悖论在三次数学危机中的作用.doc

数学之美 2007年11月总第3期数学方法与数学思想编辑点评：该文谈悖论，但并不是面面俱到地谈悖论，而是专门谈悖论在三次数学危机中的作用，不但主题鲜明、集中，而且由于三次数学危机在数学史中的地位，文章的选题就也显得非常重要。作者对悖论与三次数学危机的关系，有比较准确、深入的理解；又查阅了大量的文献，用自己的语言组织成文，文字通顺，脉络清晰，繁简得当，论述到位。读者从这篇文章中，不仅能够了解什么是悖论，还能够了解什么是历史上的三次数学危机；不仅能够了解悖论在其中的作用，而且能够了解危机的解决对推动数学发展的作用；所以，本文有相当的可读性，是一篇优秀的论文。悖论在三次数学危机中的作用王子珺（数学科学学院 统计学系 0510162）摘 要：本文介绍了悖论在推动数学发展过程中的贡献，主要关注悖论引发的三次数学危机，以及研究悖论的重要意义。关键词：悖论；数学危机1 什么是悖论有一种命题，你无法证明它究竟是真还是假，这种命题，就叫做悖论。悖论paradox来自希腊语“para+dokein”,意思是“多想一想”。 悖论不是诡辩，它是完美无缺的，经得起推敲的命题，你既不能证明它是真，也不能证明它是假；或者说，你既可以证明它是真，也可以证明它是假。辞海中说，悖论就是逻辑学和数学中的一种“矛盾命题”。即如果你假定一个命题是真的，那么经过一系列正确的推导可以得出该命题是假的；反之如果假定命题为假，则又能同样合理地推出命题为真。这一系列的“真真假假”，吸引了古今中外无数人对于逻辑和数学精密性的兴趣和思考，其中包括众多科学家、思想家以及无数爱好者。每一个著名悖论的提出，往往都标志着一个新理论的开始；每一次解决悖论的过程，都在将这个新理论向前推进。随着悖论不断地被提出和解决，众多学科得以快速发展前进。悖论当然也具有非常重要的数学意义。从古希腊的希伯斯提出的悖论开始，一直到罗素的关于集合论的悖论，很多悖论的提出都震撼了数学的基础，由此也对数学理论的发展起了巨大的推动作用。这里特别需要指出的是悖论在三次数学危机中的巨大作用，是它们造成了这三次危机，而每一次危机的化解都使得数学这棵大树的根基更加稳固。2 希伯斯悖论第一次数学危机公元前六世纪，古希腊有个著名的学派叫做毕达哥拉斯学派，其创始人毕达哥拉斯（Pythagoras）是当时著名数学家与哲学家。在此学派的兴盛期，毕达哥拉斯的思想是绝对权威的真理。由他本人提出的著名命题“万物皆数”（这里的数指整数）是该学派的重要基石，他们的信仰是：世界上的一切都可归结为整数或整数之比，而且这一思想也被当时的人们所普遍接受。这个学派后来又发现了毕达哥拉斯定理（即勾股定理）。然而，正是这个在当时令众多人兴奋不已的定理，在毕达哥拉斯学派的基石上砸出了裂缝。毕达哥拉斯定理提出后不久，其学派中的一个成员希伯斯（Hippasus）发现了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度L不能用整数或整数之比来表示（即为无理数的证明）。这在当时就造成了矛盾，其悖论性在于：当时人们认为一切数都可表示为整数或整数之比，L是一个数，则L也可以被这样表示出来，但由勾股定理以及一系列定理可以得出L不可以被整数或其比所表示，这是违背了人们的普遍认知的，被认为是由正确的推理得出的“错误”结论。这一重大发现使得希伯斯受到毕达哥拉斯忠实门徒的追杀，直至他惨遭毒手，被扔进地中海。尽管他本人被杀害，但这个发现还是被许多人知道了。希伯斯的问题导致了数学史上第一个无理数的诞生。它的出现在当时的数学界乃至整个社会掀起了一场巨大风暴，它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，是对“万物皆数”的反驳。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击，从而导致了第一次数学危机。在这个问题的推动下，更多的数学家开始研究数的基础理论。为解决这一问题，人们把证明引入了数学，数学逐渐从经验科学变为演绎科学。直到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数的本质才被彻底搞清。它在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。无理数的发现，推动了除四则运算外的其他运算方法的使用。这次危机也使得人们感到几何应占有特殊地位，几何越来越受重视，欧氏几何学直至笛卡尔(Descartes)解析几何应运而生。著名的几何原本也是在这时诞生的。同时，人们明白了直觉和经验不一定靠得住，而步骤严谨的推理证明才是可靠的。由此，严密的逻辑推理证明成为今后解决数学以及其他各门学科问题的重要方法并沿用至今，古典逻辑也由此而生。而且，在解决这一问题的过程中，必然涉及到无限、极限和连续，而这些概念恰恰又是现代数学分析的基础。因此可以说，正是希伯斯悖论的解决，“万物皆数”理论的崩溃，才隐约显现出现代数学分析的萌芽，希腊数学也成为了现代数学的始祖。在无理数引进后，人们越来越觉得还有其它形式的数存在，随着数学与其它学科的不断发展，又逐步引入了虚数、负数、无穷小、无穷远点等。这些量的引入也曾一度引发了不小的混乱，尤其无穷小量的使用，更是掀起了轩然大波，激起了众多人的怀疑与批判，甚至引发了第二次数学危机。3 贝克莱悖论第二次数学危机在牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz）创立微积分学的时期，尽管它的成果丰硕, 但其理论基础相当薄弱，出现了越来越多的悖论，常常有不能自圆其说的情况。更由于十八世纪时的西方数学观念主要渊源于古希腊文化，如上所说，此时的科学家已非常注重推理逻辑的严密性；但是微积分学中对于无穷小量的应用却是完全建立在使用的有效性之上，更多人是将无穷小量作为一种解题技巧来使用而不去研究其严密性。因此，微积分学中的逻辑严密性遭到了当时不少人的猛烈抨击，如贝克莱（Berkeley）、格兰弟（Grandi）以及芝诺(Zeno)等人。其中著名的唯心主义哲学家贝克莱主教提出的悖论，是对基础有缺陷的微积分学最强有力的批评。贝克莱不仅是一位哲学家，而且他精通数学，为了维护宗教利益，他挑出了当时牛顿、莱布尼茨理论中一些不严格的地方大肆攻击，并曾在他的著作分析学者一书中专门批评了牛顿的求导过程不正确。牛顿在求y=x这个函数的导数时，由y=(x+x)- x得到y=3xx+3xx+x,然后再除以x，得到=3x+3xx+x，最后令x=0，求得函数y的导数=3x。贝克莱批评在此过程中，x一会不等于0，一会又等于0，可以说是消失了的增量，就像漂泊不定的鬼魂；由此得到的导数作为y与x消失了的增量之比，“既不是有限量也不是无穷小量，但又不是无”，从而就只不过是“消失了的量的鬼魂”，不具有任何逻辑意义。上面的这个问题就是著名的“贝克莱悖论”，其核心就是x的无穷小的增量x究竟是否等于0。从无穷小量在运算过程中的使用来看，要作为除数它必须不是0，但最后又要把它当作是0而忽略。但从一般人的认知上讲，是0或非0的确是一个矛盾。这一悖论的提出在当时的数学界乃至整个社会都引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。贝克莱所谓的“消失了的量的鬼魂”，显然是过分之词。但不得不承认，他提出的问题准确地抓住了当时的微积分理论概念不清晰、运算缺乏严密逻辑基础的弊病，正对准了微积分学最薄弱的地方。他坚持：微积分学的发展包含了偷换假设的逻辑错误。尽管当时的很多科学家都曾试图解决这个悖论所提出的问题，但由于微积分学的理论基础实在太薄弱了，大多数人都没有很大的进展。于是后来的更多科学家不顾基础的严密与否，而是转向研究微积分学的上层分支，并且也得到了一系列重要成果。与贝克莱同一时期，意大利修道士格兰弟对级数的收敛、发散含糊不清的情况提出的悖论“从虚无创造万有”，即无穷级数x=1-1+1-1+的求和问题，也是第二次数学危机的主要导火线。一方面，无穷级数x=(1-1)+(1-1)+=0；另一方面，x=1-(1-1)-(1-1)-=1。由上可以得出0=1，在等式两边同乘任何数，就得到0=任何数，于是格兰弟称从虚无(0)创造万有(任何数)。第二次数学危机的另一导火线当然还包括著名的古希腊诡辩家芝诺提出的四大悖论，它们是对于微积分中连续与离散以及无穷小的逻辑意义提出的问题，在此就不一一列举了。经过多年无数杰出学者的努力，特别是著名数学家柯西(Cauchy)的出现，重建微积分学的严密逻辑基础这项重要而困难的工作终于基本完成了。极限的-方法、建立在实数理论之上的极限理论，康托尔集合论的创立，宣布了第二次数学危机的基本解决。微积分的确立，清楚地表明了代数运算的优越性及其解决当时的科学问题的有效性和广泛性，并使得人们最终接受了微积分提供的思维意义上的概念和计算方法。随着微积分的建立，也给数学带来一个巨大的繁荣，逐渐建立起了常微分方程、偏微分方程、变分学、积分方程、无穷级数、复变函数与复分析、泛函分析等数学分支。可以说：微积分，带给了数学世界一个辉煌的时代，而对诸多悖论的研究，带给了微积分坚实的基础。但令人遗憾的是，无论是微积分学还是非欧几何的真理性，都被归结于实数理论的无矛盾性。这是第二次数学危机遗留下的一个尾巴。从某个方面讲，这也为第三次数学危机留下了隐患。4 罗素悖论第三次数学危机1874年，德国数学家康托尔(Cantor)创立了一门崭新的数学分支集合论，它可以算是最基础的数学学科。说得大一点，它不仅是一切数学的基础，而且还是其它科学的基础。但集合论的严密性受到了一部分数学家的怀疑，其中包括一位英国哲学家罗素(Russell)。他苦思冥想了三年，终于找到了一个证明自己观点的简单明确的表达方式罗素悖论。罗素悖论也称罗素策墨罗(Zermelo)悖论，因为策墨罗也曾同时独立的发现了它。它基于康托尔集合论中的定义：一个元素要么属于某集，要么不属于它。罗素悖论叙述如下：集合可分为两种：一种是本身分子集的（自谓的），比如“一切集合组成的集合”也是一个集合，所以它必为该集合自身的一个元素，所以是一个本身分子集；第二种是非本身分子集，比如自然数集绝不是某个自然数，既非自谓的。这样一来任给一个集合，它不是本身分子集就是非本身分子集，二者必居其一。现在设A是一切非本身分子集之集，试问A是哪一种集合？事实上，若假设A是一个本身分子集，则A为自身的一个元素，而A中每一个元素皆为非本身分子集，故A亦为一个非本身分子集。与假设矛盾。若假设A是一个非本身分子集，则由A的定义知AA，故这恰符合本身分子集的定义，所以A又是一本身分子集。又与假设矛盾。总之，这与“A应该二者必居其一”矛盾。不幸的事情再次发生，历史重演，犹如第二次数学危机时发生的事情一样，数学理论基础的严密性再次受到威胁。这个悖论以其意义简单明确揭开了当时的数学基础康托尔集合论本身的矛盾重重的盖子，震惊了整个数学界。罗素悖论引起了数学王国的一场大地震，动摇了整个数学的基础，使当时号称“天衣无缝”、“绝对正确”的数学陷入了自己自相矛盾的境地，于是引发了第三次数学危机。从罗素悖论提出之日起一直到今天许多数学家都试图解决悖论。这次数学危机使数学家们意识到，应当建立某种公里系统来对集合论做出必要的规定，以排除罗素悖论及其它相关悖论。于是很快便出现了很多解决它的公理系统。如弗兰克(Fraenkel)改进策墨罗的Z公理系统而得出的ZF公理系统，是最早的被公认无矛盾的系统；又如策墨罗之后再提出的ZFS公理系统和冯诺伊曼的公理化集合论的第二个公理系统(NBG系统)。虽然它们可以消除悖论，但它们本身的缺点仍然很多，存在很多问题。不过再加上歌德尔、科恩等人的努力，到1983年建立了公理化集合论，即要求集合必须满足ZFC公理系统中十条公理的限制。此外数理逻辑也在众多人不断的研究过程中取得了很大发展，证明论、模型论、递归论也相继诞生，出现了数学基础理论、类型论、多值逻辑等。这些学科的发展，归根结底都是罗素悖论所推动的。尽管第三次数学危机并未得到圆满解决，但罗素悖论能引发人们什么样的思考已经比解决它更重要。现在已经再没有人敢声称数学已经达到“天衣无缝”了。不过从另一方面看，这也未必不是一件好事。因为数学是无限的科学，它还远未达到完全的严密，我们便可以一直在探索数学根基这条路上走下去。5 研究悖论的重要作用可以肯定地说，几乎每个人都曾经遭受过悖论的“折磨”。在绞尽脑汁、搜肠刮肚的苦苦思索之后，对很多人来说，悖论带来的还是那种“似是而非，似非而是”的感觉。因而，在那些喜欢玩弄狡计的诡辩者手中，悖论成为战无不胜的利剑；而在那些喜欢挑战智慧的真正思想者眼中，悖论便是一团团必须走出的迷雾。我们已经无法看到古希腊诡辩者在设下一个个智慧的陷阱之后嘴角残留的那一抹得意的微笑了，但由此而结出的硕果，现代人正大把大把地采摘着。悖论不仅仅推动了数学这一门学科的发展，它在逻辑学、物理学、语言学、社会学、经济学及其它很多学科中同样占有重要的席位。悖论的连锁反应不仅对科学思维方式产生了深刻影响，而且对人类的生存和发展，对技术、生产乃至整个人类文明都产生了不可忽视的重大影响。考察人类历史中出现的种种悖论，在某种程度上是对人类思想史和科学史的一种解读。现在已经出现的悖论中，许多还没得到令人满意的答案，而且可以预见，科学探索的不断前进还会带来更多更令人困惑的悖论。但这并不可怕，每一个令人愁肠百结、夜不能寐的悖论带来的都不是终结，而是令人眼界大开的柳暗花明。参考文献：1张顺燕，数学的源与流，高等教育出版社2王庚，数学文化与数学教育，科学出版社3方延明，数学文化导论，南京大学出版社4王宪昌，蔡仲，郑毓信，数学文化学，四川教育出版社5马丁加德纳，从惊讶到思考数学悖论奇景，科学技术文献出版社6泽熙，经典悖论漫游7科学悖论集浅议三大数学流派的差异对数学基础的考察与反思曹文斌 （数学科学学院 基础数学 0510049）摘 要:罗素的集合论悖论直接导致第三次数学危机，并引发了数学史上一场对数学基础的博弈，其中占据主导地位的有三大数学流派-逻辑主义、直觉主义、形式主义。笔者通过对这三大数学流派的历史渊源、主要代表人物及其基本观点的考察与反思，形成对这段历史的一些初浅认识，进而在理性层面上更加体验到了数学的优美和谐。关键词:逻辑主义；罗素；直觉主义；布劳威尔；形式主义；希尔伯特 引 言 数学的奇妙之处不仅体现在自身结构的优美和谐、在自然科学中广泛而深刻的应用，以及引发的哲学思考，而且其自身的发展也是一个引人注目的领域。古往今来，数学的发展并非一帆风顺，它在一步步走向完备、走向现代的进程中，是历尽艰难险阻的。但在成长中，这些艰难险阻并没有扼杀数学的旺盛活力，反而刺激了它的进一步完备化、科学化，从而更加丰富、更加优美和谐。而罗素集合论悖论的提出，及其引发的深刻思考和最终解决，便是其中最为璀璨的几颗明珠，它们每一次出现，都要引起一场深刻的数学变革。二十世纪初，康托尔集合论的创立，似乎给数学带来了崭新的曙光，数学家们纷纷采取集合论简明优美的语言来给自己的数学寻根。然而罗素集合论悖论的出现，直接使作为数学基石的集合论遭到重创，进而波及到几乎所有的数学分支，使数学的真理性受到强烈的质疑。面对危机，数学家们当然需要重新思索集合论的问题，乃至一些带有根本性的问题。就在这种艰难的局面中，诞生了一门新的数学分支数学基础。数学家们在对数学基础的严密考察中，起初并没有明显的分歧，尔后因多种意识的碰撞，逐渐发展成不同的流派，可谓二十世纪数学界百家争鸣的壮观场面。这里最具代表性的是三大流派逻辑主义、直觉主义、形式主义。1 逻辑主义流派的历史渊源、主要人物及基本观点自从亚历士多德创立了逻辑三段论之后，西方后世的思想便深受其影响，在方法论上形成了西方特有的、注重逻辑推理和演绎的思想。笛卡尔的“我思故我在”，更是将存在的主体、意识及存在等同起来。逻辑学作为一种纯理性演绎推理的工具被数学家所重视，并试图将数学归于逻辑便有了其历史的必然性。逻辑主义的形成，究其本源可以追溯到莱布尼兹时代，他把逻辑学想象成一门普遍的科学，这种科学包括构成其它所有科学的基础性原则，这种逻辑学也先于一切科学的观点，即是逻辑主义思想原则的萌芽。但遗憾的是，他并未能进一步开展这方面的工作，而到了十九世纪，戴德金、弗雷格和皮亚诺等人继承莱氏先志，逐步发扬光大，最终都取得了显著的成就。逻辑主义流派的主要代表人物是英国著名的数学家、哲学家和逻辑学家罗素。1913年，他与怀特海完成了逻辑主义流派的经典代表作数学原理。作者试图从这本数学巨著中向人们说明：数学的全部，可以从一个逻辑公理系统严格推导出来，也就是说可以从逻辑概念出发，用明显的定义导出数学概念；从逻辑命题开始，用纯逻辑的演绎推得数学定理，进而使全部数学可以从基本的逻辑概念和逻辑规则中推导出来。这样，就可以把数学看成是逻辑学的延伸或分支。因此，罗素说：“逻辑学是数学的青年时代，而数学是逻辑学的壮年时代”、“数学即逻辑”。罗素在他的数理哲学导论一书中进一步阐述了自己的观点：“通过分析来达到越来越大的抽象性和逻辑简单性，要研究我们能否找到更为一般的思想原则，以这些思想和原则出发，能使现在作为出发点的东西得以被定义和演绎出来”。那是什么样的思想原则呢？罗素接着说：“应当从一些已被普遍承认了的逻辑的前提出发，再经过演绎而达到那些明显的属于数学的结果。”他把数学化归于逻辑，这也是他的基本观点。2 直觉主义流派的历史渊源、主要人物及基本观点直觉主义流派的思想可以追溯到亚里士多德时期，亚里士多德是历史上第一位反对实无穷，只承认潜无穷的哲学家。直觉主义流派的哲学观点，是直接来源于康德的自然数源于“原始直觉”的观点，即康德的“自然数是从时间的直觉推演出来”的主张。康德在他的纯粹理性批判一书中集中探讨了数学何以可能、科学何以可能、哲学何以可能的问题，试图理清它们的适用范围和方法论意义。他相信现象界和客观世界是截然不同的存在，相信数学综合判断的先验性和人们基于现象界对客观世界的直觉认识。十九世纪的克罗内克强调能行性，说当时许多定理都只是符号游戏，没有实际意义。他认为“上帝创造了自然数，别的都是人造的。而整数在直观上是清楚的，故可以接受，其他则是可疑。”其意是说，只有自然数是真实存在的，其余都是人为做出的一些文字符号而已。他还主张在自然数的基础上构造整个数学。到了二十世纪初，庞加莱亦持自然数为最基本的直观及潜无穷的主张，而其他如包瑞尔、勒贝格、鲁金等半直觉主义者或法国经验主义者亦强调能行性的观念。他们公开否认选择公理，认为根据选择公理而做出的集合，根本没有能行性，不能承认其存在。他们提出了能行性的概念，对没有能行性的，便不承认其存在。他们都是直觉主义流派的先驱。所有这一切，不论从哲学上还是数学上都为布劳威尔的直觉主义提供了直接的前提，布劳威尔集其先驱们之大成，系统的提出了直觉主义流派的主张：2.1 布劳威尔对数学对象的观点。他提出一个著名的口号：“存在即是被构造。”他认为，人们对数学的认识不依赖于逻辑和语言经验，而是“原始直觉”（即人人皆有的一种能力），纯粹数学是“心智的数学构造自身”，是“反身的构造”，它“开始于自然数”，而不是集合论。这种数学构造之所以成为构造，与构造物的性质无关，与其本身是否独立于人们的知识无关，与人们所持的哲学观点也无关。构造物应该怎样就怎样，数学判断应该是永恒的真理。因此，布劳威尔不承认有客观存在的、封闭的和已完成的实无穷体系。实无穷论者认为，“自然数全体”就是指自然数集1，2，3，这是个确实存在的、完成了的集合，应该作为数学研究的对象。潜无穷论者否认实无穷，认为无穷只是潜在的，并不是已完成了的封闭实体，只是就其发展来说是无穷的。在他们看来，自然数1，2，3，只能是永远处于不断被构造和生成的过程，而不是完成了的、封闭的实体。所以，诸如“自然数全体”这样的概念是没有意义的。2.2 布劳威尔对数学所用的逻辑观点。他对数学对象的观点直接导出了他对数学所用的逻辑观点，认为“逻辑不是发现真理的绝对可靠的工具”，并认为在真正的数学证明中不能使用排中律。因排中律和其他经典逻辑规律是从有穷集抽象出来的规律，不能无限制的使用到无穷集上去，也不能使用反证法。3 形式主义流派的历史渊源、主要人物及基本观点一般认为，形式主义流派的奠基人是希尔伯特，人们把希尔伯特的数学观和数学基础称为“形式主义”，罗素和布劳威尔称希尔伯特为形式主义的代表人物，但他们是指希尔伯特奠定数学基础的形式化方法，不一定是指他的某种主张。而希尔伯特本人并不自命为形式主义者，他的学生贝尔奈斯也不认为希尔伯特是形式主义者。1926年，希尔伯特曾说，数学思维的对象就是符号本身，符号就是本质，他们并不代表理想的物理对象。公式可能蕴含着直观上有意义的叙述，但这些涵义并不属于数学。希尔伯特的上述观点具有明显的形式主义色彩，其主要观点：3.1承认实无限。认为古典数学中那些包含着绝对无穷（即实无穷）概念的命题确实是“超越人们直观性证据之外”的东西，是实实在在的东西。3.2既承认实无限，也就承认超穷集合概念，承认自然数集是一个完成了的无穷集合，进而承认排中律的普遍有效性。3.3主张使古典数学成为形式公理化的理论。所谓数学理论的形式公理化，就是要纯化掉数学对象的一切与形式无关的内容和解释，使整个数学能从一组公理出发，构成一个纯形式的演绎体系，这一想法也成为希尔伯特计划。3.4认为验证形式公理化理论的相容性所需要的模型，不能取自感性世界或物理世界。提出以“命题证明法”作为研究对象的一门数学，来直接处理公理化的相容性问题。这门数学后来叫做“元数学”或“证明论”。但在对形式系统的讨论中规定采用构造论方法，也就是对推理规则限定使用有限方法，不得牵涉无穷的集合的概念。4 三大流派观点的简要比较 首先，形式主义和逻辑主义一样，都是从公理系统出发。不同点是：当逻辑主义者接近到逻辑公理系统时，不再持原来对公理体系的观点，而要求逻辑公理系统具有内容，还想方设法探求逻辑规律的真理性究竟体现在什么地方；形式主义者则不然，他们认为，数学的公理系统或逻辑的公理系统，其基本概念是没有意义的，公理只是一行行的符号，无所谓真假，只要能够证明该公理系统是相容的、不互相矛盾的，该公理系统便得到承认，它便代表某一方面的真理。此外，连逻辑公理系统也认为是没有内容的，不能由内容方面保证其真理性，于是只留下“相容性”，即“不自相矛盾性”作为真理所在了。其次，与逻辑主义者和形式主义者不同，直觉主义者认为排中律和其它经典逻辑规律，是从有穷集抽象出来的规律，其否认实无穷。直觉主义者进一步认为：这些规律不能无限制的使用到无穷集中去，同样不能使用反证法。最后，对逻辑主义、直觉主义、形式主义这三大流派的成败，笔者作如下评述：在数学原理中，罗素和怀特海曾通过纯逻辑的途径，加上集合论的选择公理和无穷公理把当时的数学严格推导出来，获得了成功。但事实并非如此，罗素从一个逻辑系统推导数学时使用了集合论的选择公理和无穷公理，这是不可缺的，否则不能完成。不用无穷公理则自然数系统就无法构造，更不要说全部数学了。所以，罗素并没有将数学化归为逻辑，而是化归为集合论。要从逻辑推导出全部数学，就必须发展集合论，而集合论是自相矛盾的，没有相容性。在逻辑系统中是不允许有矛盾的，必须排除悖论。可后来罗素与怀特海所做的工作并没有很好的解决这个问题，进而遭遇了不少困难。数学基础学家一般都不接受“数学就是逻辑”的观点，同样也不能接受“一切数学思维都是逻辑思维”的说法。尽管如此，罗素与怀特海合著的数学原理一书在二十世纪科学技术发展中影响很大，它以当时最严格的形式化符号语言来陈述作者建立的逻辑体系、定义和定理，从而标志着符号逻辑方法的成功，显示了数学逻辑基础研究的重要意义和现代逻辑的科学意义，使数学原理一书成为数学名著。尽管逻辑主义的主张不能实现，逻辑主义的数学观不能为数学基础学者所广泛接受，但此书在方法论上的重要意义是不可忽视的。他们相当成功的把古典数学纳入一个统一的公理系统，使之能从几个逻辑概念和公理出发，再加上集合论的无穷公理推出康托集合论、一般算术和大部分数学来，把逻辑推理发展到前所未有的高度。使人们看到，在数理逻辑演算的基础上能够推演出许多数学内容来，形成了集合论公理系统的逻辑体系，这在逻辑史上是一件大事，对数理逻辑后来的发展起到了决定性的作用，是近代公理方法的一个重要起点。 直觉主义对二十世纪数学的发展产生了很大的影响。本世纪30年代以后，由于歌德尔的努力，许多数学家开始重视直觉主义。数学家们纷纷尝试用构造法建立实数理论、数学分析以至全部数学，得出不少精辟的结论、形成不少创新的成果。至此，构造性数学已经成为数学科学中一个重要的数学学科群体，并与计算机科学密切相关。而希尔伯特原来设想，数学的相容性证明可以限于有穷的构造性方法范围之内。经研究表明， 这个范围应当加以扩充。哥德尔的不完备性定理说，证明一门数学的无矛盾性不可能在本门数学内做出，必须在一门较之更强的数学中才可能做出。这个定理说明希尔伯特的原计划是不可能成功的。但是希尔伯特的数学基础思想却发展了元数学，这就把形式心理学向前推进了一步，促进了数学的发展。现在，元数学（证明论）已发展成为数理逻辑的四大分支之一，也标志着数学的发展进入了一个研究形式系统的新阶段。参考文献1罗素.数理哲学导论M.商务印书馆.19822克林.元数学导论M.科学出版社.1984-19853M.克莱因.数学确定性的丧失M.湖南科学技术出版社，20044张楚廷.数学文化M.高等教育出版社，2000 数学文化的观念及现实意义姜君（历史学院 世界历史专业 0512249）摘 要：近年来，数学作为一种文化现象已越来越受到国内外学者的重视。本文将首先从数学文化的源流考察，阐述其发展进程，进而探究数学文化的基本观念与现实意义，展现数学文化的丰富内涵及其对现代社会的重要作用。关键词：数学文化；历史发展；文化观；现实意义数学文化是现代文明的重要组成部分，在培养一个民族的理论修养、科学态度、理性思维和综合素质等方面起着独特的作用。数学既是人类认识自然的中介,也是一种创造与发现活动,它可以促进人类的不断进步,促进人类文明不断迈向更高阶段。因此，全面认识数学文化是很必要的。1 数学文化的历史发展数学与现实世界的关系是数学观发展进程中的核心问题，它制约着对数学哲学的两个基本问题的回答：一是数学研究的对象是否反映真实的客观存在，或是人脑思维的自由创造？二是数学理论的真理性是否仅仅是逻辑内容，或是必须付诸实践？纵观数学发展史，不难发现对上述问题的回答是与数学发展的特定历史阶段相联系的。本文将以非欧几何的诞生和基础研究的深入作为数学发展的两个转折点，将数学的发展史分成三个特定阶段。1.1从“万物皆数”到牛顿力学数学是宇宙的真谛数学起源于土地丈量，天象观察和实物计数等人类早期活动。作为一个独立的知识体系的数学则肇始于古希腊。希腊人对人类理性思维的杰出贡献是确立了推理的作用。凭借大胆的猜测和天赋的直觉，毕达哥拉斯学派提出了“万物皆数”的信条。他们发现定性研究的种种现象都表现出相同的数学本质，即数学性质是所有现象的本质。因此他们推想，宇宙是按数学方式设计的，数字是数学的本源和秩序。“万物皆数”的信念经过了希腊罗马时期以及漫长黑暗的中世纪，直到文艺复兴时期，这一信念延续到了它的集大成者牛顿。继开普勒的行星运动三定律和笛卡尔对解析几何的创立，牛顿最终创立了积分和微分学，强化了宇宙是按数学设计的这一信念。1.2以非欧几何为标志的近代数学的兴起数学确定性的丧失到19世纪，毕达哥拉斯推崇的数学观终因非欧几何的发现和四元数的诞生再加上分析严密化运动而遭废弃。原来一直以为欧式几何是物理空间唯一正确的描述而今却必须在多种不同的几何体系中作出选择，这就从根本上动摇了欧氏几何是关于物理空间绝对真理的地位。同时，非欧几何的诞生还向人们表明，一个系统的公理未必是基于人们经验的不证自明的思想规定，他们完全可以是一组逻辑上相容的推理出发点的命题假设。与非欧几何相媲美的还有哈密尔顿创立的四元数。他们完全突破了毕达哥拉斯注意的框架，它们不再是真实现象的准确描述，也不是研究自然界的需要而引进的抽象结构，他们更多的是人类思维的创造物，是完全脱离经验的“任意”结构。数学摆脱了与经验直接对照的束缚，获得了独立发展与超前发展的能力。1.3基础研究的深入重新将经验注入数学20世纪的前三十年，基础研究中的三大学派：逻辑主义、直觉主义、形式主义，分别提出了他们不同的规划和纲领。但是三大学派对永恒基础的追求都归于失败，使一度热闹的数学哲学相对沉寂下来。一批注重应用的数学家开始呼吁为纯数学重新注入经验，数学哲学中的经验论开始复兴。随着计算机的出现和“数字技术”的广泛流行，数学重新走到了自然科学和人类一切生活领域的前台。21世纪则被人们称为“数学时代”。数学的历史发展进程是曲折的，但是更多的是前进与创新。正是在这样的不断发展中，数学得到了其最丰富的内涵和最广泛的应用。2 数学文化的基本观念对数学文化概念的认识和理解是建立数学文化理论体系的一个基础和前提。概括起来,数学文化研究所要表达的是一种广泛意义下的数学观念, 即不仅超越把数学视为一门科学知识和理论体系的单纯的科学主义观念, 特别是从对数学的单纯的科学性( 特别是其自然科学性) 理解中摆脱出来, 而且超越把数学作为以本体论、认识论、方法论为主线的数学哲学观念,而把数学置身于其真实的历史情境、文本语境、数学共同体以及迅猛变革的现实社会文化背景之中, 超越数学分支过度的专业化藩篱, 从更为广阔的视角去透视数学, 领悟数学的社会意义和文化含义, 从宏观角度探讨数学自身作为人类整体文化有机组成部分的内在本质和发展规律, 进而考察数学与其他文化的相互关系及其作用形式。数学是人类文化特有的、同时也是普遍的表现形式。数学文化这一概念能够概括与数学有关的人类活动的不同层次和不同层面。其作为现代文化的基石，具有确定性、简单性、抽象性、探索性等特征。2.1确定性所谓确定性,即数学追求一种完全确定、完全可靠的知识。数学所探讨的不是转瞬即逝的现象,而是某种永恒不变的规律。数学的研究对象、研究方法、推理规则及结论必须是明确无误的。这种方法成为人类认识方法的一个典范，也成为人在认识宇宙和人类自己时必须持有的客观态度的一个标准。2.2简单性所谓简单性,是指数学不断追求最简单的也是最深层次的、超出人类感官所及的宇宙的根本规则。所有这些研究都是在极抽象的形式下进行的,也是一种化繁为简以求统一的过程。数学研究的信念是：世界是合理的、简单的，因而是可以理解的。2.3抽象性所谓抽象性,即在数学抽象中,保留事物量的关系和空间形式而舍弃其他一切。符号把数学概念浓缩成了处理的形式,这是数学抽象的具体表现。数学本身几乎完全周旋于抽象概念及其相互关系之中。不仅数学的概念是抽象的,而且数学方法也是抽象的。由于数学对各种具体文化的高度抽象性,因此决定了数学结论具有逻辑严密性。2.4探索性所谓探索性,即数学不仅研究宇宙的规律,而且也研究它自身的规律。在发挥自己力量的同时,又研究自己的局限性,不断反思、批判自己，并且以此开辟自己前进的道路。它不断致力于分析自己的概念,分析自己的逻辑结构;它不断地反思自己的概念、方法能走多远。数学文化的这种宏观概念及其独树一帜的特征，使其成为现代文化领域中的基础之一，同时也是其广泛应用的重要前提。数学观念的丰富内涵注定了其重要的现实意义。3 数学文化的现实意义3.1数学文化的教育意义首先, 数学作为传播人类思想的一种基本方式, 本身就具有鲜明的传承人类数学思想和知识的功能。作为数学文化传播的一种载体, 数学语言发挥着十分重要的作用。其次，随着数学认识的深化, 数学的抽象化、严谨性和形式化水平越来越高, 数学研究领域的不断扩展, 数学因而被赋予层次更为多样的统一性。数学模式与模型成为连接抽象理论与现实世界的桥梁。数学知识的上述特征为数学课程的持续改革提供了一个基本的方向和思路, 进而为数学教育的改革与发展提供了必要的理论基础。第三, 数学具有科学与人文的双重学科性质和精神价值. 数学除了在整个科学体系中的科学典范地位之外, 还具有超越科学范畴的本体论意义和认识论价值。这种超出科学精神内涵的, 或者说无法完全用科学精神涵盖的价值取向就是更为广泛的数学的社会文化价值.第四, 数学是一个以理性认识为主体的具有强烈认识功能的思想方法结构。从思维科学的角度看, 数学思维是以理性思维为核心的包含多种思维类型在内的完整的思维空间.数学是孕育理性主义思想的一个摇篮.数学作为理性主义的典范, 其思维活动体现了理性思维的精髓。第五, 数学具有强烈的艺术性特征与美学特征.数学不仅是一门科学, 还是一种艺术.数学美学作为研究数学自身独特的美学特征、功能与结构的交叉学科, 将成为美学园地的一朵奇葩. 数学的美作为科学美的有机组成部分和典范, 开创了科学美研究的新维度.数学的美是一种理性的美、形式的美、结构的美.3.2数学文化的人文价值第一,数学文化具有培养科学精神的价值。科学精神是由科学本性所要求的对真理的无私追求并为之奋斗的精神第二,数学文化具有完善自我的人力价值。从人类本性与生存发展方式上说,承认数学的人文价值,其实质是承认人类主体本性的现实性,承认人类精神生活的丰富性与自我发展的能力,承认人类生存方式与目标的全面性与完全性。人是一种有精神生活的生命,这种精神生活的本性与方式之一,就是有“求真求知”的理性需要与能力。第三,数学文化具有健全自我人格的价值。数学文化雄深博大的精神使人的心胸远大。数学问题不乏精雕细刻,但更重要的是它的研究对象浩大深远,理论博大精深,结论广泛适用,这些都是激励人的心智、拓宽人的视野、拓展人的情怀的因素。第四,数学文化具有提升人类审美水平的价值。从人类价值追求的目标来看,数学不再仅仅是手段。它不仅以求真为其使命,而且以臻善、达美为其成果和意境。数学既负有为人类功利与道德之善提供服务的责任,它的求实、严谨与执著等品质与风格,也代表着人类的一种基本美德。3.3数学文化的科学价值数学作为一门单独的学科，其科学价值同样不容小觑。前面提到了数学作为一种文化现象，它的宏观意义。然而数学的微观意义同样重要。数学拥有其独特的语言，是所有学科都要使用的高级语言，是描绘世界的工具,也是储存和交流信息的工具。同时作为一个学科的数学，它的每一个定理每一个公式，都是有其科学价值的，这些数学发展不仅促使数学向更高层次迈进，同时也促进了整个科学领域的发展前进，促进了人类的进步。数学文化向人们展示了数学极富魅力的一面。它不是以往数学课上的定理、公式、计算和题海,而是数学的思想、精神和方法。它让我们用美学的眼光来看待数学,让我们体会到数学中浓郁的人文主义精神。认识数学的科学价值和人文价值,培养数学的意识,崇尚数学思考的理性精神,欣赏数学的美丽,知道数学应用的门径。这是现代人和文化人所应具备的素质。是时代对我们的要求,也是我们学生学习努力的方向。在未来的世界里，数学文化必将继续发展，它的历史将继续谱写，它的内涵将继续丰富，它的作用将更加令人瞩目！参考文献1 郑毓信.数学哲学: 20世纪末的回顾与展望 J .哲学研究, 2000( 10) .2 林夏水.数学哲学译文集 M .北京: 知识出版社, 1986.3 郑毓信.数学教育哲学 M .成都: 四川教育出版社, 2001.4 邓东皋.数学与文化 M .北京: 北京大学出版社, 1990.5卡尔文克劳森. 数学魔法M . 周立彪译. 长沙:湖南科学技术出版社, 2005.数学中的美简约不简单从欧拉公式看数学之美周丽(经济学院 保险专业0611885)摘 要瑞士数学家伦哈特欧拉一生都奉献给了数学，创建了许多数学符号和数学公式，简单的数学公式中总能有美的感觉。解读三个欧拉公式，以小见大，欣赏数学之美。关键词欧拉；欧拉公式；欧拉公式之美；数学之美伦哈特欧拉(L.Eular)（17071783）,瑞士数学家，和阿基米德、牛顿、高斯并称为“四大数学家”。在18世纪，欧拉是多产数学家，在整个数学史上，欧拉也是首屈一指。如今几乎每个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复杂方程的欧拉公式等等，数也数不清。他使纯数学和应用数学的每一个领域都得到了充实，还把数学用到了几乎整个物理领域。他的全部创造在整个物理学和许多工程领域里都有着广泛的应用。除此，欧拉还创设了许多数学符号，例如：（1736年），（1777年），(1748年),和 (1748年)， (1753年)，(1755年)，（1755年），(1734年)等。在数学领域，欧拉解决了很多问题，因此常常见到以他的名字命名的重要的常数、公式和定理。众多的欧拉公式中，下面的三个就很有代表性。（1）分式： +当时，式子的值为；当时，式子的值为；当时，式子的值为。 (2)多面体：设为多面体的顶点数，为棱数，为面数，则为欧拉示性数。的多面体叫做第零类多面体，则此时公式为。的多面体叫做第一类多面体，等等。（3）复数：数学，是好玩的，更是美的。从对称到非对称，从繁琐到简单，从特殊到一般，对于不同的人，数学总有其美的含义。而对于欧拉，数学无法阻挡的魅力吸引他奋斗了一生，同时，欧拉的贡献则更加闪耀了数学的美。以下，我仅以上述三个欧拉公式为代表，欣赏我眼中的数学之美。(1)分式：很简单的结构，却有优美的对称。分子、，同是次方，分母是、两两做差的乘积，被减数与分子的底数相同，式子中、均匀分布 ，处于平等的地位。但随的取值不同，分式有不同的值。整整齐齐的分式，似乎暗含着某种人生哲学：人生，一定会是公平的，上帝不会眷顾任何人。你会有失去，但也会在另一方面有所收获。人生，不一定需要大风大浪，平平静静的度过，也会有多种多样的感受。 (2)多面体：多面体的欧拉公式反映了简单多面体的元素（顶点、面、棱）之间的数量关系。它是研究多面体时很有用的工具。多面体是很复杂的。研究多面体，需要有较高的空间思维能力。原以为能够通过想象得到一个多面体就已经很了不起了，又怎能想到一个多面体的顶点数、棱数和面数之间竟存在如此简洁的公式？并且欧拉又创造性地加了一个欧拉示性数，其努力真的不言而喻。公式背后有付出，蕴含了劳动的东西本身就是美的。更何况，多面体的欧拉公式看起来简单，用起来作用大，足有四两拨千斤之感。(3)复数：这是欧拉在1748年得到的。是人们公认的优美公式，原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。在几乎所有的复数课本中都提到了复数的三角形式。当时，得到、的“桃园三结义”： 即,称为欧拉关系式。两边同时平方，得到即,又得到即数学家克莱因认为是整个数学中最卓越的公式之一。它漂亮简洁地把数学中五个最重要的数，以及联系在一起。有人称这五个数为“五朵金花”，这是因为它们在数学中处处盛开；也有人称这五个数为“五虎大将”，因为这个公式有“呼风唤雨”般的神通本领。欧拉竟然能将这五个最常用、最基本、最重要的量聚集在一个简约的式子中，真的不简单。在法国的发明宫中，有一个数学陈列室。其中，古代数学部分与近代数学部分的间墙上，就悬挂着这个公式。由这个公式可以看出人类创造的数字、符号、算式是何等巧妙神奇地体现了数学中的奇异之美。现对这五个数作些简单介绍：自然数：它是整数的单位，是数字的始祖。它在数学中扮演了一个很重要的角色，可以这样说，如果没有数，也就没有一切数。中性数：它是正数与负数间的一个分界数，是坐标系的原点，是运动过程的起点。单个的代表无，但在各种进制的数字里，只有它参与才能进位，例如：从到都是一位数字，而便成了两位数字，即个位进到了十位。圆周率：它是在科学中最著名和用得最多的一个数。1767年，德国数学家兰伯特首先证明了是无理数，1794年勒法证明了是无理数，1882年德国数学家林德曼给出了是超越数的严格证明。如今，用电子计算机已能计算的任意多位值。自然对数底作为数学符号最先由欧拉在1777年使用的。这是欧拉（Eular）名字的第一个字母，后来人们确定用来作为自然对数的底，以此来纪念欧拉。以为底的对数之所以叫做自然对数，是因为它能反映自然界规律的函数关系，因此在自然科学中，的作用不亚于。在微积分中以为底时公式具有最简洁的形式。虚数单位：它来源于解二次方程，是的平方根，这个记号是1777年由欧拉首先使用的。魏塞尔、高斯等数学家不再死钻一维轴的牛角尖，发散思维使他们想到另一根数轴（虚轴）来表示，于是复数获得了一块坚实的大地复平面，现已成为一门庞大的数学分支复变函数的基石。直到今天，虚数仍然在磨砺人们的抽象思维。它的许多迷人的性质是难于用对实数的理解去理解的。比如 (的次方），这个数是虚数还是实数，凭直观是难以得出结论的。又是欧拉第一个证明了是实数，它的值是一个无理数，并由此可知，即与也都是实数。而欧拉公式正是通向这些奇特境地的一座桥梁。欧拉公式是数学领域的丰碑。大数学家拉普拉斯曾说过：读读欧拉，这是我们一切人的老师。被誉为数学王子的高斯也曾说过：对于欧拉工作的研究，将仍旧是对于数学的不同范围的最好的学校，并且没有别的可以替代它。”欧拉公式是数学的一扇窗，透过它，可以窥探整个奇妙的数学界。但是简约的欧拉公式，只是数学花苑里的一株香草。数学的博大精深，不是寥寥数语就能解释的。它正散发着奇异的香味，展现无处不在的数学之美，飘荡着吸引人的丝带，期望更多的数学爱好者为美折服，为数学奉献。山路崎岖，自有妙不可言之处。正所谓曲径通幽，经历一番磨砺，才能揭开数学神秘的面纱，探得数学之美，纵情数学花苑。参考文献1 易南轩著，数学美拾趣， 北京，科学出版社，2004年2 陈仁政著，不可思议的e，北京，科学出版社，2005年3 陈仁政著，说不尽的，北京，科学出版社，2005年4 百度百科欧拉公式，/view/398.htm5 百度百科欧拉，http:/baike.baidu.