., .侧面底面, ,而分别为的中点,又是正方形,故.,.以为原点,直线为轴建立空间直线坐标系,则有,.为的中点, .（1）易知平面的法向量为而,且, /平面.(2), ,从而,又,而, 平面平面(3)由(2)知平面的法向量为.设平面的法向量为.,由可得,令,则,故,即二面角的余弦值为,二面角的正切值为.【例8】如图,在梯形中,。MFECDBA,平面平面,四边形是矩形,点在线段上.。(1)求证:平面;。(2)当为何值时,平面?证明你的结论;(3)求二面角的平面角的余弦值.（）在梯形中，四边形是等腰梯形，且 2分又平面平面，交线为，平面 4分（）解法一、当时，平面， 5分在梯形中，设，连接，则 6分，而， 7分，四边形是平行四边形， 8分又平面，平面平面 9分解法二：当时，平面，由（）知，以点为原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 5分xDyzCOFBAE则，平面，平面与、共面，也等价于存在实数、，使， 设.，又，从而要使得：成立，需，解得 当时，平面（）解法一、取中点，中点，连结，平面又，又，是二面角的平面角.在中,. 又.在中，由余弦定理得, xDyzCOFBAE即二面角的平面角的余弦值为.解法二:由()知,以点为原点，所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则,，过作,垂足为. 令, 由得,即 ,二面角的大小就是向量与向量所夹的角. 即二面角的平面角的余弦值为. 【例9】ABDCEF如图，已知中，平面，、分别是、上的动点，且（1）求证：不论为何值，总有平面平面；（2）若平面与平面所成的二面角的大小为，求的值。解法一：（向量法）：ABDCEFMNxyz过点作 平面平面 又在中，如图，以为原点，建立空间直角坐标系又在中， 又在中， 则 （1）证明： 又 平面 又在中，、分别是、上的动点， 且不论为何值，都有 平面 又平面不论为何值，总有平面平面（2），,，又， ，设是平面的法向量，则 又，,=(0,1,0), 令得 ， 是平面的法向量，平面与平面所成的二面角为， ，或（不合题意，舍去），故当平面与平面所成的二面角的大小为时解法二：， , 设E（a,b,c）,则，a=1+,b=0,c=， E（1+,0, ）,)。 其余同解法一（2）解法三：设是平面的法向量，则， 又在中， 又在中， 又，且 又 令得 其余同解法一【例10】如图所示的几何体是由以正三角形ABC为底面的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）被平面DEF所截而得AB=2，BD=1，CE=3，AF=，O为AB的中点（I）当时，求证：OC/平面DEF；（II）当时，求平面DEF与平面ABC相交所成且为锐角的二面角的余弦值；（III）当为何值时，在DE上存在点P，使CP平面DEF？（I）证：取DF的中点G，连结GE由三棱柱得，AF/BD/CE，而BD=1，AF=5， 四边形ABDF为梯形，OG为梯形ABDF的中位线 OG/AF，且OG=3 而CE/AF，且CE=3 OGCE xyz四边形OCEG为平行四边形 GE/OC 又OC平面DEF，GE平面DEF OC/平面DEF （II）以直线OBOC分别为轴轴建立如图所示的空间直角坐标系， AF=，则DEF的坐标分别为：D（1，0，1）E（0，3）F（-1，0，4）， =（-1，2），=（-2，0，3）设平面DEF的法向量，由得 可取 平面ABC的法向量可以取 平面DEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为（III）在（II）的坐标系中，AF=，=（-1，2），=（-2，0，-1）因P在DE上，设，则于是CP平面DEF的充要条件就为 由此解得， 即当=2时，在DE上存在靠近D的第一个四等分点P，使CP平面DEF【例11】图1，在矩形中，是的中点，以为折痕将向上折起，使为，且平面平面（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值图1解（）在中，在中，平面平面，且交线为，平面平面，（）设与相交于点，由（）知，平面，平面，平面平面，且交线为，如图2，作，垂足为，则平面，连结，则是直线与平面所成的角由平面几何的知识可知，在中，在中，可求得直线与平面所成的角的正弦值为【例12】三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1 B1 C1，平面A1 A1平面ABC，AB=AC=2，A1 C1=1，D是BC的中点 (I)证明：平面A1AD上平面BC C1 B1； (II)求二面角AB B1C的大小解：(I)A1 A平面ABC，BCC平面ABC， A1 ABC ，AB=AC=2 BAC=60，ABC为正三角形，即ADBC 又A1 AAD=A，BC平面A1AD， ，平面A1 AD平面BCC1B1 ()如图，建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，0)，A1(0，0， )，B1(1，0，)， ， 显然，平面ABB1A1的法向量为m=(0，1，0)， 设平面BCC1B1的法向量为n=(m，n，1)，则 ， ， 即二面角ABB1C为arccos【例13】如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-ABC中，侧面AACC底面ABC，AAC=60.()求侧棱AA与平面ABC所成角的正弦值的大小；()已知点D满足，在直线AA上是否存在点P，使DP平面ABC？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由.解：()侧面A1ACC1底面ABC，作A1OAC于点O，A1O平面ABC.又ABC=A1AC=60，且各棱长都相等，AO=1，OA1=OB=，BOAC.故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(0，-1，0)，B(，0，0)，A1(0，0，)，C(0，1，0)，；.设平面AB1C的法向量为n=(x,y,1)则 解得n=(-1,0,1).由cos=而侧棱AA1与平面AB1C所成角，即是向量与平面AB1C的法向量所成锐角的余角，侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小为()而 又B(，0，0)，点D的坐标为D(-，0，0).假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P(0，y，z). DP平面AB1C，n=(-1，0，1)为平面AB1C的法向量，由，得又DP平面AB1C，故存在点P，使DP平面AB1C，其从标为(0，0，)，即恰好为A1点【例14】如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC=60，平面AA1C1C平面ABCD，A1AC=60。 （）证明：BDAA1； （）求二面角DA1AC的平面角的余弦值； （）在直线CC1上是否存在点P，使BP/平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由。 连接BD交AC于O，则BDAC，连接A1O，在AA1O中，AA1=2，AO=1，A1AO=60，A1O2=AA12+AO22AA1Aocos60=3，AO2+A1O2=A12A1OAO，由于平面AA1C1C平面ABCD，所以A1O底面ABCD，以OBOCOA1所在直线为x轴y轴z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（，0，0），A1（0，0，）于，则，BDAA1（）由于OB平面AA1C1C，平面AA1C1C的法向量，设平面AA1D则，得到，所以二面角DA1AC的平面角的余弦值是（）假设在直线CC1上存在点P，使BP/平面DA1C1，设则，得设则设，得到，又因为平面DA1C1，则，即点P在C1C的延长线上且使C1C=CP【例15】如图，在棱长为1的正方体中，、分别为和的中点（1）求异面直线和所成的角的余弦值；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； （3）若点在正方形内部或其边界上，且平面，求的最大值、最小值解：（1），, （2）平面BDD1的一个法向量为，设平面BFC1的法向量为取得平面BFC1的一个法向量 所求的余弦值为（3）设（），由得即，,当时，当时，【例16】DA1D1C1B1E1BACPO如图，、分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，.（）求证：平面；（）当时，求直线与平面所成角的大小； () 当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心? 解法一：（）过P作MNB1C1，分别交A1B1、D1C1于M、N，则M、N分别为 A1B1、D1C1的中点，连MB、NC，则四边形BCNM是平行四边形 E、M分别为AB、A1B1中点，A1EMB 又MB平面PBC，A1E平面PBC。（） 过A作AFMB，垂足为F，连PF，BC平面ABB1A1，AF平面ABB1A1，AFBC， BCMB=B，AF平面PBC，APF就是直线AP与平面PBC所成的角，设AA1=a，则AB=a，AF=，AP=，sinAPF=。所以，直线AP与平面PBC所成的角是。（）连OP、OB、OC，则OPBC，由三垂线定理易得OBPC，OCPB，所以O在平面PBC中的射影是PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是PBC的重心，则PBC为正三角形。即PB=PC=BC，所以。反之，当k=时，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱锥为正三棱锥，O在平面PBC内的射影为的重心 zxyDA1D1C1B1E1BACPO解法二：以点为原点，直线所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则得、()由上得、，设得解得， ， 平面 _（）当时，由、得、设平面的法向量为，则由，得，直线与平面所成角的大小为. () 由()知的重心为，则，若在平面内的射影恰好为的重心，则有，解得当时，在平面内的射影恰好为的重心. 【例17】AEDCBA1B1C1第17题图如图,侧棱垂直底面的三棱柱的底面位于平行四边形中,点为中点. （）求证:平面平面. （）设二面角的大小为,直线与平面所成的角为,求的值.解:（）方法一、在平行四边形中, ,点为中点.,从而,即又面,面,而, 平面平面 平面平面方法二、,点为中点.,，又面,面，,而,平面AEDCBA1B1C1xyz 平面 平面平面（）方法一、由（）可知, 为二面角的平面