2020版高考数学复习导数在研究函数中的应用（第1课时）利用导数研究函数的单调性讲义理（含解析）.docx

第11讲导数在研究函数中的应用第1课时利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数的关系1概念辨析(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()(3)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零()答案(1)(2)(3)2小题热身(1)如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下面判断正确的是()A在区间(2,1)上f(x)是增函数B在区间(1,3)上f(x)是减函数C在区间(4,5)上f(x)是增函数D当x2时，f(x)取到极小值答案C解析观察yf(x)的图象可知，f(x)在区间(2,1)上先减后增，在区间(1,3)上先增后减，在区间(4,5)上是增函数，当x2时，f(x)取到极大值，故只有C正确(2)f(x)x36x2的单调递减区间为()A(0,4) B(0,2)C(4，) D(，0)答案A解析f(x)3x212x3x(x4)，由f(x)0得0x0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f(x)(x2)ex0，解得x2.(4)已知f(x)x3ax在1，)上是增函数，则a的最大值是_答案3解析由题意得，f(x)3x2a0对x1，)恒成立，即a3x2对x1，)恒成立，所以a3.经检验a3也满足题意，所以a的最大值是3.题型 不含参数的函数的单调性1已知函数f(x)xln x，则f(x)()A在(0，)上单调递增B在(0，)上单调递减C在上单调递增D在上单调递减答案D解析f(x)xln xx(ln x)ln x1.由f(x)0得x，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，故只有D正确2函数f(x)的单调递增区间是()A(，1) B(1,1)C(1，) D(，1)或(1，)答案B解析函数f(x)的定义域为R，f(x).要使f(x)0，只需(1x)(1x)0，解得x(1,1)3(2019江西金溪一中等校联考)已知函数f(x)与f(x)的图象如图所示，则函数g(x)的单调递减区间为()A(0,4) B(，1)，C. D(0,1)，(4，)答案D解析由题图可知，先减后增的那条曲线为f(x)的图象，先增后减最后增的曲线为f(x)的图象因为g(x)，所以g(x)，由图象可知，当x(0,1)和(4，)时，f(x)f(x)，此时g(x)0，函数f(x)为增函数，当x(e，)时，f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间(4)解不等式f(x)0，解得0x2，故函数f(x)的单调递增区间是和(2，).3.(2019开封调研)已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsinxcosx，则f(x)的单调递增区间是_答案和解析因为f(x)xsinxcosx，所以f(x)sinxxcosxsinxxcosx.令f(x)0，得xcosx0.又因为x，所以x或0x2，令f(x)0，得x或x.当x时，f(x)0.所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增条件探究1若举例说明中的函数变为f(x)ax2aln x，应如何解答？解由题意得f(x)2ax(x0)当a0时，f(x)0时，由f(x)0有x，当x时，f(x)0，f(x)单调递增条件探究2若举例说明中的函数变为f(x)x1aln x(a0)，应如何解答？解由题意知，f(x)的定义域是(0，)，导函数f(x)1.设g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判别式a28.当0，即00都有f(x)0.此时f(x)是(0，)上的单调递增函数当0，即a2时，方程g(x)0有两个不同的实根x1，x2，0x12时，f(x)0有两个实根.1已知函数f(x)x3(2m1)x23m(m2)x1，其中mR，求函数f(x)的单调递增区间解f(x)x22(2m1)x3m(m2)(x3m)(xm2)当3mm2，即m1时，f(x)(x3)20，f(x)单调递增，即f(x)的单调递增区间为(，)当3mm2，即m1时，由f(x)(x3m)(xm2)0可得x3m，此时f(x)的单调递增区间为(，m2)，(3m，)当3mm2，即m0，可得xm2，此时f(x)的单调递增区间为(，3m)，(m2，)综上所述，当m1时，f(x)的单调递增区间为(，)；当m1时，f(x)的单调递增区间为(，m2)，(3m，)；当m0，则由f(x)0得xln a，当x(，ln a)时，f(x)0.故f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增若a0，则由f(x)0得xln .当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增题型 函数单调性的应用问题角度1比较大小或解不等式1(1)(2019武汉模拟)已知定义域为R的奇函数yf(x)的导函数为yf(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，若a，b，c，则a，b，c的大小关系正确的是()Aabc BbcaCacb Dcaf的x0的取值范围为_答案(1)D(2)解析(1)设g(x)，则g(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，g(x)0.g(x)在(0，)上是减函数由f(x)为奇函数，知g(x)为偶函数，则g(3)g(3)，又ag(e)，bg(ln 2)，cg(3)g(3)，g(3)g(e)g(ln 2)，故caf，知x0.又因为f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数，所以x0，求函数f(x)的单调区间；设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围答案(1)A(2)见解析解析(1)f(x)的定义域是(0，)，f(x)x，由f(x)0解得0x3，由题意知解得10)，当x(，0)时，f(x)0；当x(0，a)时，f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a)g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax20成立，即x(2，1)时，ag(x)F(x)f(x)g(x)；(2)xf(x)f(x)xf(x)；(3)xf(x)f(x)；(4)f(x)f(x)exf(x)；(5)f(x)f(x).2.由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f(x)0(或f(x)0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f(x)0(或f(x)0，则对于任意的a，b(0，)，当ab时，有()Aaf(a)bf(b)Caf(b)bf(a) Daf(b)000，即xf(x)x0.x0，xf(x)0，即函数yxf(x)在(0，)上为增函数，由a，b(0，)且ab，得af(a)bf(b)，故选B.2若函数f(x)x2x在区间1,2上单调递减，则实数a的取值范围为()A. B.C. D2，)答案B解析若函数f(x)x2x在区间1,2上单调递减，则f(x)x2ax10在1,2上恒成立，即ax在1,2上恒成立，又当x1,2时，max2，所以a.故选B.3