工程数学48复习大纲.ppt

CH1 复数,考试大纲要求：,重点习题：,复数的基本概念,例1.,求复数的实部、虚部、共轭复数、辐角主值和模.,解：,Ch2 解析函数,1解析函数的定义与判别（CR方程）,考试大纲要求：,重点习题：,2几个基本初等函数的定义，,解:,故,的值.,1.,设,由于 解析，所以,即,故,2.,解:,求下列对数，并写出它们的主值.,Ch3 积分,会用柯西积分公式、高阶导数公式求积分,考试大纲要求：,重点习题：,例3.,解:,(1) 积分路径的参数方程为,计算,其中C为:,(1) 从原点到点1+i的直线段;,(2) 从原点沿 x 轴到点1,再到点1+i的折线段;,y=x,y=x,(2) 积分路径由两段直线段构成,x 轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,解：,由柯西定理, 有,计算积分,1.,因为函数,在,内解析，,2.,解:,计算,的正向简单闭曲线.,包含圆周,为奇点.,在C内作互不相交，互不包含的,只包含,只包含,其中 C 为,圆周,由复合闭路定理，得,解:,分以下四种情况讨论：,3.,CH4 级数,1会判别级数的收敛性,2 会求收敛半径及和函数,考试大纲要求：,重点习题：,3 会求函数的洛朗展开式,解:,1.,故收敛半径,2,求幂级数 的收敛半径:,解：,解：,所以,3,求 的收敛半径.,解:,利用逐项积分,得:,所以,5.,解:,6.,内是处处解析的,试把 f (z) 在这些区域内展开成,解:,洛朗级数.,7.,解:,Ch5留数,1会判别奇点的类型,2 会求留数,考试大纲要求：,重点习题：,3 会利用留数求积分,是一级极点，留数为1/6；,1.判别奇点的类型，并求留数,2 计算积分,解：被积函数在圆周内有一个一级极点与二级极点。,由留数定理可知,3.,解：,4 求积分,设,则,从而,故,5.,解：,1.计算 型积分.,当 经历变程 时,z沿圆周|z|=1的正方向绕,方法,令,行一周.因此有,用复数的方法计算积分,解,用复数的方法计算积分,CH 6场论,1会求矢性函数的微积分,2 掌握方向导数的计算方法,考试大纲要求：,重点习题：,3 掌握通量的计算方法,4 会求旋度及势函数,1.,解：,已知,计算,2：已知数量场,求场中与直线,相切的等值线方程。,解：数量场的等值线为,设,与直线,在点,相切,从而有,解之得,数量场的等值线为,解：,矢量线所满足的微分方程为,由,得,又由合比定理,3,求矢量场,的矢量线方程.,过点,可得,有,将点 代入,得,所以所求矢量线方程为：,4,朝 x 增大方向的方向导数.,解:将已知曲线用矢量形式表示为,它在点 P 的切向量为,5,解:,设由矢径,构成的矢量场中，,有一由圆锥面,及平面,所围成的封闭曲面S,试求 从S内,穿出S的通量.,由奥-高公式,6,求矢量场,从内穿出闭球面,的通量。,解,7.,解:,求矢量场,所产生的散度场 , 并求此散度场通过点 M (2,-1,1),的梯度。,令,8,解:,证明矢量场,为保守场，,并计算曲线积分,其中l 是从 A(1,4,1) 到 B(2,3,1),取,于是,的任一路径.,9,证明矢量场,为保守场，,并计算曲线积分,其中l 是从 A(3,0,1) 到 B(2,1,1),的任一路径.,10.,解:,是有势场，并求其势函数 v.,证明矢量场,由 的雅可比矩阵,得,取,于是得势函数,势函数的全体为,积分变换,1记住常见函数的Fourier变换，如,2 常见函数的Laplace变换，及性质,考试大纲要求：,重点习题：,3 会求Laplace逆变换，留数法，分部分式法，卷积法,4 会用Laplace变换解微分方程,1.,象函数微分性质,解:,2.,解:,积分性质,3.,解:,积分性质,象函数