2020版高考数学一轮复习第7章立体几何第4讲直线、平面平行的判定与性质讲义理（含解析）.docx

第4讲直线、平面平行的判定与性质考纲解读1.掌握线线、线面、面面平行的判定定理和性质定理，并能应用它们证明有关空间图形的平行关系的简单命题(重点)2.高考的重点考查内容之一，主要以几何体为载体考查线线、线面、面面平行的判定和性质考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考的重点考查内容预测2020年将会以以下两种方式进行考查：以几何体为载体，考查线面平行的判定；根据平行关系的性质进行转化试题常以解答题的第一问直接考查，难度不大，属中档题型.1直线与平面平行的判定定理和性质定理2平面与平面平行的判定定理和性质定理3.必记结论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行1概念辨析(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行()(2)若直线a平面，P，则过点P且平行于直线a的直线有无数条()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)如果直线a平行于平面，直线ba，则b与的位置关系是()Ab与相交Bb或bCbDb答案B解析两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与已知平面相交，所以由直线ba，可知若b与相交，则a与也相交，而由题目已知，直线a平行于平面，所以b与不可能相交，所以b或b.故选B.(2)下列命题中成立的个数是()直线l平行于平面内的无数条直线，则l；若直线l在平面外，则l；若直线lb，直线b，则l；若直线lb，直线b，那么直线l就平行于平面内的无数条直线A1B2C3D4答案A解析当直线l在平面内时，结论不成立，错误若直线l在平面外，则l或l与相交，错误根据线面平行的定义可知，直线l在平面外时，结论才成立，错误根据平行公理可知，若直线lb，直线b，那么直线l就平行于平面内的无数条直线，正确故成立的只有，所以A正确(3)如图，PAB所在的平面与，分别交于CD，AB，若PC2，CA3，CD1，则AB_.答案解析因为，所以CDAB，所以.因为PC2，CA3，CD1，所以AB.(4)在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论正确的是_(填序号)AD1BC1；平面AB1D1平面BDC1；AD1DC1；AD1平面BDC1.答案解析如图，因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形故AD1BC1，从而正确；易证BDB1D1，AB1DC1，又AB1B1D1B1，BDDC1D，故平面AB1D1平面BDC1，从而正确；由图易知AD1与DC1异面，故错误；因为AD1BC1，AD1平面BDC1，BC1平面BDC1，所以AD1平面BDC1，故正确题型 直线与平面平行的判定与性质角度1线面平行判定定理的应用1在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC的中点，又PAAB4，CDA120，点N在PB上，且PN.求证：MN平面PDC.证明在正三角形ABC中，BM2.在ACD中，M为AC的中点，DMAC，ADCD，又ADC120，DM，则3.在等腰直角三角形PAB中，PAAB4，PB4，则3，MNPD.又MN平面PDC，PD平面PDC，MN平面PDC.角度2线面平行性质定理的应用2如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CDAB.求证：四边形EFGH是矩形证明CD平面EFGH，而平面EFGH平面BCDEF，CDEF.同理HGCD，EFHG.同理HEGF，四边形EFGH为平行四边形，CDEF，HEAB，HEF为异面直线CD和AB所成的角又CDAB，HEEF.平行四边形EFGH为矩形1判定线面平行的四种方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，a，aa)2用线面平行的判定定理证明线面平行(1)关键：在平面内找到一条与已知直线平行的直线(2)方法：合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形等证明两直线平行(3)易错：容易漏掉说明直线在平面外3用线面平行的性质定理证明线线平行(1)定势：看到线面平行想到用性质定理(2)关键：合理选择过已知直线的平面与已知平面相交 1(2016全国卷改编)如图，四棱锥PABCD中，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点证明：MN平面PAB.证明由已知得AMAD2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.2如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求证：PAGH.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点，又M是PC的中点，APOM.又MO平面BMD，PA平面BMD，PA平面BMD.平面PAHG平面BMDGH，且PA平面PAHG，PAGH.题型 平面与平面平行的判定与性质如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，则GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面(2)E，F分别为AB，AC的中点，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綊AB，A1G綊EB.四边形A1EBG是平行四边形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.条件探究在举例说明中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D平面AB1D1”，试求的值解连接A1B交AB1于O，连接OD1.由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O.所以BC1D1O，则1.同理可证AD1DC1，则，所以1，即1.1判定面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理，转化为证明线面平行(2)证明两平面垂直于同一条直线(3)证明两平面与第三个平面平行2面面平行条件的应用(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线 1在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB，G，H分别是EC和FB的中点求证：GH平面ABC.证明取FC的中点I，连接GI，HI，则有GIEF，HIBC.又EFDB，所以GIBD，又GIHII，BDBCB，所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.2(2018河南郑州模拟)如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点求证：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG.证明(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO，又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN，又BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE平面MNG.题型 立体几何中的探索性问题在如图所示的多面体中，DE平面ABCD，AFDE，ADBC，ABCD，ABC60，BC2AD4DE4.(1)在AC上求作点P，使PE平面ABF，请写出作法并说明理由；(2)求三棱锥ACDE的高解(1)取BC的中点G，连接DG，交AC于点P，连接EG，EP.此时P为所求作的点(如图所示)下面给出证明：BC2AD，G为BC的中点，BGAD.又BCAD，四边形BGDA是平行四边形，故DGAB，即DPAB.又AB平面ABF，DP平面ABF，DP平面ABF.AFDE，AF平面ABF，DE平面ABF，DE平面ABF.又DP平面PDE，DE平面PDE，PDDED，平面PDE平面ABF，PE平面PDE，PE平面ABF.(2)在等腰梯形ABCD中，ABC60，BC2AD4，可求得梯形的高为，从而ACD的面积为2.DE平面ABCD，DE是三棱锥EACD的高设三棱锥ACDE的高为h.由VACDEVEACD，可得SCDEhSACDDE，即21h1，解得h.故三棱锥ACDE的高为.线面平行的探究性问题解决探究性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在，而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明 (2018合肥三模)如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是梯形，ABCD，ABAD，AA14，DC2AB，ABAD3，点M在棱A1B1上，且A1