2019版高考数学第2章函数概念与基本初等函数6第6讲对数与对数函数教案理.docx

第6讲对数与对数函数1对数概念如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化：axNxlogaN(a0，且a1)loga10，logaa1，alogaNN(a0，且a1)运算法则loga(MN)logaMlogaNa0，且a1，M0，N0logalogaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)换底公式logab(a0，且a1，c0，且c1，b0)2.对数函数的图象与性质a10a1时，y0当x1时，y0当0x1时，y0当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数3.反函数指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线yx对称 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若MN0，则loga(MN)logaMlogaN.()(2)logaxlogayloga(xy)()(3)函数ylog2x及ylog3x都是对数函数()(4)对数函数ylogax(a0且a1)在(0，)上是增函数()(5)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1，0)且过点(a，1)，函数图象只在第一、四象限()答案：(1)(2)(3)(4)(5) 函数yln(1x)的定义域为()A(0，1)B0，1)C(0，1D0，1解析：选B.因为yln(1x)，所以解得0x0，所以alog2m，blog5m，所以logm2logm5logm102.所以m210，所以m.答案：对数函数的图象及应用 典例引领 (1)(2018沈阳市教学质量检测(一)函数f(x)ln(x21)的图象大致是()(2)(数形结合思想)当0x时，4x1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在(0，上的图象，可知f()g()，即2，所以a的取值范围为(，1)【答案】(1)A(2)B1.若本例(2)变为：方程4xlogax在上有解，求实数a的取值范围解：构造函数f(x)4x和g(x)logax，当a1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在上的图象(见例题(2)解析图象)，可知，只需两图象在上有交点即可，则fg，即2loga，则a，所以a的取值范围为.2.若本例(2)变为：若不等式x2logax0对x恒成立，求实数a的取值范围解：由x2logax0得x2logax，设f1(x)x2，f2(x)logax，要使x时，不等式x21时，显然不成立；当0a1时，如图所示，要使x2logax在x上恒成立，需f1()f2，所以有loga，解得a，所以a1.即实数a的取值范围是.利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解本例(2)充分体现四大数学思想，不等式4x0，a1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()Aa1，c1Ba1，0c1C0a1D0a1，0c1解析：选D.由对数函数的性质得0a0时是由函数ylogax的图象向左平移c个单位得到的，所以根据题中图象可知0c0且a1)的图象过两点(1，0)和(0，1)，则logba_解析：f(x)的图象过两点(1，0)和(0，1)则f(1)loga(1b)0且f(0)loga(0b)1，所以即所以logba1.答案：13已知函数f(x)关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_解析：问题等价于函数yf(x)与yxa的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a1.答案：(1，)对数函数的性质及应用(高频考点)对数函数的性质是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有高考对对数函数性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)比较对数值的大小；(2)解简单的对数不等式或方程；(3)对数型函数的综合问题典例引领角度一比较对数值的大小 (2018福州市综合质量检测)已知aln 8，bln 5，cln ln ，则()AabcBacbCcabDcba【解析】因为aln 8，bln 5，clnln，所以aln，bln，clnln.又对数函数yln x 在(0，)上为单调递增函数，由，得lnlnln，所以acb，故选B.【答案】B角度二解简单的对数不等式或方程 若loga(a21)loga2a0且a1，故必有a212a，又loga(a21)loga2a0，所以0a1，所以a.综上，a.【答案】C角度三对数型函数的综合问题 已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)，a0，且a1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并予以证明；(3)当a1时，求使f(x)0的x的取值范围【解】(1)因为f(x)loga(x1)loga(1x)，所以解得1x1.故所求函数的定义域为x|1x1(2)f(x)为奇函数证明如下：由(1)知f(x)的定义域为x|1x1时，f(x)在定义域x|1x0，得1，解得0xlogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0ab的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式(3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤 通关练习1(2017高考全国卷)函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是()A(，2)B(，1)C(1，)D(4，)解析：选D.由x22x80，得x4.因此，函数f(x)ln(x22x8)的定义域是(，2)(4，)注意到函数yx22x8在(4，)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是(4，)，选D.2若f(x)lg x，g(x)f(|x|)，则g(lg x)g(1)时，x的取值范围是_解析：当g(lg x)g(1)时，f(|lg x|)f(1)，由f(x)为增函数得|lg x|1，从而lg x1，解得0x10.答案：(10，)3已知函数f(x)loga(8ax)(a0，a1)，若f(x)1在区间1，2上恒成立，则实数a的取值范围是_解析：当a1时，f(x)loga(8ax)在1，2上是减函数，由f(x)1恒成立，则f(x)minloga(82a)1，解之得1a，当0a1恒成立，则f(x)minloga(8a)1，即82a4，又0a1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0a0，且a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只在第一、四象限(3)在直线x1的右侧，当a1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0a1时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低” 几个常用的结论(1)函数yloga|x|的图象关于y轴对称(2)函数yax与ylogax互为反函数，它们的图象关于直线yx对称即若f(x)的图象上有一点(a，b)，则(b，a)必在其反函数图象上(3)函数f(x)|logax|的定义域为(0，)，值域为0，)，在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增 易错防范(1)在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为(0，)对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0a1两种情况讨论(2)在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N*，且为偶数) 1函数y的定义域是()A1，2B1，2)C. D.解析：选D.要使该函数有意义，需解得：0且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)()Alog2x BClogxD2x2解析：选A.由题意知f(x)logax，因为f(2)1，所以loga21.所以a2.所以f(x)log2x.3若函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|00，且a1)的值域为y|0y1，则0a1，由此可知yloga|x|的图象大致是A.4(2018河南新乡模拟)设a60.4，blog0.40.5，clog80.4，则a，b，c的大小关系是()AabcBcbaCcabDbc1，blog0.40.5(0，1)，clog80.4bc.故选B.5(2018河南平顶山模拟)函数f(x)loga|x1|(a0，a1)，当x(1，0)时，恒有f(x)0，则()Af(x)在(，0)上是减函数Bf(x)在(，1)上是减函数Cf(x)在(0，)上是增函数Df(x)在(，1)上是增函数解析：选D.由题意，函数f(x)loga|x1|(a0且a1)，则说明函数f(x)关于直线x1对称，当x(1，0)时，恒有f(x)0，即|x1|(0，1)，f(x)0，则0a0，a1)的图象过定点A，若点A也在函数f(x)2xb的图象上，则f(log23)_解析：由题意得A(2，0)，因此f(2)4b0，b4，从而f(log23)341.答案：17已知2x3，log4y，则x2y的值为_解析：由2x3，log4y得xlog23，ylog4log2，所以x2ylog23log2log283.答案：38若函数f(x)loga21(2x1)在上恒有f(x)0，则实数a的取值范围是_解析：因为x，所以2x1(0，1)，且loga21(2x1)0，所以0a211，解得a1或1a0，a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间上的最大值解：(1)因为f(1)2，所以loga42(a0，a1)，所以a2.由得1x0且a1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性解：(1)由ax10，得ax1，当a1时，x0；当0a1时，x1时，f(x)的定义域为(0，)；当0a1时，设0x1x2，则1ax1ax2，故0ax11ax21，所以loga(ax11)loga(ax21)所以f(x1)1时，f(x)在(0，)上是增函数类似地，当0a0，a1)在区间内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为()A(0，)B(2，)C(1，)D(，)解析：选A.令Mx2x，当x时，M(1，)，f(x)0，所以a1，所以函数ylogaM为增函数，又M，因此M的单调递增区间为.又x2x0，所以x0或x.所以函数f(x)的单调递增区间为(0，)2函数f(x)|log2x|，若0a1b且f(b)f(a)1，则a2b的取值范围为()A4，)B(4，)C5，)D(5，)解析：选D.画出f(x)|log2x|的图象如图：因为0a1b且f(b)f(a)1，所以|log2b|log2a|1，所以log2blog2a1，所以log2(ba)1，所以ab2.所以ya2ba(0a15，所以a2b的取值范围为(5，)，故选D.3若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，则a的取值范围为_解析：令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在(，1上递减，则有即解得1a0，所以f(x)log2log(2x)log2xlog2(4x2)log2x(log242log2x)log2x(log2x)2.当且仅当x时，有f(x)min.答案：5已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)0，当x0时，f(x)logx.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.解：(1)当x0，则f(x)log(x)因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)log(x)，所以函数f(x)的解析式为f(x)(2)因为f(4