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【课时训练】平面向量的数量积一、选择题1(2018北师大附中模拟)已知向量a(x1,2),b(2,1),则ab的充要条件是()AxBx1Cx5Dx0【答案】D【解析】由ab0可求得x0.2(2018杭州模拟)若向量a,b满足|a|b|2,a与b的夹角为60,则|ab|()A2B2C4D12【答案】B【解析】|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos 604422212,|ab|2.3(2018山西四校二联)已知平面向量a,b满足a(ab)3,且|a|2,|b|1,则向量a与b夹角的正弦值为()ABCD【答案】D【解析】a(ab)a2ab2221cosa,b42cosa,b3,cosa,b.又a,b0,sina,b.4(2018北京昌平第二次统考)如图,在ABC中,若|,AB2,AC1,E,F为BC边的三等分点,则()ABCD【答案】B【解析】若|,则222222,即有0.E,F为BC边的三等分点,则()() 22(14)0.故选B.5(2018驻马店质检)若O为ABC所在平面内任一点,且满足()(2)0,则ABC的形状为()A正三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形【答案】C【解析】因为()(2)0,所以()0.因为,所以()()0,即|.所以ABC是等腰三角形故选C.6(2018南宁二次适应性测试)线段AD,BE分别是边长为2的等边三角形ABC在边BC,AC边上的高,则()ABCD【答案】A【解析】由等边三角形的性质,得|,120,所以|cos,.故选A.7(2018陕西宝鸡三模)若ABC外接圆的圆心为O,半径为4,220,则在方向上的投影为()A4BCD1【答案】C【解析】如图所示,取BC的中点D,连接AD,OD,则由平面向量的加法的几何意义,得2.又由条件,得,所以2,即4.所以A,O,D共线所以OABC.所以CD为在方向上的投影因为|4,所以|3.所以| .二、填空题8(2018德州模拟)在ABC中,M是BC的中点,AM3,点P在AM上,且满足2,则()的值为_【答案】4【解析】由题意,得AP2,PM1,所以()2221cos 1804.9(2018烟台模拟)已知O是边长为1的正三角形ABC的中心,则()()_.【答案】【解析】由题意知AOBBOCAOC120,且OAOBOC,所以cos 120.故()().10(2018荆州二检)在ABC中,3,ABC的面积S,则与夹角的取值范围是_【答案】【解析】由三角形面积公式及已知条件,知SABCABBCsin B,所以ABBCsin B3.由3,知ABBCcos(B)3,所以ABBC.代入,得3,所以1tan B.所以B.而与的夹角为B,其取值范围为.11(2018江西白鹭洲中学期末)已知在直角三角形ABC中,ACB90,ACBC2,点P是斜边AB上的中点,则_.【答案】4【解析】由题意可建立如图所示的坐标系,可得A(2,0),B(0,2),P(1,1),C(0,0),则()224.12(2018安徽黄山二模)在ABC中,若,则点O是ABC的_(填“重心”“垂心”“内心”或“外心”)【答案】垂心【解析】,()0.0,OBCA,即OB为ABC底边CA上的高所在直线同理0,0,故O是ABC的垂心13(2019武汉调研)如图,AB是半圆O的直径,C,D是弧AB的三等分点,M,N是线段AB的三等分点,若OA6,则_.【答案】26【解析】解法一:因为()()|cos 180|cos 60|cos 60|cos 604661826.解法二:以点O为坐标原点,AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略),则M(2,0),N(2,0),C(3,3),D(3,3),所以(1,3),(1,3),12726.三、解答题14(2018陕西模拟)已知|a|4,|b|3,(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角;(2)求|ab|;(3)若a,b,求ABC的面积【解】(1)因为(2a3b)(2ab)61,所以4|a|24ab3|b|261.又|a|4,|b|3,所以644ab2761.所以ab6.所以cos .又0,所
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