考研联考数学线性代数复习方法.doc

考研联考数学线性代数复习方法关于数学，特别是线性代数的复习备考，这里提出“早”、“纲”、“基”、“活”的四字方略，供理工类、经济类考生参考.一、“早”.提倡一个“早”字，是提醒考生考研数学备考要早计划、早安排、早动手.因为数学是一门思维严谨、逻辑性强、相对比较抽象的学科.和一些记忆性较多的学科不同，数学需要理解的概念多，方法又灵活多变，而理解概念，特别是理解比较抽象的概念是一个渐近的过程，它需要思考、消化，需要琢磨、需要从不同的角度、不同的侧面的深入研究，总之它需要时间，任何搞突击，搞速成的思想不可取，这对大多数考生而言，不可能取得成功;另一方面，早计划、早安排、早动手是采取“笨鸟先飞”之策，这是考研的激烈竞争现实所要求的，早一天准备，多一分成绩，多一份把握，现在不少大一、大二的在校生已经在准备23年后的考研，这似乎是早了点，但作为一个目标、作为一个追求，无可非议.作为2015年的考生，从现在开始备考，恐怕已经不算太早了.二、“纲”.突出一个纲字，就是要认真研究考试大纲，要根据考试大纲规定的考试内容、考试要求、考试样题有计划地、认真地、全面地、系统地复习备考，加强备考的针对性.由于全国基础数学教材(高等数学，线性代数，概率论和数理统计)并不统一，各学校、各专业对这些课程要求的层次也各不相同，因此教育部并没有指定统一的教材或参考书作为命题的依据，而是以教育部制定的全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲(下称大纲)作为考试的法规性文件，命题以大纲为依据，考生备考复习当然也应以大纲为依据.为了让广大考生对“考什么”有一定的了解(不是盲目的备考)，教育部考试中心命制的试题，每年都具有稳定性、连续性的特点.大纲提供的样题及历届试题也在于让考生了解“考什么”.历届试题中，从来没有出过偏题、怪题，也没有出过超过大纲范围的超纲题.当然，一份好的试题，首先要有好的区分度，使高水平考生考出好成绩，因此试题中难、易试题要有恰当的搭配;试题的总量必须有一定的限制，同时试题还要有尽可能大的覆盖面，因此一味地去做难题，甚至怪题、偏题是不可取的，“题海战术”不能替代全面、系统的复习，由于试题有极大的覆盖面，每年试题几乎都要覆盖所有的章节，因此偏废某部分内容也是不恰当的.任何“猜题”及侥幸心理都会导致失败.只有根据大纲，全面、系统地复习，不留遗漏，才不会留下遗憾.请广大考生留意，今年大纲有一定的变化：所有的近似计算取消了，特别是数学试卷二，“线性代数初步”中取消了“初步”两字，增考了“特征值、特征向量”一章的内容.三、“基”.强调一个“基”字，是指要强调数学学习中的三基，即要重视基本概念的理解，基本方法的掌握，基本运算的熟练.基本概念理解不透彻，对解题会带来思维上的困难和混乱.因此对概念必须搞清它的内涵，还要研究它的外延，要理解正面的含义，还要思考、理解概念的侧面、反面.例如关于矩阵的秩，教材中的定义是：A是阴Xn矩阵，若A中有一个r阶子式不为零，所有r阶以上子式(如果它还有的话)均为零，则称A的秩为r，记成rank(A)：r(或r(A)=r，秩A=r).显然，定义中内涵的要点有：1.A中至少有一个r阶子式不为零;2.所有r阶以上均为零.3.若所有r+1子式都为零，则必有所有r阶以上子式均为零.要点2和3是等价条件，至于r阶子式是否可以为零?小于r阶的子式是否可以为零?所有r-1阶的子式是否可以全部为零?这些都是秩的概念的外延内容，如果这些概念搞清楚了。那么下述选择题就会迎刃而解.例1 设A是mn矩阵，r(A)=r(A)至少有一个r阶子式不为零，没有等于零的r-1阶子式.(B)有不等于零的r阶子式，没有不等于零的r+1阶子式.(C)有等于零的r阶子式，没有不等于零的r+1阶子式.(D)任何r阶子式不等于零，任何r+1阶子式都等于零.答案：(B)基本方法要熟练掌握.熟练掌握不等于死记硬背，相反要抓问题的实质，要在理解的基础上适当记忆.把需要记忆的东西缩小到最低限度，很多方法可以通过练习来记住，例如一个实对称矩阵，一定存在正交矩阵，通过正交变换化为对角阵，其步骤较多，但通过练习，不难解决.基本计算要熟练.学习数学，离不开计算，计算要熟练，当然要做一定数量的习题，通过一定数量的习题，把计算的基本功练扎实.在练习过程中，自觉的提高运算能力，提高运算的准确性，养成良好的运算习惯和科学作风.特别对线性代数而言，运算并不复杂，大量的运算是大家早已熟练了的加法和乘法，从而养成良好的运算习惯和科学作风显得尤为重要。例如线性代数的前四章中(行列式、矩阵、向量、方程组)绝大多数的运算是初等变换.用初等变换求行列式的值、求逆矩阵、求向量组(或矩阵)的秩、求向量组的极大线性无关组、求方程组的解等.可以想象，一旦初等变换过程中出现某个数值计算错误，那你的答案将是什么样的结果?从历届数学试题来看，每年需要通过计算得分的内容均在70%左右，可见计算能力培养的重要.只听(听各种辅导班)不练，只看(看各类辅导资料)不练，眼高手低，专找难题做，这并不适合一般考生的情况，在历届考生中，不乏有教训惨痛的人.四、“活”.线性代数中概念多、定理多、符号多、运算规律多，内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点，故考生应通过全面系统的复习，充分理解概念，掌握定理的条件、结论及应用，熟悉符号的意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，抓规律，使零散的知识点串起来、连起来，使所学知识融会贯通，实现一个“活”字.线性代数各章节的内容，不是孤立割裂的，而是相互渗透、紧密联系的.如A是n阶方阵，若，|A|0(称A为非奇阵).A是可逆阵.有n阶方阵B，使得AB=BA=E.B=A-1=A*/|A|.r(A)=n(称A是满秩阵).存在若干个初等阵P1，P2，PN，使得PNPN-1P1A=E.(AE)(EA-1).A可表示成若干个可逆阵的乘积.A可表示成若干个初等阵的积。A的列向量组线性无关(列满秩).AX=0，唯一零解.A的行向量组线性无关(行满秩).A的列(行)向量组是Rn空间的基.任何n维列向量b均可由A的列向量线性表出(且表出法唯一).对任意的列向量b，方程组AX=b有唯一解，且唯一解为A-1bA没有零特征值，即iO，i=1，2，n.=A是正定阵(正交阵，).这种知识间的相互联系、渗透，给综合命题创造了条件，同样一个试题，可以从不同的角度有多种命制试题的方法.例2 (2001年数学一第九题)设1，2，s，是线性方程组AX=0的基础解系，1=t11+t22，2=t12+t23，s=t1s+t21，试问t1，t2满足什么条件时，1，2，s也是AX=0的基础解系.解析 本题的答题要点是：(1)对任意t1，t2，i，i=1，2，s仍是AX=0的解;(2)对任意t1，t2，1，2，s向量个数是s;(3)1，2，s，线性无关t1s+(一1)n+1t2s0.满足(1)、(2)、(3)时，即，t1s+(一1)n+1t2s一1)”0时，1，2，s仍是AX=0的基础解系.变式(1) (改变成线性相关性试题)已知向量组1，2，s线性无关，1=t11+t22，2=t12+ t23，s=t1s+t21，试问t1，t2满足什么条件时，1，2，s线性无关.变式(2) (改变成向量组的秩的试题)已知向量组1，2，s的秩为s.1=t11+t22，2=t12+t23，s=t1s+ t21，试问t1，t2满足什么条件时，r(1，2，s)=s.变式(3) (改变成等价向量组的试题)已知1，2，s线性无关，1=t11+t22，2=t12+t23，s=t1s+t21，试问t1，t2满足什么条件时，1，2，s和1，2，s是等价向量组.变式(4) (改变成子空间的基的试题)设y是Rn的子空间，1，2，s是V的基，1=t11+t22，2=t12+t23，s=t1s+t21，试问t1，t2满足什么条件时，1，2，s也是子空间V的基.难道你不认为以上的各种变式基本上是一样的吗?它们的答题要点是什么呢?改变试题难度，将向量个数s具体化，则成2001年数学试卷二第十二题.变式(5) 已知1，2，3，4，是线性方程组AX=0的基础解系，1=t11+t22，2=t12+t23，3=t13+t24，4=t14+t23，试问t1，t2满足什么条件时，1，2，3，4，也是AX=0的基础解系.改变参数，你不是可以“随心所欲”吗?变式(6) 已知1，2，s是AX=0的基础解系，1=t11+t22，2=t12+t23，s=t1s+t21，试问1，2，s，满足什么条件时，1，2，s也是AX=0的基础解系.如果你体会不到以上各种变式实质上是一样的，那么你没有学“活”线性代数，你的知识点还是孤立的.由于知识间的紧密联系和渗透，而综合考试试题不再依附于某章、某节(依附于某章、某节后面的习题，实际上是给解题人提供了用该章、该节的内容和方法解题的提示)，这会给考生解题带来困难.学“活”并非易事，需要经常总结，广开思路.例3 已知A是n阶正定阵，B是n阶反对称阵，证明A-B2是正定阵.解析 本题题目本身有提示性，已知的是正定阵，要证的也是正定阵，显然属于二次型中有关正定性的试题，具体解答如下.B是反对称阵，故BT=-B.任给X0，因A正定，故XTAXO，又XT(一B2)X=XTBTBX=(BX)TBX0.故有XT(A-B2)X=XT(A+(-B)B)X=XT(A+BTB)X=XTAX+(BX)TBXO.所以A-B2是正定阵.变式(1) 已知A是n阶正定阵，B是n阶反对称阵.证明A-B2是可逆阵.v这个变式要求证明A-B2可逆，但已知A正定.为了利用已知条件，还可以想到A-B2是否正定，即若证明了A-B2正定，自然也就证明了A-B2可逆.变式(2) 已知B是n阶反对称阵，E是n阶单位阵，证明E-B2可逆.这个变式中，隐去了A是正定阵的条件，而是给了一个具体的正定阵E，要求想到用证正定的角度来证E-B2可逆，难度就相当大了，这需要经验的积累和总结.由于知识间的广泛联系和相互渗透，给不少题的一题多解创造了条件.你可以从各个不同的角度去研究试题，找到一个合适的切入点，从而最终找到问题的答案.总之，重视三基，重视各章节之间的联系，重视从多角度研究试题，重视灵活性和综合性，重视应用，是取得理想成绩的必由之路。凯程教育老师整理了几个节约时间的准则：一是要早做决定，趁早备考;二是要有计划，按计划前进;三是要跟时间赛跑，争分夺秒。总之，考研是一场“时间战”，谁懂得抓紧时间，利用好时间，谁就是最后的胜利者。1.制定详细周密的学习计划。这里所说的计划，不仅仅包括总的复习计划，还应该包括月计划、周计划，甚至是日计划。努力做到这一点是十分困难的，但却是非常必要的。我们要把学习计划精确到每一天，这样才能利用好每一天的时间。当然，总复习计划是从备考的第一天就应该指定的;月计划可以在每一轮复习开始之前，制定未来三个月的学习计划。以此类推，具体到周计划就是要在每个月的月初安排一月四周的学习进程。那么，具体到每一天，可以在每周的星期一安排好周一到周五的学习内容，或者是在每一天晚上做好第二天的学习计划。并且，要在每一天睡觉之前检查一下是否完成当日的学习任务，时时刻刻督促自己按时完成计划。方法一：规划进度。分别制定总计划、月计划、周计划、日计划学习时间表，并把它们贴在最显眼的地方，时刻提醒自己按计划进行。方法二：互相监督。和身边的同学一起安排计划复习，互相监督，共同进步。方法三：定期考核。定期对自己复习情况进行考察，灵活运用笔试、背诵等多种形式。2.分配好各门课程的复习时间。一天的时间是有限的，同学们应该按照一定的规律安排每天的学习，使时间得到最佳利用。一般来说上午的头脑清醒、状态良好，有利于背诵记忆。除去午休时间，下午的时间相对会少一些，并且下午人的精神状态会相对低落。晚上相对安静的外部环境和较好的大脑记忆状态，将更有利于知识的理解和记忆。据科学证明，晚上特别是九点左右是一个人记忆力最好的时刻，演员们往往利用这段时间来记忆台词。因此，只要掌握了一天当中每个时段的自然规律，再结合个人的生活学习习惯分配好时间，就能让每一分每一秒都得到最佳利用。方法一：按习惯分配。根据个人生活学习习惯，把专业课和公共课分别安排在一天的不同时段。比如：把英语复习安排在上午，练习听力、培养语感，做英语试题;把政治安排在下午，政治的掌握相对来说利用的时间较少;把专业课安排在晚上，利用最佳时间来理解和记忆。方法二：按学习进度分配。考生可以根据个人成绩安排学习，把复习时间向比较欠缺的科目上倾斜，有计划地重点复习某一课程。方法三：交叉分配。在各门课程学习之间可以相互穿插别的科目的学习，因为长时间接受一种知识信息，容易使大脑产生疲劳。另外，也可以把一周每一天的同一时段安排不同的学习内容。凯程教育：凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯；凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里；信念：让每个学员都有好最好的归宿；使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构；激情：永不言弃，乐观向上；敬业：以专业的态度做非凡的事业；服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。如何选择考研辅导班：在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理