平面力系的平衡问题wy.ppt

主 讲：吴莹 教授 办公室：东校区中1楼2109 E-mail:,理论力学,西安交通大学航天航空学院 国家力学实验教学中心,2,3.平面力系的平衡问题,平面力系平衡方程,刚体系统的平衡,静定、静不定问题,作业题,3,基本力系的合成与平衡,汇交力系的合成与平衡（前面已有详细分析）,汇交力系合力的作用线通过汇交点（作用线）；其大小和方向可用力系中各力矢所构成的力多边形的封闭边矢量来表示（大小和方向）。,几何法,在作力多边形时，若任意变换各分力的先后顺序，可得到形状不同的力多边形，但是这并不影响最后所得合力的大小和方向。,4,汇交力系各力Fi 和合力FR在直角坐标系中的解析表达式,由合力投影定理,得到汇交力系合力的大小和方向余弦,汇交力系的合成与平衡,解析法,基本力系的合成与平衡,5,汇交力系的合成与平衡,从汇交力系合成结果显然可得到，汇交力系平衡的充分必要条件是：力系的合力等于零，即 FR=0。,力多边形自行封闭（或：各力矢量首尾相接，自行封闭）。,几何法,解析法,力系中所有各力在直角坐标系各轴上投影的代数和都等于零。即,平面汇交力系,基本力系的合成与平衡,6,例一,重1kN的物体，用两根钢索AB、BC悬挂如图所示。不计钢索的重量，求钢索的拉力。,汇交力系的合成与平衡,基本力系的合成与平衡,7,解：,1.取重物为研究对象,2.受力分析：已知重力W，钢索对重物的拉力FAB和FBC。其受力图如图所示。,汇交力系的合成与平衡,基本力系的合成与平衡,8,（1）几何法,根据受力图作封闭的力三角形，如图所示。作图时，应从已知力W作起，并根据各分力矢量首尾相接的矢序规则。,根据正弦定理，有,很容易解得FAB和FBC。,汇交力系的合成与平衡,基本力系的合成与平衡,9,（2）解析法,取如图所示的直角坐标系。以x、y轴为投影轴列出平衡方程：,联立方程求解的FAB和FBC。,汇交力系的合成与平衡,注意：平衡方程的规范形式。,基本力系的合成与平衡,10,例2：如图所示是汽车制动机构的一部分。已知司机踩到制动蹬上的力F=212 N， = 45。当平衡时，DA铅直，BC水平，试求拉杆BC所受的力。已知EA=24 cm， DE=6 cm点E在铅直线DA上 ，又B ，C ，D都是光滑铰链，机构的自重不计。,应用举例,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,11,解： (1).取制动蹬ABD作为研究对象，画出受力图。,(2) 列平衡方程,应用三力平衡汇交的条件得到,应用举例,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,12,在用解析法求解时，为了避免解联立方程，所选投影轴x、y的方位不一定是水平与铅垂的，可以根据其中一根轴与未知力相垂直的原则选取，如图所示。,相应的平衡方程为：,从方程中第二式可以直接解出FAB，代入第一式就可以解出FBC。,汇交力系的合成与平衡,基本力系的合成与平衡,13,注意几点:,几何法的关键是要做封闭力多边形（所举例题为三角形）。 各力矢量一定要首尾相接。 解析法的关键是要列平衡方程，特别注意力投影的正、负号不要搞错。 解题时一定要按照上述解题步骤，一步一步地做，切不可投机取巧。 受力图要完整画出，平衡方程要规范。,汇交力系的合成与平衡,基本力系的合成与平衡,14,平面力系向作用面内任选一点O简化，一般可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心 O；这个力偶的矩等于该力系对于O点的主矩。,得到平面力系平衡的充分必要条件是：,主矢,主矩,平面任意力系平衡方程,平面任意力系平衡方程,15,充分性：当 时，表明作用于简化中心O的汇交力系是平衡力系；附加力偶系亦是平衡力系，故原力系平衡。,根据力系的简化结果可知道，此时原力系可简化为一个力偶或一个力，与“假设原力系平衡”的前提条件不符，故只有 均为零，原力系才能平衡。,必要性：当原力系平衡时，我们用反设法说明。假设 有一个不为零，即,平面任意力系平衡方程,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,16,平衡条件的解析式：,上面的方程式是力系平衡的充分必要条件，也称为平衡方程的基本方程。,有三个方程，可解三个未知量。,平衡条件的矢量式：,平面任意力系平衡方程,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,平衡方程基本形式,17,二矩式,x轴不得垂直于A、B的连线。,（3）又若该力系又同时满足 ，而x轴不得垂直于AB连线时，显然力系不可能有合力。这就表明，只要满足以上三个方程及附加条件，该力系必平衡,（1）若力系已满足了 ，则表明力系不可能简化为一力偶，只可能是作用线通过A点的一个合力，或者是平衡。,（2）若该力系同时满足 ，则该力系合成结果或者是作用线通过A、B两点的一个合力，或者是平衡。,平面任意力系平衡方程,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,平衡方程其他形式,18,平面任意力系平衡方程,三矩式,A、B、C三点不得共线。,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,平衡方程其他形式,为什么呢？,19,平面平行力系的平衡方程,此时， 自然满足。则平面平行力系平衡方程为,只有两个方程，可解两个未知量。,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,思考：是否还有其它的形式？,20,平面汇交力系的平衡方程,各力汇交于一点A， 自然满足。则平面汇交力系平衡方程为,只有两个方程，可解两个未知量。,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,思考：是否还有其它的形式？,21,平面力偶系的平衡方程,显然，关于力平衡的方程自然满足。,只有一个方程，可解一个未知量。,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,22,平面任意力系平衡方程,1根据问题条件和要求，选取研究对象。,2分析研究对象的受力情况，画受力图。画出研究对象所受的全部主动力和约束力。,3根据受力类型列写平衡方程。平面一般力系只有三个独立平衡方程。为计算简捷，应选取适当的坐标系和矩心，以使方程中未知量最少。,4求解。校核和讨论计算结果。,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,求解步骤：,23,应用举例,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,24,解: (1)取AB梁，画受力图.,此处，把分布力简化成集中力Q，作用在D点,应用举例,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,25,应用举例,(2) 列平衡方程,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,26,例4：已知旋转式起重机，自重W=10 kN，被起吊重物重Q=40 kN 。求：止推轴承A 和径向轴承B 的约束反力。,应用举例,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,27,解：以起重机为研究对象，画受力图。,列平衡方程：,应用举例,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,28,例1：一种车载式起重机，车重P1= 26 kN，起重机伸臂重P2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重P3 = 31 kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量Pmax。,应用举例,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,29,解：取汽车及起重机为研究对象，受力分析如图。,不翻倒的条件是：FA0。,因此，得到,应用举例,平面力系平衡方程,3.平面力系的平衡问题,列平衡方程如下：,30,刚体系统平衡：是指组成该系统的每一个刚体都处于平衡状态。,外力：外界物体作用于刚体系统上的力称为外力。,内力：系统内部各个刚体之间的相互作用力称为内力。,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,刚体系统：由若干个刚体连接而成的系统。,31,对于系统整体画受力图，图上展示的仅是外力；当取系统中的某一部分为研究对象时，此时，该部分与系统其他部分之间的作用力（本来是内力）也变成了作用在该部分上的外力。因此，对不同的研究对象而言，外力、内力是相对的。,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,注意！,32,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,系统平衡的特点：,系统整体是平衡的；,物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中有n个物体,每个物体都受有平面一般力系作用）,由n个刚体组成的物系，其中n1个刚体为二力体或受有平面力偶系作用，n2个刚体受有平面汇交力系或平行力系作用，n3个刚体受有平面一般力系作用，且：n = n1+n2+n3 ，则整个系统可列出m个独立的平衡方程，且 m = n1+2n2+3n3 ，可求解m个未知量。,33,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,分析方法：,先以系统整体为研究对象，列出平衡方程，这样的方程中不包含内力，未知量较少，解出部分未知量后，再选择合适的单个物体为研究对象，列出平衡方程，直到求出所有的未知量为止。,整体,局部,以系统的每一个物体为研究对象，列出全部的平衡方程，然后求解。,求解刚体系统的平衡问题，主要依据前面给出的平衡理论。,34,研究刚体系统的平衡问题需要注意以下几点：,分清内力和外力。 灵活选取研究对象和列写平衡方程。 如系统由n个物体组成，而每个物体在平面力系作用下平衡，则有3n个独立的平衡方程，可解3n个未知量。,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,35,已知：a、P、Q。求A、B 的约束反力。,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,例一,36,解：(1)考虑整体,受力如图所示，,列平衡方程如下：,(2)考虑左半部，受力分析如图,4个方程，4个未知量，可解。,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,这里不需列全部方程，只需有针对性地列出必要的方程！,37,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,38,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,求解方法二,（1）选取研究对象：左刚架， 受力分析如图所示。,列平衡方程：,39,（1）选取研究对象：右刚架， 受力分析如图所示。,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,求解方法二,列平衡方程：,6个方程可解出6个未知量,思考：法一和法二的不同之处在哪里？哪种方法简单？ 总结两种方法的特点。,40,A，B，C，D处均为光滑铰链，物块重为P，通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆AB的E点，各构件自重不计，试求B处的约束力。,P,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,例四,41,解：取整体为研究对象。受力分析如图。,列平衡方程,解得,P,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,42,再取杆AB为研究对象，受力分析如图。,列平衡方程,联立求解可得,P,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,43,结构由杆AB与BC在B处铰接而成。结构A处为固定端，C处为辊轴支座。结构在DE段承受均布载荷作用，载荷集度为q；E处作用有外加力偶，其力偶矩为M。若q、l、M等均为已知，试求A、C二处的约束力。,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,例五,44,解：以整体为研究对象，受力如图：,分布力化成了集中力Q，且Q=2ql，作用在B点。,列平衡方程,M,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,45,以BC杆为研究对象，从铰链B处把BC取出来，则BC杆必然受到铰链的作用力，如图：,把分布力化为集中力P，P=ql，作用在G处。得到BC杆的受力图：,列平衡方程,解得,G,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,46,例六,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,平面结构如图所示，不计各杆自重。(作为作业题),已知：,试求：支座A、C处的约束反力,47,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,解：先取ED为研究对象，受力如图。,列平衡方程,48,（2）取EDCB组合体为研究对象，画受力图,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,列平衡方程,思考：怎么列方程简单？,分布力化成了集中力Q,49,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,（3）取整体为研究对象，画出受力图,列平衡方程，求解出FAX、FAY、MA,思考：该题还可以怎么做？,50,齿轮传动机构如图所示。齿轮的半径为r，自重P1。齿轮的半径为R=2r，其上固定一半径为r的塔轮，轮与共重为P2 = 2P1。齿轮压力角为 =20 被提升的物体C重为P = 20P1。 求：（1）保持物C匀速上升时，作用于轮上力偶的矩M ； （2）光滑轴承A，B的约束力。,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,例七,51,压力角啮合力与齿轮分度圆切线的夹角。,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,52,解：(1). 取，轮及重物为研究对象，受力分析如图所示。,列平衡方程,解得,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,53,2. 再取轮为研究对象，受力分析如图所示。,列平衡方程,解得,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,54,图示结构，Fp和 l 均已知，分别求两种情况下的约束力。（参考）,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,例二,55, MA ( F ) = 0 :,FBC d - FP 2l = 0,解：该系统中，BC为二力杆。以AB为研究对象，作出受力图, Fy = 0 :,FAy - FP + FBC sin45 = 0,FAy= - FP,Fx = 0 :,FAx+FBCcos = 0,FAx=-2FP,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,56,解：以整体为研究对象，作出受力图,列平衡方程,此时AB为二力杆。,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,正确识别出二力杆，对解题有很大帮助。,57,已知：四连杆机构ABCD 受力P、Q 作用。 求: 机构平衡时P、Q 的关系。(技巧题 参考),例三,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,58,解：以整体为研究对象，受力分析如图所示。,列平衡方程,刚体系统的平衡,3.平面力系的平衡问题,AD、BC均为二力杆,59,前面讨论了平面问题中几种力系的平衡问题。注意到：,平面任意力系有3个，,平面力偶系只有1个。,平面汇交力系和平面平行力系各有2个，,因此，对于每一种力系，能求解的未知数的数目也是一定的。,若系统中的未知约束力数目恰好等于独立平衡方程的数目，则这些未知数就可全部由平衡方程求出，这类问题称为静定问题。,若未知约束力的数目多于独立平衡方程的数目，仅仅用刚体静力学平衡方程不能全部求出那些未知数，这类问题称为超静定（或静不定）问题。,静定、静不定问题,3.平面力系的平衡问题,60,图（a） ，（c）均为静定问题；而图（b