理论力学3分析力学基础课后答案.pdf

249 第 3 章 分析力学基础 第 3 章 分析力学基础 3-1 如图 3-1a 所示，离心调速器以角速度绕铅直轴转动。每个球质量为 m1，套管 O 质量为 m2，杆重略去不计。OC = EC = AC = OD = ED = BD = a，求稳定旋转时，两臂 OA 和 OB 与铅直轴的夹角。 O x y I F F g 1 m g 2 m g 1 m E B I F a a a a a a (a) (b) 图 3-1 解解 取整个系统为研究对象， 系统具有理想约束。 系统所受的主动力为 m1g、 m1g、 m2g， 假想加上 2 个小球的惯性力 I F 、FI，则 sin2 2 11 2 II ammEAFF= 取坐标系 Exy，则 sin2, 0ayxx ABA =，cos2,sin2axay OB = 对相应坐标的变分 sin2 cos2 ,cos2 , 0 ax ayayxx O BABA = = 根据动力学普遍方程，有 0 112II =+ BAOBA xgmxgmxgmyFyF 把有关量代入上式，得 000 )sin2()cos2(sin2)cos2(sin2 11 2 2 1 2 1 =+ + gmgm agmaamaam 因0 ，化简，得 g am m 2 1 2 4 cos = 3-2 应用拉格朗日方程推导单摆的运动微分方程。分别以下列参数为广义坐标： （1） 转角； （2）水平坐标 x； （3）铅直坐标 y。 解解 取轴 x 为零势能面 （1）转角为广义坐标 小球势能 cosmglV= 小球动能 2 )( 2 1 lmT&= 拉氏函数 cos 2 1 22 mglmlVTL+=& 图 3-2 250 代入拉格朗日方程，得 0sin 2 =+mglml& & 0sin=+ l g & & （2）水平坐标 x 为广义坐标，此时有 22 xly=， 22 xl xx y = & & 小球势能 22 xlmgV= 小球动能 22 22 22 2 1 )( 2xl lx myx m T =+= & & 22 22 22 2 1 xlmg xl lx mVTL+ = & 22 2 xl xml x L = & & 22 222 22 222 22 22 2 )( )( 2 )( d d xl mgx xl xxml x L xl xxml xl xml x L t = + = & & & & 代入拉格朗日期方程，有 0 )( 22 222 22 22 2 = + + xl x mg xl xlx m xl l x m & & 即 0)()( 2 3 222222 =+xlgxxxxxll& & （3）铅直坐标 y 为广义坐标，此时有 22 ylx=， 22 yl yy x = & & 小球势能 V = - mgy 小球动能 22 22 22 2 1 )( 2yl ly myx m T =+= & & mgy yl ylm VTL+ = 22 22 2 & 222 22 22 2 22 2 )( 2 )( d d , yl yyml yl yml y L tyl yml y L + = = & & & & & mg yl yyml y L + = 222 22 )( & 代入拉格朗日方程，得 0 )( 222 22 22 2 = + mg yl ylym yl yml& & 则 0)()( 2222222 =+ylgyyyyll& & 3-3 质量为 m 的质点悬在 1 线上，线的另 1 端绕在 1 半径为 R 的固定圆柱体上，如图 251 3-3 所示。设在平衡位置时，线的下垂部分长度为 l，且不计线的 质量。求此摆的运动微分方程。 解解 取为广义坐标，设小球的静平衡位置为其零势能点。 系统势能 cos)()sin(RlRlmgV+= 系统动能 2 )( 2 1 RlmT+= & 拉氏函数 sin)()( cossin)(cos)( )(2)()( d d )( cos)(sin )( 2 1 2 2 22 2 2 RlmgRlmR RRlRmgRlRm L RRlmRlm L t Rlm L RlRlmgRlmVTL += += += += += & & & & & & & & 代入拉氏方程，得 0sin)()()(2)( 222 =+RlmgRlmRRlmRRlm & & 化简得 0sin)( 2 =+gRRl & & 3-4 在图 3-4a 所示行星齿轮机构中，以 O1为轴的轮不动，其半径为 r。全机构在同 1 水平面内。设两动轮皆为均质圆盘，半径为 r，质量为 m。如作用在曲柄 O1O2上的力偶矩 为 M，不计曲柄的质量。求曲柄的角加速度。 1 O 2 O 3 O 2O v 3O v M 2 A v AB (a) (b) 图 3-4 解解 选取曲柄的转角为广义坐标，分别对轮 O2、O3进行速度分析如图 3-4a。对轮 O2，点 B 为轮 O2的速度瞬心。所以 & & 2 2 02 2 = r r r v 又 &rrvA42 2 = 对轮 O3： &rv4 03 = 由于 v03 = vA 故轮 O3作平移，0 3 =。 系统动能 222222 11)4( 2 1 )2)( 2 1 ( 2 1 )2( 2 1 &mrrmmrrmT=+= 广义力 图 3-3 252 M W F= = Q 代入拉格朗日方程，得 Mmr=& & 2 22 2 22mr M =& & 3-5 斜块 A 质量为 mA，在常力 F 作用下水平向右并推动活塞杆 BC 向上运动；活塞与 杆 BC 的质量为 m，上端由弹簧压住，弹簧的刚度系数为 k。运动开始时，系统静止，弹簧 未变形。不计摩擦，求顶杆 BC 的运动微分方程。 A B C F k s r v A v s C & =v (a) (b) 图 3-5 解解 （1）取广义坐标 s，则杆 BC 的速度为 s & ，块 A 速度（如图 3-5b 所示） cotsvA&= 动能 222 cot 2 1 2 1 smsmT A& & + = 势能 2 2 s k mgsV+= L = T - V smm s L ksmg s L A & & )cot( 2 += = （2）求广义力 FQS（非有势力） 给广义坐标 s 以虚位移)( s，则块 A 虚位移为 s cot（水平） ，虚功为 sFWcot= 广义力为 cot Q F s W F S = 将以上各式代入拉氏方程 S F s L s L t Q )( d d = & 得 cot)cot( 2 Fmgkssmm A =+& & 即 mg F kss m m A =+ tan ) tan ( 2 & & 3-6 已知图 3-6 所示曲线为旋轮线， 其方程为：)sin(= Rx， )cos1 (= Ry； 小环 M 在重力作用下沿该光滑曲线运动，求小环的运动微分方程。 解解 取为广义坐标，设 x 轴为零势能位置。系统动能 cos1)( 2 1 2 1 22222 =+= & &mRyxmmvT 253 系统势能 )cos1 (=mgRmgyV sin2)cos1 (2)( d d )cos1 (2 sinsin )cos1 ()cos1 ( 222 2 22 22 & & & & & & & mRmR L t mR L mgRmR L mgRmRVTL += = += += 代入拉氏方程，得 0sin 2 sin 2 1 )cos1 ( 0sinsinsin2)cos1 (2 2 22222 =+ =+ R g mgRmRmRmR & & & & 3-7 如图 3-7a 所示，均质杆 AB 长为 l，质量为 m，借助其 A 端销子沿斜面滑下，斜面 升角为， 不计销子质量和摩擦， 求杆的运动微分方程。 又设杆当0=时由静止开始运动， 求开始运动时斜面受到的压力。 A x & 2 l y B C x A C B & & 2 l y x& & gm N F x& & (a) (b) (c) 图 3-7 解解 2 自由度，给广义坐标 x，则广义速度为 x & 、&（见图 3-7b） )sin( 2 )cos( 2 = = & & l v l xv Cy Cx 系统动能 222 2 22222 24 )cos( 4 ( 2122 1 )( 2 &l m x l l x m l m vv m T CyCx +=+= )cos( 262 222 +=&x l m l m x m 势能 cos 2 sin l mgmgxV= （设初始 A 处势能为零） L = T - V & & & & & & )sin( 2 )cos( 2 )( d d )cos( 2 = = l m l m xm x L t l m xm x L 图 3-6 254 sinmg x L = & & & & & & & )sin( 2 )cos( 23 )( d d )cos( 23 )sin( 2 sin 2 2 2 = = = x l m x l m l mL t x l m l mL x mll mg L 代入0)( d d = ii q L q L t& ，得 =+ = 0)sin( 2 sin 2 )sin( 2 )cos( 23 0sin)sin( 2 )cos( 2 2 2 & & & & & & x ml l mg x ml x ml ml m mg mlml xm 即 =+ = 0sin 23 )cos( 2 0sin)sin( 2 )cos( 2 2 2 l mg ml l x ml mg mlml xm & & & & & & =+ = )b( 0sin 2 1 3 )cos( 2 1 )a ( sin)sin( 2 )cos( 2 1 2 2 g l x g l lx & & & & & & 当 t = 0 时，0=，0=&，则 =+ = )2( 0 3 cos 2 1 ) 1 ( sincos 2 2 & & & & & & l x g l x 由式（2） ，得 cos 2 3 xl& & & & = （3） 式（3）代入式（1） ，得 sincos 2 3 2 1 2 gxx=& & & sin)cos 4 3 1 ( 2 gx=& & 2 sin31 sin4 + = g x & & （4） 式（4）代入式（3） ，得 2 sin31 cossin6 + = g l & & )sin31 ( 2sin3 2 + = l g & & （5） 由质心运动定理： 255 sin 2 cos N & & l mFmg= 22 N sin31 cos )sin31 ( 2sin3 sin 2 cossin 2 cos + = + =mg l gml mg l mmgF& & 3-8 如图 3-8a 所示，飞轮在水平面内绕铅直轴 O 转动，轮幅上套 1 滑块 A，并以弹簧 与轴心相连。已知：飞轮的转动惯量为 J0，滑块的质量为 m，弹簧的刚度系数为 k，弹簧原 长为 l。试以飞轮的转角和弹簧的伸长 x 为广义坐标，写出系统的运动微分方程及其 1 次 积分式。 A xl O (a) (b) 图 3-8 解解 整个系统为研究对象，该系统具有 2 个自由度。选取 x、为广义坐标，设静平衡 位置为系统零势能点，则在任意瞬时系统动能 2222 0 )( 2 1 2 1 & & & xlxmJT+= 系统势能 2 2 1 kxV = L = T - V 22222 0 2 1 )( 2 1 2 1 kxxlxmJ+= & & & 0= L ， kxxlm x L += 2 )(& & & 2 0 )(xlmJ L += ，xm x L & & = 将以上 4 式代入拉氏方程，得系统的运动微分方程 0)( d d 2 0 =+ & xlmJ t （1） 0)( 2 =+kxxlmxm& & （2） 式（1）的初积分为 2 0 1 )(xlmJ C + =& （3） C1为积分常数，式（3）代入式（2） ，得 0 )( )( 2 2 0 2 1 =+ + + kx xlmJ Cxlm x m& & （4） 因 x xm xm d )(d 2 2 & & &=， x xk kx d )(d 2 2 = + = + + 2 0 2 2 0 )( 1 d d 2 1 )( )( xlmJx xlmJ xlm 故式（4）对 x 积分为 256 2 2 2 0 2 1 2 2)(22 Cx k xlmJ C x m =+ + +& （5） 式（3）代入式（5） ，消去 C1得 2 22 0 22 )( 2 1 2 1 2 1 CxlmJkxxm=+& 式中 C2为积分常数。 3-9 如图 3-9 所示， 质量为 m 的质点在 1 半径为 r 的圆环内运动， 圆环对轴 AB 的转动 惯量为 J。欲使此圆环在矩为 M 的力偶的作用下以等角速度绕铅直轴 AB 运动。求力偶矩 M 和质点 m 的运动微分方程。 解解 整个系统为研究对象。 它既有有势力又有非有势力。 取圆环绕轴的转角及球在环 内的圆心角为广义坐标，设小球在最低位置为零势能点，则系统动 能 222222 2 1 sin 2 1 2 1 & &mrmrJT+= 系统势能 )cos1 (= mgrV 拉氏函数 )cos1 ( 2 1 )sin( 2 1 22222 += = mgrmrmrJ VTL & & & & 2 mr L = ， 0 cossin2)sin()( d d )sin( sincossin 222 22 22 = += += = L mrmrJ L t mrJ L mgrmr L & & & & & & & & 对应于非有势力的广义力 M W F W F= = = , 0 QQ 代入拉氏方程 ： k kk F q L q L t Q )( d d = & 得 0sincossin 222 =+mgrmrmr& & & （1） MmrmrJ=+& & & &cossin2)sin( 222 （2） 注意到 0,=& & 由式（1）得质点运动微分方程 0sin2sin 2 2 =+ r g & & 由式（2）得 图 3-9 257 2sin 2 & mrM = 3-10 如图 3-10a 所示，物系由定滑轮 A、动滑轮 B 以及 3 个用不可伸长的绳挂起的重 物 M1、M2和 M3所组成。各重物的质量分别为 m1、m2和 m3；且 m1 y& &，即 32 32 1 4 mm mm m + 时重物 M1方能下降。 以重物 M1为对象，如图 3-10c 所示，则有 Fgmym= 111 & & 故绳子张力为 g mmmmm mmm ygmF 32321 321 11 4)( 8 )( + =& & 3-11 质量为 m1的均质杆 OA 长为 l，可绕水平轴 O 在铅垂面内转动，其下端有一与基 座相连的螺线弹簧，刚度系数为 k，当0=时，弹簧无变形。杆 OA 的 A 端装有可自由转 动的均质圆盘，盘的质量为 m2，半径为 r，在盘面上作用有矩为 M 的常力偶，设广义坐标 为和，如图 3-1a 所示。求该系统的运动微分方程。 O k r A gm gm M (a) (b) 图 3-11 解解 2 自由度，取广义坐标， 22 2 22 2 22 1 2 2 22 2 22 1 2 1 4 1 6 )( 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 & & & & & lmrml m lmrmlmT+=+= VTL k lmgm l V = += 2 21 2 coscos 2 & & & & & & & & & & 2 2 2 2 2 21 2 2 21 21 2 1 )( d d , 2 1 , 0,) 3 1 ()( d d 3 ,sinsin 2 rm L t rm LL lmm L t lml mL kglmgm lL = = = += += += 代入 = = 0)( d d )( d d LL t M LL t & & 得 =+ = 0sin) 2 1 () 3 1 ( 2 1 21 2 21 2 2 kglmmlmm Mrm & & & & 3-12 设有 1 个与弹簧相连的滑块 A， 其质量为 m1， 它可沿光滑水平面无摩擦地来回滑 动，弹簧的刚性系数为 k。在滑块 A 上又连 1 单摆，如图 3-12a 所示。摆长为 l，B 的质量为 m2。试列出该系统的运动微分方程。 259 k A A v l BA v A v g 2 m x B (a) (b) 图 3-12 解解 取物体 A，B 离开静平衡位置的 x、为广义坐标。以弹簧原长为 A 的零势能位置， 水平支承面为 B 的零势能点。以整个系统为研究对象，则系统动能 cos2 2 1 2 1 222 2 2 1 lxxlmxmT&+= 系统势能 cos 2 1 2 2 glmkxV= VTL= kx x L = ，)cos( 21 & & lxmxm x L += sinsin 2 lxmmgl L &= ，cos 2 2 l xlm L & & += 代入拉氏方程，得 0sincos 2 2122 =+& & & &lmkxxmlmxm 0sinsin)sincos( 22 2 2 =+glmlxml xl xlm& & & 很小，令1cos,sin，2 阶微量略去不计，得 0)( 221 =+kxlmxmm& & & 0=+glx& & & 3-13 图 3-13a 所示绕在圆柱体 A 上的细绳，跨边质量为 m 的均质滑轮 O，与 1 质量为 mB的重物 B 相连。圆柱体的质量为 mA，半径为 r，对于轴心的回转半径为。如绳与滑轮 之间无滑动，开始时系统静止，问回转半径满足什么条件时，物体 B 向上运动。 A r g A mg B m B R (a) (b) 图 3-13 解解 以整个系统为研究对象，设以 B 的上升距离 x，A 的转角为广义坐标，则轮心 A 的下降距离为 rxxA+= 则系统动能 222222 )( 2 1 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 R x mRrxmmxmT AAB & &+= 260 设初始位置为零势能点，系统势能为 )(rxgmgxmV AB += 拉氏函数 L = T V )( 4 1 )( 2 1 2 1 2 1 22222 rxgmgxmxmrxmmxm ABAAB +=& gmgm x L AB += ，xmrxmxm x L AB & &2 1 )(+= rrxmm L grm L AAA )(, 2 & & += = 代入拉氏方程，有 0 2 1 )(=+gmgmxmrxmxm ABAB & & & & & （1） 0)( 2 =+grmrxrmm AAA & & & & （2） 整理后得 0)() 2 1 (=+gmmrmxmmm BAABA & & & （3） 0 22 = + +g r r x & & & (4) 式（3） 、 （4）联立，解得 g m mr m mm rmmm x BBA BBA ) 2 () 2 ( )( 22 22 + = & & 22 r rgr + = & & & & 要 B 上升，须0 x & & ，则 0)( 22 rmmm BBA 故 BA B mm rm 2 2 且 BA mm 3-14 图3-14a所示机构在水平面内绕铅垂轴O转动， 各齿轮半径为r1 = r3 = 3r2 = 0.3 m， 各轮质量为 m1 = m3 = 9m2 = 90 kg，皆可视为均质圆盘。系杆 OA 上的驱动力偶矩 M0 = 180 mN，轮 1 上的驱动力偶矩为 M1 = 150 mN，轮 3 上的阻力偶矩 M3 = 120 mN。不计 系杆的质量和各处摩擦，求轮 1 和系杆的角加速度。 1 M0 M 3 M A B 1 0 3 O 3 r 2 r 1 r (a) (b) 图 3-14 解解 2 自由度，轮 1 转角 1 ，系杆转角 0 ，则 11 &=， 00 &= 且 261 1 2 02 01 r r = （1） 2 3 03 02 r r = （2） 式（1）（2）得 1 3 03 01 r r = （3） 由式（1）得 101 2 1 0 2 21 2 34= + = r r r rr （4） 由式（3）得 11 3 1 0 3 13 3 =+ + = r r r rr （5） 故 13 = )6300 4 171 ( )64( 2 9 )9( 4 9 )34( 4 )16( 2 )9( 4 9 )2( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 )( 2 1 22 1 10 2 0 2 1 2 22 2 0 2 2 22 1 2 2 2 2 10 2 2 22 0 2 2 22 1 2 2 2 2 0 2 3213 2 3 2 33 2 2 2 22 2 0 2 212 2 1 2 1 1 += + += + + += rm r m r m r m r m r m rrrmrm rmrrmr m T 1 2 220 2 22 0 6600 rmrm T = 1 2 220 2 22 0 6600)( d d rmrm T t = ) d d , d d ( 1 1 0 0 tt = 0 2 221 2 22 1 6 2 171 rmrm T = 0 2 221 2 22 1 6 2 171 )( d d rmrm T t = 10 , 0 = TT 代入 i ii F q T q T t Q )( d d = & ，得 = = )8( 6 2 171 )7( 6600 310 2 221 2 22 01 2 220 2 22 MMrmrm Mrmrm 式（8）100+（7） ，得 3101 2 22 1001005448MMMrm+= 262 所以 轮 1 角加速度 2 22 310 1 5448 100100 rm MMM+ = 2 1 . 0105448 120100150100180 + = 2 rad/s 72. 3 4 .854 1803 = （9） 式（9）代入式（7）得 600100.120 - 6100.123.72 = 180 系杆的角加速度 22 0 rad/s 04. 3rad/s 60 72. 36 . 0180 = + = 3-15 图 3-15a 所示车架的轮子都是半径为 R 的均质圆盘，质量分别为 m1和 m2。轮 2 的中心作用有与水平线成角的力 F，使轮沿水平面连滚带滑。设地面与轮子间的滑动摩擦 系数为 f， 不计车架 O1O2的质量。 试以 x、和为广义坐标， 建立该系统的运动微分方程， 并判断 F 满足什么条件会使两轮出现又滚又滑的情况。 1 O 2 O 2 O x FF 1 F R R 2 F 2 F 1N F 2N F 2N F g 1 m g 2 m g 2 m R x (a) (b) (c) 图 3-15 解解 系统做功力有 F、摩擦力 F1、F2（带滑） 。取广义坐标 x、如图 3-15b 所示， 则系统动能 22 2 22 1 2 21 4 1 4 1 )( 2 1 &+=RmRmxmmT 系统势能 V = 0 虚功 ) () (cos 21 RxFRxFxFW= )sin( )sin(cos ) ()sin() (cos 2121 21 fRFgmgfRmxfFgmgmF RxfFgmRxgfmxF += = 广义力 fFgmgmFF)sin(cos 21 1 Q += )sin( 2 3 Q 1 2 Q FgmfRF gfRmF = = & & & & & & & & & 2 2 2 1 21 2 )( d d , 2 )( d d ,)()( d d R mT t R mT t xmm x T t = = += 代入拉氏方程，得 = = +=+ fRFgmRm gfRmRm FgmmfFxmm )sin( 2 1 2 1 sin)(cos)( 2 2 2 1 2 1 2121 & & & & & & 263 即 21 21 sin)(cos mm FgmmfF x + + = & & （1） k gf2 =& & （2） Rm fFgm 2 2 )sin(2 =& & （3） 由又滚又滑的条件得 & & &Rx （4） & & &Rx （5） 右轮不可离开地面，得 0sin 2 Fgm F gm sin 2 （6） 由式（1） 、 （2） 、 （4） ，得 gf mm FgmmfF 2 sin)(cos 21 21 + + )(2sin)(cos 2121 mmgfFgmmfF+ sincos )(3 , )(3)sin(cos 21 21 f mmfg FmmfgfF + + + （7） 由式（1） 、 （3） 、 （5）得 2 2 21 21 )sin(2sin)(cos m fFgm mm FgmmfF + + 即 sin 23 cos )(3 2 12 21 f m mm mmfg F + + + （8） 由式（6） 、 （7）得 sinsincos )(3 221 gm F f mmfg + + 式（7）是后轮打滑条件，式（8）是前轮打滑条件，式（7）中的 F 大于式（8）中的 F，故 式（7）成立时两轮都打滑。 3-16 如图 3-16a 所示直角三角块 A 可以沿光滑水平面滑动。 三角块的光滑斜面上放置 1 个均质圆柱 B，其上绕有不可伸长的绳索，绳索通过滑轮 C 悬挂 1 质量为 m 的物块 D，可 沿三角块的铅直光滑槽运动。已知圆柱 B 的质量为 2m，三角块 A 的质量为 3m，=30。 设开始时系统处于静止状态，滑轮 C 的大小和质量略去不计。试确定系统中各物体的运动 方程。 解解 以整个系统为研究对象。注意到圆柱在斜面上有滑动而不是纯滚动，该系统具有 3 个自由度，选取 q1、q2及 q3为广义坐标，如图 3-16b 所示。 系统的总动能为三角块 A，圆柱 B 和物块 D 的动能之和，即 T = TA + TB + TD 其中 2 3 2 3 2 3 2 1 q