2017届高三数学二轮复习1.2.5导数的综合应用课时巩固过关练理.docx

课时巩固过关练 七 导数的综合应用(35分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2016襄阳一模)函数f(x)=xcosx在-,上的大致图象为()【解析】选B.因为f(x)=xcosx为奇函数,所以排除A.因为f()=cos=-,所以排除C.f(x)=cosx-xsinx=cosx(1-xtanx),因为x,f(x)0,f(x)在单调递增,所以排除D.2.(2016黄冈一模)定义在区间(0,+)上的函数f(x)使不等式2f(x)xf(x)3f(x)恒成立,其中f(x)为f(x)的导数,则()A.8f(2)f(1)16B.4f(2)f(1)8C.3f(2)f(1)4D.2f(2)f(1)3【解题指南】令g(x)=,h(x)=,求出g(x),h(x)的导数,得到函数g(x),h(x)的单调性,可得g(2)h(1),由f(1)0,即可得到48.【解析】选B.令g(x)=,则g(x)=,因为xf(x)3f(x),即xf(x)-3f(x)0,所以g(x)0在(0,+)恒成立,即有g(x)在(0,+)上递减,可得g(2)g(1),即,由2f(x)0,则2f(x),即xf(x)-2f(x)0,所以h(x)0在(0,+)恒成立,即有h(x)在(0,+)上递增,可得h(2)h(1),即f(1),则4.即有42时满足xf(x)2f(x)+f(x),则()A.2f(1)f(3)C.f(0)4f52D.f(1)2),知F(x)=0,所以F(x)在(2,+)上单增,则有F(4)F(3),即,可知f(4)2f(3),又由函数f(x+2)是偶函数可知f(x)关于x=2对称,所以f(3)=f(1),则f(4)2f(1).4.(2016商丘一模)设f(x)的定义域为D,若f(x)满足下面两个条件,则称f(x)为闭函数.f(x)在D内是单调函数;存在a,bD,使f(x)在a,b上的值域为a,b.如果f(x)=2x+1+k为闭函数,那么k的取值范围是()A.-1k-12B.12k-1D.k1【解题指南】首先应根据条件将问题转化成:=x-k在上有两个不等实根.然后,一方面:可以从数形结合的角度研究两函数y=和y=x-k在上的交点个数问题,进而获得问题的解答;另一方面:可以化简方程=x-k,得关于x的一元二次方程,从二次方程根的分布情况分析亦可获得问题的解答.【解析】选A.方法一:因为:f(x)=+k为上的增函数,又f(x)在a,b上的值域为a,b,所以即f(x)=x在上有两个不等实根,即=x-k在上有两个不等实根.所以问题可化为y=和y=x-k在上有两个不同交点.对于临界直线m,应有-k,即k-.对于临界直线n,y=()=,令=1,得切点P的横坐标为0,所以P(0,1),所以n:y=x+1,令x=0,得y=1,所以-k-1.综上,-1-1.又=x-k,所以xk,所以k-.综上,-1f(x),且y=f(x)-1是奇函数,则不等式f(x)f(x),所以g(x)0,即g(x)在R上是单调递减函数,因为y=f(x)-1为奇函数,所以f(0)-1=0,即f(0)=1,g(0)=1,则不等式f(x)ex等价为1=g(0),即g(x)0,所以不等式的解集为(0,+).答案:(0,+)6.(2016郑州一模)已知函数f(x)=x3-3ax(aR),若直线x+y+m=0对任意的mR都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围为_.【解析】f(x)=x3-3ax(aR),则f(x)=3x2-3a,若直线x+y+m=0对任意的mR都不是曲线y=f(x)的切线,则直线的斜率为-1,f(x)=3x2-3a与直线x+y+m=0没有交点,又抛物线开口向上则必在直线上面,即最小值大于直线斜率,则当x=0时取最小值,-3a-1,则a的取值范围为a.答案:a0.【解析】(1)f(x)的定义域是(0,+),f(x)=lnx-+1,f(x)=+0,所以f(x)在(0,+)递增,而f(1)=-10,所以f(x)在(1,2)上零点的个数是1个.(2)由(1)得f(x)在(0,+)递增,而零点在(1,2)上,设零点是x0,则1x02,则f(x)在(0,x0)递减,在(x0,+)递增,f(x)min=f(x0)=(x0-2)lnx0+1,而-1x0-20,0lnx01,所以-1(x0-2)lnx00,0(x0-2)lnx0+10.8.(2016四川高考)设函数f(x)=ax2-a-lnx,g(x)=1x-eex,其中aR,e=2.718为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性.(2)证明:当x1时,g(x)0.(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)g(x)在区间(1,+)内恒成立.【解析】(1)由题意得f=2ax-=,当a0时,f0时,由f=0,得x=,当x时,f0,此时f单调递增.(2)令s(x)=ex-1-x,则s(x)=ex-1-1.当x1时,s(x)0,所以ex-1x,从而g(x)=-0.(3)由(2)知,当x1时,g(x)0.当a0,x1时,f(x)=a(x2-1)-lnxg(x)在区间(1,+)内恒成立时,必有a0.当0a1.由(1)有f0,所以此时f(x)g(x)在区间(1,+)内不恒成立.当a时,令h(x)=f(x)-g(x)(x1).当x1时,h(x)=2ax-+-e1-xx-+-=0.因此h(x)在区间(1,+)上单调递增.又因为h(1)=0,所以当x1时,h(x)=f(x)-g(x)0,即f(x)g(x)恒成立.综上,a.【加固训练】(2016哈尔滨二模)设函数f(x)=aexlnx+bex-1x,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线为y=e(x-1)+2.(1)求a,b.(2)证明:f(x)1.【解题指南】先对函数f(x)=aexlnx+求导,将x=1代入到导函数中确定曲线的切线的斜率,求出a,b的值;证明f(x)1时,将其转化为xlnxxe-x-,分别构造函数进行证明.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=aexlnx+ex-ex-1+ex-1.由题意得f(1)=2,f(1)=e,故a=1,b=2.(2)由(1)知,f(x)=exlnx+ex-1,从f(x)1等价于xlnxxe-x-.设函数g(x)=xlnx,则g(x)=1+lnx.所以当x时,g(x)0.故g(x)在x上单调递减,在x上单调递增,从而g(x)在(0,+)的最小值为g=-.设函数h(x)xe-x-,则h(x)e-x(1-x).所以当x(0,1)时,h(x)0;当x(1,+)时,h(x)0时,g(x)h(x),即f(x)1.(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.函数f(x)=lnx-x+1的图象大致为()【解题指南】求导f(x)=-=,从而可判断f(x)在(0,4)上单调递增,在(4,+)上单调递减,且f(4)=ln4-2+1=ln4-10;从而解得.【解析】选A.因为f(x)=lnx-+1,所以f(x)=-=,所以f(x)在(0,4)上单调递增,在(4,+)上单调递减;且f(4)=ln4-2+1=ln4-10.2.已知函数f(x)=13x3+(1-b)x2-a(b-3)x+b-2的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,则不等式组x-ay鈮?,x-by鈮?所确定的平面区域在x2+y2=4内的面积为()A.B.C.D.2【解题指南】根据条件求出a,b的值以及函数f(x)的表达式,结合二元一次不等式(组)与平面区域的关系画出其表示的平面区域,再利用圆的方程画出图形,最后利用扇形面积公式计算即可.【解析】选B.因为函数f(x)的图象过原点,所以f(0)=0,即b=2.则f(x)=x3-x2+ax,函数的导数f(x)=x2-2x+a,因为原点处的切线斜率是-3,即f(0)=-3,所以f(0)=a=-3,故a=-3,b=2,所以不等式组为则不等式组确定的平面区域在圆x2+y2=4内的面积,如图阴影部分表示,所以圆内的阴影部分扇形即为所求.因为kOB=-,kOA=,所以tanBOA=1,所以BOA=,所以扇形的圆心角为,扇形的面积是圆的面积的八分之一,所以圆x2+y2=4在区域D内的面积为4=.3.已知函数y=f(x)是定义在实数集R上的奇函数,f(x)是f(x)的导函数,且当x0时,f(x)+xf(x)0,设a=(log0.54)f(log0.54),b=2f(2),c=lg15flg15,则a,b,c的大小关系是()A.cabB.cbaC.abcD.acb【解题指南】由已知想到构造函数F(x)=xf(x),求导后判断出其单调性,然后比较lg,log0.54的绝对值的大小,最后借助于F(x)是偶函数和其单调性得到答案.【解析】选C.令F(x)=xf(x),因为函数y=f(x)是定义在实数集R上的奇函数,所以F(x)为定义在实数集上的偶函数.由F(x)=f(x)+xf(x),因为当x0,f(x)+xf(x)0,所以F(x)在(0,+)上为增函数.因为log0.54=-2,lg=-lg5,所以|lg|log0.54|.则FF()bc.【加固训练】(2016福州一模)设函数f(x)是定义在(-,0)上的可导函数,其导函数为f(x),且有2f(x)+xf(x)x2,则不等式(x+2014)2f(x+2014)-4f(-2)0的解集为()A.(-,-2012)B.(-2012,0)C.(-,-2016)D.(-2016,0)【解析】选C.由2f(x)+xf(x)x2,x0得:2xf(x)+x2f(x)x3,即x2f(x)x30,令F(x)=x2f(x),则当x0时,F(x)0,F(x)在(-,0)是减函数,所以由F(2014+x)F(-2)得,2014+x-2,即x0,则函数F(x)=xf(x)+1x的零点个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.由F(x)=xf(x)+=0,得xf(x)=-,设g(x)=xf(x),则g(x)=f(x)+xf(x),因为x0时,有f(x)+0,所以x0时,0,即当x0时,g(x)=f(x)+xf(x)0,此时函数g(x)单调递增,此时g(x)g(0)=0,当x0时,g(x)=f(x)+xf(x)g(0)=0,作出函数g(x)和函数y=-的图象,(直线只代表单调性和取值范围),由图象可知函数F(x)=xf(x)+的零点个数为1个.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,g(x)0,f(x)g(x)f(x)g(x),且f(x)=axg(x)(a0且a1),f(1)g(1)+f(-1)g(-1)=52.若数列f(n)g(n)的前n项和大于62,则n的最小值为_.【解题指南】由已知条件推导出=ax,利用导数的性质求出=ax是增函数,利用+=推导出a=2.从而得到数列为2n.由此能求出结果.【解析】因为f(x)=axg(x)(a0且a1),所以=ax,又因为f(x)g(x)f(x)g(x),所以=0,所以=ax是增函数,所以a1,因为+=.所以a1+a-1=,解得a=或a=2.综上得a=2.所以数列为2n.因为数列的前n项和大于62,所以2+22+23+2n=2n+1-262,即2n+164=26,所以n+16,解得n5.所以n的最小值为6.答案:66.关于函数f(x)=2x+lnx,下列说法(1)x=2是f(x)的极小值点.(2)函数y=f(x)-x有且只有1个零点.(3)存在正实数k,使得f(x)kx恒成立.其中正确的说法序号为_.【解析】f(x)=-+=,f(2)=0,且当0x2时,f(x)2时,f(x)0,函数递增,因此x=2是f(x)的极小值点,(1)正确;令g(x)=f(x)-x,g(x)=-+-1=-,所以当x0时,g(x)0,g(e2)=+2-e2kx,可得k+,令h(x)=+,则h(x)=-+=,m(x)=-4+x-xlnx,则m(x)=-lnx;所以在(0,1)上,m(x)递增,在(1,+)上m(x)递减,所以m(x)m(1)0,故h(x)kx恒成立.答案:(1)(2)【加固训练】已知数列an中,a1=1,a2=2,设Sn为数列an的前n项和,对于任意的n1,nN,Sn+1+Sn-1=2(Sn+1)都成立,则S10=_.【解析】因为对任意的n1,nN,Sn+1+Sn-1=2(Sn+1)都成立,所以Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2,所以an+1=an+2,因为a3=a2+2=4,所以an=a2+(n-2)2=2+(n-2)2=2n-2,n2.所以S10=a1+a2+a3+a10=1+2+4+18=1+29+2=91.答案:91三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.已知f(x)=ex(x-a-1)-+ax(a0)，(1)讨论f(x)的单调性.(2)若x0时，f(x)+4a0，求正整数a的值.参考值e27.389，e320.086.【解题导引】(1)求导数，得到f(x)=(x-a)(ex-1)，根据导数符号便可判断出f(x)在(-，0)上单调递增，在0，a)上递减，在a，+)上单调递增.(2)f(x)+4a0对x0时恒成立，从而只需f(x)min+4a0即可，而由(1)知f(x)在0，+)上的最小值为f(a).从而可以得到ea-4a0.可设g(a)=ea-4a，求导数得到g(a)=ea-a-4，可再设h(a)=g(a)，这样便可得出h(a)0，说明h(a)在(0，+)上单调递增，这时可以求得h(1)0，从而可知存在a01，2，使g(a)在(0，a0)上单调递减，而在(a0，+)上单调递增.求的是满足g(a)0的正整数，这样可求出g(1)0，g(2)0，从而便得出a的值为1或2.【解析】(1)f(x)=ex(x-a)-x+a=(x-a)(ex-1).因为a0，所以x0时，x-a0，ex-10；0xa时，x-a0，所以f(x)0，ex-10，所以f(x)0.所以f(x)在(-，0)上单调递增，在0，a)上单调递减，在a，+)上单调递增.(2)由(1)知，x0时，f(x)min=f(a)=-ea+，所以由f(x)+4a0得，ea-4a0.设g(a)=ea-4a，g(a)=ea-a-4.设h(a)=ea-a-4，h(a)=ea-1.a0，所以ea-10，h(a)0，所以h(a)在(0，+)上为增函数.又h(1)=e-50，所以存在a0(1，2)使h(a0)=0，所以a(0，a0)时，h(a)0，g(a)0，g(a)0.即g(a)在(0，a0)上递减，在(a0，+)上递增.又g(1)=e-0，g(2)=e2-2-80，所以a=1或2.8.设函数f(x)=bxlnx-ax.(1)若a=0,求f(x)的单调增区间.(2)当b=1时,若存在x1,x2e,e2,使f(x1)f(x2)+a成立,求实数a的最小值.(其中e为自然对数的底数)【解题指南】(1)求f(x)=的定义域,再求导f(x)=b,从而讨论确定函数的单调增区间.(2)当b=1时,f(x)=-ax,f(x)=-a,从而可得当x2=e2时,f(x2)+a有最大值,从而只需使x1e,e2,使f(x1),从而可得a-,从而得解.【解析】(1)当a=0时,f(x)=的定义域为(0,1)(1,+),f(x)=b,当b0时,x(e,+)时,f(x)0,故f(x)的单调增区间为(e,+);当b0,故f(x)的单调增区间为(0,1),(1,e).(2)当b=1时,f(x)=-ax,f(x)=-a,故f(x2)+a=-+,故当x2=e2时,f(x2)+a有最大值,故只需使x1e,e2,使f(x1),故-ax1,即a-,令g(x)=-,g(x)=,故g(x)=-在e,e2上是减函数,g(e)=1-,g(e2)=-,故只需使a-,故实数a的最小值为-.【加固训练】已知函数f(x)=lnx-(x-1)22.(1)求函数f(x)的单调增区间.(2)证明:当x1时,f(x)1,当x(1,x0)时,恒有f(x)k(x-1).【解题指南】(1)求导数,利用导数大于0,可求函数f(x)的单调增区间.(2)令F(x)=f(x)-(x-1),证明F(x)在1,+)上单调递减,可得结论.(3)分类讨论,令G(x)=f(x)-k(x-1)(x0),利用函数的单调性,可得实数k的所有可能取值.【解析】(1)因为f(x)=lnx-,所以f(x)=0(x0),所以0x1时,F(x)1时,F(x)1时,f(x)1满足题意;当k1时,对于x1,有f(x)x-1k(x-1),则f(x)1满足题意;当k0),则G(x)=0,可得x1=1,当x(1,x2)时,G(x)0,故G(x)在(1,x2)上单调递增,从而x(1,x2)时,G(x)G(1)=0,即f(x)k(x-1),综上,k的取值范围为(-,1).1.(2016肇庆一模)已知函数f(x)=lnx+，aR.(1)求函数f(x)的单调区间.(2)如果当x0，且x1时，恒成立，求实数a的范围.【解题指南】(1)先求函数f(x)的定义域和导函数f(x)=，构造函数g(x)=x2+2(1-a)x+1，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出函数f(x)的单调区间.(2)“当x0，且x1时，恒成立”，等价于“当x0，且x1时，0恒成立”，构造函数h(x)=f(x)-a，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出实数a的取值范围.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，+).f(x)=-=.设g(x)=x2+2(1-a)x+1，=4a(a-2).当a0时，函数y=g(x)的对称轴为x=a-1，所以当x0时，有g(x)g(0)0，故f(x)0，f(x)在(0，+)上是增函数；当02时，令g(x)=0得，x1=a-1-0，x2=a-1+，令f(x)0，解得0xx2；令f(x)0，解得x1x0，且x1时，恒成立”，等价于“当x0，且x1时，0()恒成立”，设h(x)=f(x)-a，由(1)知：当a2时，h(x)在(0，+)上是增函数，当x(0，1)时，h(x)0；当x(1，+)时，h(x)h(1)=0，所以h(x)0；所以，当a2时，式成立.当a2时，h(x)在(x1，1)上是减函数，所以h(x)h(1)=0，式不恒成立.综上所述，实数a的取值范围是(-，2.2.已知f(x)=xlnx-ax,g(x)=-x2-2.(1)当a=-1时,求f(x)的单调区间.(2)对一切x(0,+),f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围.(3)证明:对一切x(0,+),都有lnx+11ex-2ex成立.【解题指南】(1)求出函数的导函数,当a=-1时,f(x)=lnx+2,令f(x)=lnx+20,得函数的单调递增区间是,令f(x)=lnx+20,得x,令f(x)=lnx+20,得0x.所以函数的单调递增区间是,函数的单调递减区间是.(2)因为对一切x(0,+),f(x)g(x)恒成立,所以对一切x(0,+),xlnx-ax-x2-2恒成立,即对一切x(0,+),alnx+x+恒成立.令F(x)=lnx+x+,因为F(x)=+1-=,所以当