电动力学第三章习题解答.pdf

华中师大 陈义成 - 56 - 第三章第三章 习题解答习题解答 3.1 3.1 设在0x 区域为真空。今有线电流I 沿z轴流动，求磁感应强度B ? 和磁化电流分布。 【解】 【解】一、选柱坐标系、选柱坐标系（如图） ； 二、定解问题：二、定解问题： 1）1）d L HlI= ? ? ；2）2）d0 S BS= ? ? ； 3） 3）lim0 R B = ? ，R为垂直于z轴的距 离； 4）4）由 21 0 () f x nHH = = ? ? ，由于在 0x =平面上，HHe= ? ? ， x ne= ? ，/ x ee ? ， 因而0 x ee= ? （如右图） ，故 21 0 0 0 x x BB e = = ? ? ； 5）5）由 21 0 ()0 x nBB = = ? ? ，得 21 0 ()0 x x eBB = = ? ? 三、提出尝试解 三、提出尝试解 由于电流仅沿z轴，可以估计BB e = ? ? ，又由边值关系 12nn BB=，这在边界上 正好是 12 BB =。所以可以期望在半径为R的圆周上B是相等的： 12 BBB=，如果 这个估计正确，则利用 1）式可算出B： 2 21 0 0 ddd RR LR BB Hlll =+ ? ? ? 021 000 11BB RRB RB RI + =+=+= 得 () 0 0 I B R = + ， () 0 12 0 I BBe R = + ? ? 四、验证：四、验证：经证明，尝试解满足定解问题，由唯一性定理，它是唯一正确的解。 五、求磁化电流分布 1） 五、求磁化电流分布 1）磁化强度： 00 11B MHB = ? ? （磁介质中） Ox y 0 1 B ? 2 B ? z I / x ee ? 0 ye ? x 华中师大 陈义成 - 57 - 2）2）磁化电流密度： 0 11 M JMB = = ? 0 1 f J = ? 3）3）磁化电流：ddd MM SSL IJSMSMl= ? ? 32 1 2 0 11 dB R = 0 0 I = + 4）4）磁化电流线密度： 由0x =时，/ x eB ? ? 以及 2 0M = ? ，得 21 () M nMM= ? ? 0 11 0 x eB = = ? ? 3.23.2 试利用A ? 表示一个沿z方向的均匀恒定磁场 0 B ? ，写出A ? 的两种不同表示式， 证明两者之差是无旋场。 【解】【解】以A ? 表示沿z方向的均匀恒定磁场是 0z AB ? ? =e 即 0 y x A A B xy = ，0 y xzz A AAA yzzx = 第一组解为 1 A ? 11 0 zy AA=， 10x AB y= 第二组解为 2 A ? 22 0 zx AA=， 20y AB x= 两者之差 2100yx CAAB xeB ye ? ? =+ yy xxzz zxy CC CCCC C xyyzzx ? ? =+ eee 00 00 ()() ()0 zz B xB y BB xy ? = e e 故两者之差为无旋场。 3.3 3.3 均匀无限长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为n，电流强度为I，试用 唯一性定理求管内、外磁感应强度B ? 。 【解】【解】选柱坐标系，z轴为圆柱对称轴，柱内外为真空，电流只分布在 0 rr=的柱 华中师大 陈义成 - 58 - 面上，即nI f ? =e，因此，空间磁感应强度应满足方程 0B ? =，0B ? i= 和边值关系 （1）当0r=， 1 B ? 有限； （2）当 r=， 2 0B ? ； （3）当 0 rr=， 100 () r BBnI f ? ? = 2 ee 21 ()0 r BB ? ? i=e 根据上面方程和条件，设尝试解为 1z Be ? ? = 0 ()rr 由边值关系（3）定出 0nI =，即 10z BnIe ? ? =， 2 0B ? = 可以验证上述尝试解满足方程和边值关系，根据唯一性定理，这就是问题的解。 3.43.4 稳定电流I在半径为a的无限长圆柱导体中沿轴向流动，设导体的磁导率为 1 ，其外充满磁导率为 2 的均匀介质。通过矢势A ? 求圆柱导体内、外的磁感应强度及 磁化电流分布。 【解】【解】 （1）求磁感应强度 以导体圆柱的对称轴为z轴，建立柱坐标系。由于电流J ? 沿z轴方向，矢势A ? 只有 z分量。因电流是轴对称的，可推知 z A仅与r有关，所以 22 1 ( ) z A AA rr rrr = 依 2A J ? =，在导体圆柱内部 1 1 2 1AI r rrra = (1) 在导体圆柱外 2 1 0 A r rrr = (2) 解这两个微分方程得 2 1 1 2 ln 4 Ir Abrc a =+ O r Px y z A ? 华中师大 陈义成 - 59 - 2 lnAfrg=+ 边界条件 在0r=处, 1 A ? 有限，得到0b=；在ra=处，由式（3-1-13）和（3-1-16） ，有 边值关系 21 AA ? = （3） 21 21 11AA rr ? = （4） 将 1 A ? 、 2 A ? 代入式（3） 、 （4）得 1 ln 4 I fagc +=+， 2 2 fI aa = 解这个方程组得 2 2 I f =， 21 ln 24 II gac =+ 导体内外的矢势分别为 2 1 1 2 4 z I Arc a ? ? = + e 21 2 ln 24 z IIr Ac a ? ? = + e 磁感应强度为 1 11 2 2 Ir BAe a ? ? = 2 22 2 I BAe r ? ? = （2）求磁化电流分布 在圆柱体内有磁化电流体分布 10101 1 22 0000 ()11 1 zz II JMBJee aa ? ? = M 2010 2121 2010 () r M nMMeBB ? ? ? = = 201021 2 2010 22 r ra IIr eee ra ? = = 华中师大 陈义成 - 60 - 21 0 () 2 z I e a ? = 3.53.5 将一磁导率为，半径为 0 R的球放入均匀磁场 0 H ? 内，求总磁感应强度B ? 和 诱导磁矩m ? 。 【解】【解】取球坐标系，球心在原点，z轴为极轴，沿 0 H ? 方向， 00 HH e ? ? = z。设球 置入前原点的标势为零。 由于球体均匀磁化 0 0 m M ? i= 所以在球内外磁标势满足 2 1 0= 0 ()RR 其解为 1 1 (cos ) n n nn n b a RP R + =+ 2 1 (cos ) n n nn n d c RP R + =+ 边界条件 （）当0R， 1 有限，得0 n b = 当R， 20 cosH R=，得 10 cH= （2）在 0 RR=处， 12 =，即 000 1 0 (cos )(cos )cos n n nnn n d a R PPH R R + = （3）在 0 RR=处， 12nn BB=，即 1 0 0001 2 0 (1)(cos ) (cos )(cos ) n nn nn n nn nd P na RPH P R + + = 由（2）和（3） ，1n= 时 1 1000 2 0 d a RH R R = 01 100 3 0 2d aH R = 求解得 0 H ? 0 R Oz 0 1 2 华中师大 陈义成 - 61 - 0 10 0 1 2 aH = + 3 0 100 0 2 dH R = + 1n 时 21 0 n n n d a R + =， 0 21 0 (1) n n n nd a nR + + = 联立求解得 0 nn ad= 于是 0 10 0 1cos 2 H R = + 3 000 20 2 0 ()cos cos (2) H R H R R = + 由H ? =，得 0 10 0 3 2 HH ? = + 33 000000 20 58 00 3()()() (2)(2) RHR RR H HH RR ? ? ? i =+ + 于是有 0 10 0 3 2 BH ? = + 3 000 20000 53 0 3() 2 HR RH BHR RR ? ? ? i =+ + 求诱导磁矩：法 1 球体外的标势 20 =+ 其中 0 是外磁场产生的磁标势， 是球体的磁偶极子产生的磁标势，在远处 2020 (cos )H R = = 3 0 00 2 0 cos (2) H R R = + 又磁矩为m ? 的偶极子的标势为 3 4 m R R ? ?i ，故 华中师大 陈义成 - 62 - 3 0 00 32 0 cos 4(2) m R H R RR ? ?i = + 于是 3 0 00 0 4 () 2 mR H ? ? = + 法 2： 001 1 00 3() 2 HB MH ? ? = + 33 0 000 0 4 ()4 32 mVMR MR H ? ? = + 法 3： 由式（3-2-17）的证明，有 21 1RR MM RR = 得 21RRR HHM= 0 0 0 3() cos 2 R MH = + 00 0 3() 2 H M ? ? = + 3 00 0 0 4 () 2 H mVMR ? ? ? = + 3.6 3.6 有一个内外半径为 1 R和 2 R的空心磁介质球，位于均匀外磁场 0 H ? 内，球的磁 导率为，求空腔内的场B ? ，讨论 0 ?时的磁屏蔽作用。 【解】【解】选取球坐标，球心在原点，z轴为极轴，沿 0 H ? 方向，把空间分成、 三个区域，其磁标势都满足拉普拉斯方程。 r 处， 1 = 0 cosH r 0r处， 3 有限，则有 10 1 cos(cos ) n n n n a H rP r + =+， 2 ()rR 2 1 (cos ) n n nn n n b c rP r + =+ ， 12 ()RrR ? i （2） 1 0r A = ? 有限 （3） 12 0 r ar a AA = = ? ， 21 0 0 r AA e = ? ? （4） 因导体内的电流 z JJe= ? ? 沿z轴方向，从式（1）知 1 A ? 只能有 z e ? 方向的分量，且由对称 性它只是r的函数： 11( )z AA r e= ? ? ；由同样的分析以及ra=处的连续条件，外部矢势也 只能是 22( )z AA r e= ? ? ，这样，方程（1） 、 （2）分别为 1 0 d1 d dd A rJ rrr = ， 2 d1 d 0 dd A r rrr = （5） 边界条件（4）为 12 0 r ar a AA = = ? ， 21 0 dd11 dd r a r a AA rr = = = （6） 对式（5）中的两个方程进行积分，得 011 d d2 Ac Jr rr = +， 2 0 112 ln 4 AJrcrc = + 32 d d cA rr =， 234 lnAcrc=+ 华中师大 陈义成 - 67 - 各积分常数由条件（3）和（6）确定得 1 0c=， 2 0 2 4 cJa =， 2 3 2 cJa = ， 43ln cca= 最后，得 () 22 0 1 4 AarJ = ? ， 2 2 ln 2 a AJa r = ? 3.10 3.10 假设存在磁单极子，其磁荷为 m Q，它的磁场强度为 m 3 0 4 Qr H r = ? ? 给出它的矢势的一个可能的表示式，并讨论它的奇异性 【解】【解】以磁荷所在点为坐标原点，由BA= ? ，通过任一个半径为r的球冠的磁 通量为 ddd SSL BSA SA l = ?i ii ? （1） 由图可见，球面面元矢量 2 dsin d dSre = ? ? ，矢势 rr AA eA eA e =+ ? ? 由式（1）右边可知，这三个分量中，只有A对磁通量有 贡献，故可让 r A=0A=，且由对称性，A与无关， 于是由 0 BH= ? ，式（1）两边分别给出 () 2 00 dsin dd1 cos2 44 mm S QQ BS = ?i 2 0 dsind2sin L A lA rA r = ?i ? 由此得矢势的一个可能表达式为 1 cos 4sin m Q AA ee r = ? ? （2） 由式（2）可以看出，对于 m Q+，在0r =（磁荷所在点） ，以及0r ，但=处，A ? 有一条奇异弦；而对于 m Q，则在0r =，以及0r ，但0=处，A ? 也有一条奇异弦。 3.11 设理想铁磁体的磁化规律为 00 BHM=+ ? ， 0 M ? 是恒定的与H ? 无关的量。 今将一个理想铁磁体做成的均匀磁化球浸入磁导率为的无限介质中，求磁感应强度 B ? 和磁化电流分布。 【解】【解】因本题满足d0Hl= ? ? 的条件，故可引入磁标势求解。 z r m Q L 华中师大 陈义成 - 68 - 一、一、选原点在球心、z轴沿 0 M ? 方向的球坐标；球坐标； 二、方程：二、方程：由于介质是均匀的，球内、外无磁 荷，故磁标势均满足拉普拉斯方程： 2 0 m = 三、对称性及通解形式：三、对称性及通解形式：轴对称，通解为（略去下标m） 球内： 1 1 (cos ) n n nn n n b a RP R + =+ 球外： 2 1 (cos ) n n nn n n d c RP R + =+ 四、边值关系和边界条件： 1） 四、边值关系和边界条件： 1）无穷远处磁标势为零： 2 0 R = （1） 2）2） 1 0R = =有限值； （2） 3）3） 00 12 R RR R = =； （3） 4）4）在 0 RR=的球面上： 21nn BB=，由 100 BHM=+ ? ，H= ? ，于是 有 12 1002 cos nn BMB RR = += （4） 五、定系数： (1)：(1)： 2 0 R =，由(1)(1)得：0 n c=，于是 2 1 (cos ) n n n n d P R + =； (2)：(2)： 1 0R = =有限值，由(2)(2)得：0 n b=，于是 1 (cos ) n nn n a R P=； (3)：(3)： 00 12 R RR R = =，由(3)(3)得： 0 (cos ) n nn n a R P= 1 0 (cos ) n n n n d P R + 由(cos ) n P的正交性，得： 0 1 0 n n n n d a R R + = （5） (4)：(4)： 0 RR=时，由(4)(4)得： 0 R 0 M ? 1 2 O z 华中师大 陈义成 - 69 - 1 000 2 0 (1) (cos )cos(cos ) n n nnn n nn nd na RPMP R + + += 由(cos ) n P的正交性： 1n =时， 1 100 3 0 2d aM R += （6） 1n 时， 1 0 2 0 (1) n n n n nd na R R + + = （7） 由式 （5） 、 （7） 得：0 (1) nn adn=； 在 （5） 中令1n =得： 3 110 da R=； 将 3 110 da R= 代入（6）得： 00 1 2 M a = + 及 3 00 10 2 M dR = + 因此球内： 00 11 coscos 2 M a RR = + 球外： 3 001 20 22 coscos 2 Md R RR = + 六、由磁标势求磁感应强度： 六、由磁标势求磁感应强度： 因为 ()cos z Rze= = ? ， 233 coscosRz RRR = 33 11 zz RR = + 34343 3 cos 3()3 zzRzzRR eeReeeeez R RRRRR = ? 所以 1100100 BHMM =+= + ? 00 00 cos 2 M RM = + + ? 00 00 2 z M eM = + + ? ? 0000 00 2 22 MM M = += + ? ? 222 BH= ? 3 00 0 2 cos 2 M R R = + 华中师大 陈义成 - 70 - 3 00 0 3 3() 2 zzRR Meeee R R = + ? 3 0000 53 3() 2 RMR RM RR = + ? ? 七、求磁化电流分布 (1) 七、求磁化电流分布 (1) 由于介质均匀，且 f 0J= ? ，故没有体磁化电流分布： M1 0 B JMH = = ? ? f 00 1111 0BJ = = ? （2）（2）磁化电流线密度：由 0 M21 () R R nMM = = ? ? ，而 222 22 00 BBB MH = ? ? ， 10011 11 00 BMBB MH = ? ? 所以 00 M2121 ()() R R RR R nMMeMM = = ? ? 0 3 2 R eM = + ? ? 0 3sin 2 M e = + ? 3.12 3.12 将上题的永磁球置入均匀外磁场 0 H ? 中，结果如何? 【解】【解】当 00z MM e= ? ? ， 00z HH e= ? ? 时，由轴对称性并考虑到0R =， 1 有限， R ， 20 cosH R ，两区域磁标势拉普拉斯方程的解可写成 1 (cos ) n nn n a R P= （ 0 RR） （2） 由 0 RR=处的边值关系 21 =， 21 000cos M RR = + （3） 解出 000 1 0 ( 3) cos 2 HM R + = + （4） 华中师大 陈义成 - 71 - 3 00000 20 2 0 () coscos (2) HMR H R R + = + + （5） 2 00 110000 00 32 () 22 BMHM =+=+ + ? （6） 202000 53 3() () m R Rm BH RR =+ ? ? ? ? i （7） 球内的两项均为均匀场；球外第二项是磁偶极场，将 2 的第二项与磁矩为m ? 的偶极子 的标势为 3 4 m R R ? ?i 比较，可知球面磁化电流形成的磁矩为 3 00000 0 ()4 2 HMR m + = + ? ? （8） 3.13 (1)设想在真空中存在孤立磁荷（磁单极） 。试改写麦克斯韦方程组以包括磁荷 密度 m 和磁流密度 m J ? 的贡献。 (2)阿耳瓦雷兹（Alvarez）等人用许多块物质一个接一个地连续通过一个n匝线圈来 寻找物质中的磁单极，如图(a)所示。线圈的电阻为R，假定磁荷运动得足够慢，使得它 的感应效应很小。当磁单极 m q沿图中环路穿过线圈N次后，计算有多少电荷量Q流过 线圈。 (3)设想线圈是由超导体制成的，因而其电阻为零，只有它的电感L限制了它的感应 电流。假定线圈中的初始电流为零，试计算磁单极 m q穿过线圈N次后，线圈里的电流 是多少。 【解】(1)在没有磁单极时，麦克斯韦方程组为 f D ? i= (1) 0B= ? i (2) B E t = ? ? (3) D HJ t f ? ? =+ (4) 在有磁单极时，设磁荷密度为 m ，则磁场的 高斯定理便不再是(2)，而是 m B= ? i (5) 这时 B E t = ? ? 便不再正确。因为对其两边取散度，左边为()0E = ? i，而右 m q （a） 华中师大 陈义成 - 72 - 边为0 m B tt = ? i。为了解决这个矛盾，利用磁流的连续性方程 0 m m J t ? i += (6) 把 B E t = ? ? 式的右边改为 m B J t ? ? ，即 m B EJ t = ? ? (7) 于是便得出有磁单极时的麦克斯韦方程组为 f D ? i= (8) m B= ? i (9) m B EJ t = ? ? (10) D HJ t f ? ? =+ (11) (2) 设线圈仅有一匝，以L表示线圈回路，L表示磁单极运动的环路，如图（b） 所示。把(10)式在以 L 为边界的曲面 S 上积分，即 m SSS ESBSJS t ddd ? iii = 再用斯托克斯公式，把上式变为 m L ElI t d? ?i ? = (12) 式中 m I是沿L通过 S 的磁流。因为 L Eld? ?i ? = (13) 是线圈回路L中的电动势，并且IR=，故在任何时刻都有 m IRI t = (14) 对时间积分： IR tQRd= 0t t d = (当磁单极远离L时) mm S Itqd = （b） L L m q 华中师大 陈义成 - 73 - 于是得 m q Q R = (15) 当线圈为n匝、 m q穿过线圈N次时，便有 m nN Qq R = (16) （3）因为0R =，所以0 L Eld? ?i ? = 。这时感应电流I所产生的磁通量LI=抵 消了磁单极所产生的磁通量，即 0 mm qLIq= (17) 当线圈为n匝、 m q穿过线圈N次时，便有 0 m LInNq= (18) 于是所求的电流便为 m nN Iq L = (19) 314 真空中有一半径为a的均匀磁化球，磁化强度为M ? 。试求它的磁标势和磁 感应强度。 【解】以球心O为原点，M ? 方向沿极轴 方向，取球坐标系如图所示。因为没有传导电 流，故0H ? =，所以可引入磁标势 m ， 使得H ? m =。又因B ? i0，故知球内 外的 m 都满足拉普拉斯方程： 2 0 m = （1） 问题具有轴对称性，故得上式的通解为 1 0 (cos ) l l mll l l b a rP r + = =+ （2） 在球内，0r 时， m 有限，故 1 0 (cos ) l mll l a r P = =，ra （3） 在球外，r时，0 m ，故 2 1 0 (cos ) l ml l l b P r + = =，ra （4） 1m M ? O a z P r 2m 华中师大 陈义成 -