数学建模长江污水排放问题.doc

一、问题重述：上游江水流量为1000（），污水浓度为0.8（mg/L）。江水下方3个工厂，它们分别产生定量的污水，3个工厂的污水流量均为5（），从上到小下，浓度分别为100,60,50（mg/L）。已知国家标准规定水的污染浓度不超过1（mg/L）。所以3个工厂要对其污水进行处理，处理系数均为1。在3个工厂之间，江水有自净作用，可减少污水的含量，两段江面的自净系数分别为0.9和0.6。求1、为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？2、如果只要求3个居民点上游的水污染达到国家标准，最少需要花多少钱？二、问题分析：此题为最优化问题，我们考虑每个工厂在将其污水注入江水前，应分别对其污水进行处理，在处理过程后，各工厂处理后的污水浓度要符合国家污水浓度规定，所以我们的任务就是在满足国家污水规定的同时，使3个工厂的花费最少。工厂的花费要受二个条件制约，一是污水浓度，二是国家污水浓度规定。污水浓度越高，各工程为满足国家污水规定，应大量处理污水，工厂的花费也就越高。因此，可用线性规划模型来解决此问题。我们可以用如下图表示全过程：工厂1处理污水江水进行自净工厂2处理污水江水进行自净工厂3处理污水状态1状态2状态3状态4状态5长江水将到工厂1三、问题假设：1. 假设长江的水流量固定，不会因为加入污水或改变污水浓度而改变。2. 假设污水之间无反应，不会因为污水反应而改变污水量或污水浓度。3. 假设居民区不产生污水。4. 假设江水的自净作用对所有污水都有效。5. 假设污水在进入长江之后是分布均匀的。6. 假设污水在进入长江之后不会流入上游。7. 假设江水进行自净作用时，不改变江水本身流量。8. 假设在对进行污水处理时，不改变污水流量，只改变污水浓度。9. 假设3个工厂之间的两段江面，各自单位距离的自净能力相同。四、符号假设：c0：表示长江上游污水浓度 c11：表示工厂1产生的污水浓度c12：表示工厂1处理后污水浓度 c21：表示工厂2产生的污水浓度c22：表示工厂2处理后污水浓度 c31：表示工厂3产生的污水浓度c32：表示工厂3处理后污水浓度 cb：表示国家标准规定水的污染浓度v0：表示长江上游水流量 v1：表示到达工厂1水流量v2：表示到达工厂2水流量 v3：表示到达工厂3水流量vj：表示3个工厂长生的污水流量z1:表示工厂1、 2之间的自净化系数 z2：表示工厂2、 3之间的自净化系数 x1：表示工厂1的处理费 x2 ：表示工厂2的处理费x3：表示工厂3的处理费 s：表示处理系数五、建立模型（一） 第一问：为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，即在工厂排出污水后，江水就应满足国家污水规定。因此，分析，变量中c0、c11、c21、c31、cb、v0、v1、v2、v3、vj、z1、z2都是已知的。c0=0.8;c11=100;c21=60;c31=50;cb=1;v0=1000;v1=1000;v2=vj+v1;v3=v2+vj;vj=5;z1=0.9;s=1;有3个限制变量，一是工厂1处理后污水浓度（即c12），二是工厂2处理后污水浓度（即c22），三是厂3处理后污水浓度（即c32）。c12=（江水本有的污水+工厂1处理后的污水）/（江水流量+工厂1的污水量）江水本有的污水=江水流量（v1）*江水污水浓度（c0）工厂1处理后的污水=工厂1的污水量（vj）*处理后污水浓度处理后污水浓度=原污水浓度（c11）-污水减小浓度量污水减小浓度量=工厂1的花费（x1）/（处理系数（s）*工厂1的污水量（vj）整理可得：c12 = (v0*c0+vj*(c11-x1/(vj*s)/(v0+vj)同理可得：c22 = (v2*c12*z1+vj*(c21-x2/(vj*s)/(v2+vj) c32 = (v3*c22*z2+vj*(c31-x3/(vj*s)/(v3+vj) 同时c12=cb; c22=cb; c32=cb;用Lingo求解得：Global optimal solution found at iteration: 4 Objective value: 489.5000 Variable Value Reduced Cost X1 295.0000 0.000000 X2 194.5000 0.000000 X3 0.000000 1.000000即最少需要花费489.5万元，工厂1花费295万元，工厂2花费194.5，工厂3不用处理污水。（二）第二问：如果只要求3个居民点上游的水污染达到国家标准，最少需要花多少钱？题目没有明确指明居民点的位置，只是说明它们在处理站对面是居民点，所以居民区可以有多种排法，它们可以在处理站前，也可在处理站后，也可以在2个处理站中间，因此我们只假设对应居民区在处理站前或处理站后。（1） 居民区在对应工厂后，分析有可得，此假设和第一问的意义相同，所以我们不再进行计算。（2）居民区在对应工厂前如图： 工厂1工厂3居民区1居民区3江水开始自净江水完成自净自净区域1工厂2居民区2自净区域2江水开始自净江水完成自净则可考虑各工厂在处理污水时，不用将污水浓度处理到国家污水，因为江水本身有自净作用，因此只要在到达下个居民点前达到国家污水标准既可。那么c12=cb，c22=cb;，c32=cb可变为c12*z1=cb，c22*z2=cb，c32=cb。用Lingo求解得：Global optimal solution found at iteration: 4 Objective value: 206.3333 Variable Value Reduced Cost X1 183.3333 0.000000 X2 0.000000 0.4000000 X3 23.00000 0.000000即最少需要花费206.3333万元，工厂1花费183.3333万元，工厂2不用处理污水，工厂3花费23万元。五、 模型改进在问题二中我们加入变量j2和j3，分别表示居民区2和居民区3的位置，且设2段江面的距离为1，因此0=j2=1, 0=j3=1。因为假设3个工厂之间的两段江面，各自单位距离的自净能力相同，所以可以使居民区2和居民区3在2段江面中移动，当j=0.3时，表示居民区2距离工厂1 0.3的位置，距离工厂20.7的位置。则限制条件可写为c12*(1-0.1*j2)=cb，c22*(1-j3*0.4)=cb，c32=cb当j2=0，j3=0时即第一问，当j2=1，j3=1时即第二问，经计算与第一、二问的结果相同。附录：min = x1+x2+x3;c0=0.8;c11=100;c21=60;c31=50;cb=1;v0=1000;v1=1000;v2=vj+v1;v3=v2+vj;vj=5;z1=0.9;s=1;z2=0.6;c12=(v0*c0+vj*(c11-x1/(vj*s)/(v0+vj);c12*(1-0.1*j2)=cb;c22=(v2*c12*z