傅里叶光学1-5函数正交展开和级数.ppt

1-5 函数的正交展开和傅里叶级数 一、矢量空间与函数空间 （一）矢量空间,1.三维矢量,正交单位矢量：,2.N维,为n维空间正交的单位矢量（正交坐标系）,n维空间n个单位正交构成的正交坐标系,展开系数 的求法：,两边同乘,即：,非单位矢量,（二）函数（信号）空间,1、设有无穷个正交函数 构成函数空间,正交函数,展开系数 的求法：,两边同乘 积分,若 ，称正交归一化空间和正交归一化坐标系。,2、若正交函数为复函数,正交性,（三）常用正交函数坐标系,三角函数空间 walsh函数空间 sinc函数空间 贝赛尔函数空间,二、傅里叶级数,（一）周期函数,（二）三角级数,1.定义：,若 ，为正弦级数； 若 ，为余弦级数。,（只有周期函数能用三角级数展开）,2.性质,（1）周期性2T,（2）三角函数正交性,（三）傅里叶级数,1、f(x)是周期为2T的函数,（1） 的计算：,2、系数 为各成分占得比重、计算,（2） 的计算：利用正交函数的性质,（四）函数的周期性和奇偶性在定积分中的应用,1.周期函数的积分性质,设周期函数f(x)的周期为2T，则在长为2T的任意区间上的定积分都相等。,(1)图形分析,(2)证明,令,令,2. 函数的奇偶性,（1）奇 偶,（2）若周期函数为奇函数，其傅氏展开只包含正弦项,若周期函数为偶函数，其傅氏展开只包含余弦项,若非奇非偶，,3.奇偶函数的对称积分(积分限相对于原点是对称的),（1）奇函数的对称积分为零。,（a不一定是周期）,（2）偶函数的对称积分等于正限积分的二倍,（3）n个奇函数的代数和仍为奇函数,（4）n个偶函数的代数和仍为偶函数,（5）1个奇函数与一个偶函数相乘（或相除），结果为奇函数,（6）两个奇函数相乘（或相除），结果为偶函数,（7）n个偶函数相乘（或相除），结果为偶函数,（8）m个奇函数n个偶函数相乘（或相除），结果为取决于 m是奇数还是偶数,（9）奇函数和偶函数相加（减），结果为非奇非偶。,（五）傅里叶级数的另一种表示,（表示某种振动或某种谐波分量）,：初位相,：振幅,（六）傅里叶级数的复数表示,欧拉公式：,令,的求法：,（七）举例（傅氏展开先判断奇偶性）,1.周期为2T，f(x)=x,-TxT傅氏级数,奇函数，只用正弦项展开,2,K是常数；,（周期2T=4，T=2）,3.周期为d,偶函数,4.求如图所示一维正弦位相光栅透过率函数 的傅里叶级数展开式,（n阶第一类贝赛尔函数）,n阶第一类贝赛尔函数的积分公式,正弦光栅透过率函数也可表示为,令,0阶第一类贝赛尔函数积分表达式。,（八）频谱的概念,（频率）,为谐频（此为空间频谱，xt为时间频率）,的曲线叫振幅频谱图。,位相频谱图。,特点：离散的，具有谐波性、收敛性,振幅频谱,位相频谱,特点：,频率范围从 出现负频概念； 各谐波的分量减小一半； 各谐波位相值不变，但正负频的位相方向相反；,二者差异只是形式上的。,正负频的解释：平面偏振，可分为左右弦振动（圆偏振）， 左弦为正频，右弦为负频。,例：