2019年高中数学第7章数系的扩充与复数7.3复数的四则运算讲义（含解析）湘教版.docx

73复数的四则运算读教材填要点复数的四则运算一般地，设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，有(1)加法：z1z2ac(bd)i.(2)减法：z1z2ac(bd)i.(3)乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(4)除法：i(cdi0)小问题大思维1若复数z1，z2满足z1z20，能否认为z1z2?提示：不能如2ii0，但2i与i不能比较大小2复数的乘法满足我们以前学过的完全平方公式、平方差公式吗？提示：复数的乘法类似多项式的乘法，满足完全平方公式和平方差公式3如何辨析复数除法与实数除法的关系？提示：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化复数的加减运算 已知z1(3xy)(y4x)i，z2(4y2x)(5x3y)i(x，yR)，若z1z2 132i，求z1，z2.自主解答z1z2(3xy)(y4x)i(4y2x)(5x3y)i(3xy)(4y2x)(y4x)(5x3y)i(5x3y)(x4y)i.又z1z2132i，(5x3y)(x4y)i132i.解得z1(321)(142)i59i.z24(1)22523(1)i87i.对复数进行加减运算时，先分清复数的实部与虚部，然后将实部与实部、虚部与虚部分别相加减1(1)计算：(2i).(2)已知复数z满足z13i52i，求z.解：(1)(2i)i1i.(2)法一：设zxyi(x，yR)，因为z13i52i，所以xyi(13i)52i，即x15且y32，解得x4，y1，所以z4i.法二：因为z13i52i，所以z(52i)(13i)4i.复数的乘除运算 计算：(1)(1i)(1i)(1i)；(2)(1i)；(3)(23i)(12i)；(4)(529i)(73i)自主解答(1)(1i)(1i)(1i)1i2(1i)21i1i.(2)(1i)(1i)(1i)ii.(3)原式i.(4)原式52i.(1)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一样(2)复数的除法法则难以记忆，在做题时，牢记分母“实数化”即可2(1)已知复数z148i，z269i，求复数(z1z2)i的实部与虚部；(2)已知z是纯虚数，是实数，求z.解：(1)由题意得z1z2(48i)(69i)(46)(8i9i)2i，则(z1z2)i(2i)i2ii212i.于是复数(z1z2)i的实部是1，虚部是2.(2)设纯虚数zbi(bR)，则.由于是实数，所以b20，即b2，所以z2i.复数范围内的方程问题 若关于x的方程x2(12i)x(3m1)i0有实根，求纯虚数m的值自主解答设mbi(b0)，x0为一实根，代入原方程得x(12i)x0(3bi1)i0.(xx03b)(2x01)i0.解得mi.若将“求纯虚数m”改为“求实数m”，如何求解？解：x2(12i)x(3m1)i0，即(x2x)(2x3m1)i0，或即m或.复数方程问题，常借助复数相等的充要条件转化为实数问题解决3已知关于x的方程x2kxi0有一根是i，求k的值解：因为i为方程x2kxi0的一个根，所以代入原方程，得i2kii0.所以k1i. 计算：1ii2i3i2 018.解法一：ii2i3i40，inin1in2in30.1ii2i3i2 0181ii2(i3i4i5i6)(i7i8i9i10)(i2 015i2 016i2 017i2 018)1ii2i.法二：1ii2i2 018i.1(62i)(3i1)等于()A33iB55iC7i D55i解析：(62i)(3i1)(61)(23)i55i.答案：B2(全国卷)()A12i B12iC2i D2i解析：2i.答案：D3已知复数z1i，则()A2i B2iC2 D2解析：法一：因为z1i，所以2i.法二：由已知得z1i，而2i.答案：B4若z时，求z2 018z102_.解析：z22i.z2 018z102(i)1 009(i)51(i)1 008(i)(i)48(i)3ii0.答案：05已知复数z1a23i，z22aa2i，若z1z2是纯虚数，则实数a_.解析：由条件知z1z2a22a3(a21)i，又z1z2是纯虚数，所以解得a3.答案：36已知复数z.(1)求复数z；(2)若z2azb1i，求实数a，b的值解：(1)z1i.(2)把z1i代入得(1i)2a(1i)b1i，即ab(2a)i1i，所以解得一、选择题1设i为虚数单位，则()A23iB23iC23i D23i解析：23i.答案：C2(山东高考)已知i是虚数单位，若复数z满足zi1i，则z2()A2i B2iC2 D2解析：zi1i，z11i.z2(1i)21i22i2i.答案：A3若a为实数，且(2ai)(a2i)4i，则a()A1 B0C1 D2解析：(2ai)(a2i)4i，4a(a24)i4i.解得a0.答案：B4已知z123i，z2，则()A43i B34iC34i D43i解析：z123i，z2，43i.答案：D二、填空题5复数的虚部是_解析：(2i)(12i)i，虚部是.答案：6若复数z满足zi(2z)(i是虚数单位)，则z_.解析：zi(2z)，z2iiz，(1i)z2i，z1i.答案：1i7(天津高考)已知aR，i为虚数单位，若为实数，则a的值为_解析：由i是实数，得0，所以a2.答案：28若zi1是方程z2azb0的一个根，则实数a，b的值分别为_，_.解析：把zi1代入方程z2azb0，得(ab)(a2)i0，即解得a2，b2.答案：2