燕庆明信号与系统第二版课后习题答案.doc

,。 (3)，1.3判断下列方程所表示系统的性（3） ：（4）： 线性 非线性时不变 线性时不变 线性时变1.4。试证明方程y(t)+ay(t)=f(t)所描述的系统为线性系统。证明：不失一般性，设输入有两个分量，且f1(t)y1(t),f2(t)y2(t) 则有y1(t)+ay1(t)=f1（t)，y2(t)+ay2(t)=f2(t) 相加得y1+ay1(t)+y2(t)+ay2(t)=f1(t)+f2(t) 即y1(t)+y2(t)+ay1(t)+y2(t)=f1(t)+f2(t）可见f1(t)+f2(t)y1(t)+y2(t)即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。1.5。证明1.4满足时不变性。证明 将方程中的t换为t-t0,t0为常数。即y(t-t0)+ay(t-t0)=f(t-t0) 由链导发则，有又因t0为常数，故从而所以有即满足时不变性f(t-t0)y(t-t0)1.6.试一般性地证明线性时不变系统具有微分特性。证明 设f(t)y(t),则f(t-t)y(t-t)又因为所以既有 1.7 若有线性时不变系统的方程为y(t)+ay(t)=f(t)在非零f(t)作用下其响应y(t)=1-e-t,试求方程y(t)+ay(t)=2f(t)+f(t)的响应。解：因为f(t)y(t)=1-e-t,又线性关系，则2f(t)2y(t)=2(1-e-t) 又线性系统的微分特性，有f(t)y(t)=e-t 故响应 2f(t)+f(t)y(t)=2(1-e-t)+e-t=2-e-t计算： 2.1设有如下函数f( t )，试分别画出它们的波形。(a) f( t ) = 2e( t -1 ) - 2e( t -2 )(b) f( t ) = sinpte( t ) - e( t -6 )2-2 试用阶跃函数的组合表示题2-4图所示信号。解(a) f( t ) = e( t ) - 2e( t -1 ) + e( t -2 ) (b) f( t ) = e( t ) + 2e( t -T ) + 3e( t -2T )2-5 设有题2-6图示信号f( t )，对(a)写出f ( t )的表达式，对(b)写出f ( t )的表达式，并分别画出它们的波形。解 (a) f ( t ) = d( t - 2 )， t = 2 -2d( t - 4 )， t = 4(b) f ( t ) = 2d( t ) - 2d( t - 1 ) - 2d( t - 3 ) + 2d( t - 4 )2-7 试计算下列结果。(1) td( t - 1 ) (2) (3) (4) (5)td( t - 1 )dt (6)(7) 解 (1) td( t - 1 ) = d( t - 1 ) (2)(3) (4) (5) td( t - 1 )dt=d( t - 1 )dt=1 (6)=0 (7)=23-1 如图2-1所示系统，试以uC( t )为输出列出其微分方程。解 由图示，有又故从而得3-3 设有二阶系统方程在某起始状态下的0+起始值为试求零输入响应。解 由特征方程l2 + 4l + 4 =0得 l1 = l2 = -2则零输入响应形式为由于yzi( 0+ ) = A1 = 1 -2A1 + A2 = 2所以A2 = 4故有3-4 如题2-7图一阶系统，对(a)求冲激响应i和uL，对(b)求冲激响应uC和iC，并画出它们的波形。解 由图(a)有即当uS( t ) = d( t )，则冲激响应则电压冲激响应对于图(b)RC电路，有方程即当iS = d( t )时，则同时，电流3-5 设有一阶系统方程试求其冲激响应h( t )和阶跃响应s( t )。解 因方程的特征根l = -3，故有当h( t ) = d( t )时，则冲激响应阶跃响应3-11 试求下列卷积。(a) e( t + 3 ) * e( t - 5 ) (b) d( t ) * 2 (c) te-te( t ) * d ( t )解 (a) 按定义e( t + 3 ) * e( t - 5 ) = 考虑到t t -5时，e( t -t - 5 ) = 0，故e( t + 3 ) * e( t - 5 ) =(b) 由d( t )的特点，故d( t ) * 2 = 2 (c) te-te( t ) * d ( t ) = te-te( t ) = ( e-t - te-t )e( t )3-12 对图示信号，求f1( t ) * f2( t )。解 (a)先借用阶跃信号表示f1( t )和f2( t )，即f1( t ) = 2e( t ) - 2e( t - 1 )f2( t ) = e( t ) - e( t - 2 )故f1( t ) * f2( t ) = 2e( t ) - 2e( t - 1 ) * e( t ) - e( t - 2 )因为e( t ) * e( t ) = = te( t )故有f1( t ) * f2( t ) = 2te( t ) - 2( t - 1 )e( t - 1 ) -2( t - 2 )e( t - 2 ) + 2( t - 3 )e( t - 3 )(b)根据d ( t )的特点，则f1( t ) * f2( t ) = f1( t ) *d ( t ) + d ( t - 2 ) + d ( t + 2 )= f1( t ) + f1( t - 2 ) + f1( t + 2 )3-13 试求下列卷积。(a) (b) 解(a)因为，故(b)因为，故3-14 设有二阶系统方程试求零状态响应解 因系统的特征方程为l2 + 3l + 2 =0解得特征根l1 = -1， l2 = -2故特征函数零状态响应= 3-15 如图系统，已知试求系统的冲激响应h( t )。解 由图关系，有所以冲激响应即该系统输出一个方波。3-16 如图系统，已知R1 = R2 =1W，L = 1H，C = 1F。试求冲激响应uC( t )。解 由KCL和KVL，可得电路方程为代入数据得特征根l1,2 = -1 j1故冲激响应uC( t )为3-19 一线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入f( t ) = e( t )时，全响应y1( t ) = 3e-3te( t )；当输入f( t ) = -e( t )时，全响应y2( t ) = e-3te( t )，试求该系统的冲激响应h( t )。解 因为零状态响应e( t ) s( t )，-e( t ) -s( t )故有y1( t ) = yzi( t ) + s( t ) = 3e-3te( t ) y2( t ) = yzi( t ) - s( t ) = e-3te( t )从而有y1( t ) - y2( t ) = 2s( t ) = 2e-3te( t )即s( t ) = e-3te( t )故冲激响应h( t ) = s ( t ) = d( t ) - 3e-3te( t )例4.7设有时间信号，试求其频谱函数F(w).解：这里f (t)为偶函数，且可以表示4-1 求题3-1图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。解 对于周期锯齿波信号，在周期( 0，T )内可表示为系数所以三角级数为4-3 试求下列信号的频谱函数。(1) (2) 解 (1)(2) 4-4 求题3-4图示信号的傅里叶变换。解 (a)因为f( t ) = 为奇函数，故(b) f( t )为奇函数，故4-8 设f( t )为调制信号，其频谱F( w )如题图4-7所示，cosw0t为高频载波，则广播发射的调幅信号x( t )可表示为x( t ) = A 1 + m f( t ) cosw0t试求x( t )的频谱，并大致画出其图形。F(w)解 因为调幅信号x( t ) = Acosw0t + mA f( t )cosw0t故其变换式中，F(w )为f( t )的频谱。x( t )的频谱图如图p4-7所示。X(w)4-10 试求信号f( t ) = 1 + 2cost + 3cos3t的傅里叶变换。解 因为1 2pd(w) 2cost 2pd(w - 1) + d(w + 1) 3cos3t 3pd(w - 3) + d(w + 3) 故有F(w ) = 2pd(w) + d(w - 1) + d(w + 1) + 3pd(w - 3) + d(w + 3) 4-11 对于如题3-6图所示的三角波信号，试证明其频谱函数为证 因为f( t ) = 0，| t | t则4-11 试利用傅里叶变换的性质，求题图所示信号f2( t )的频谱函数。解由于f1( t )的A = 2，t = 2，故其变换根据尺度特性有再由调制定理得4-15 如题4-1图示RC系统，输入为方波u1( t )，试用卷积定理求响应u2( t )。解 因为RC电路的频率响应为而响应u2( t ) = u1( t ) * h( t )故由卷积定理，得U2(w ) = U1(w ) * H( jw )而已知，故反变换得4-16 设系统的频率特性为用频域法求系统的冲激响应和阶跃响应。解 冲激响应，故而阶跃响应频域函数应为所以阶跃响应4.19设系统频域特性为由对称性，且用g(w)表示频域门函数，则：.4-22 题4-8图所示(a)和(b)分别为单边带通信中幅度调制与解调系统。已知输入f(t)的频谱和频率特性H1( jw )、H2( jw )如图所示，试画出x(t)和y(t)的频谱图。F(w)解 由调制定理知而x(t)的频谱又因为F1(w)F2(w)X(w)Y(w)所以它们的频谱变化分别如图p4-8所示，设wC w2。4-23 一滤波器的频率特性如图所示，当输入为所示的f( t )信号时，求相应的输出y( t )。解 因为输入f( t )为周期冲激信号，故所以f( t )的频谱当n = 0，1，2时，对应H( jw )才有输出，故Y(w ) = F(w ) H( jw )= 2p2d(w) + d(w - 2p) + d(w + 2p)反变换得y( t ) = 2( 1 + cos2pt )F(w)H1(jw)H2(jw)4-24 如题4-9图所示系统，设输入信号f(t)的频谱F(w )和系统特性H1( jw )、