高考数学第9章平面解析几何第6节直线与圆锥曲线的位置关系高考AB卷理.docx

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第9章 平面解析几何 第6节 直线与圆锥曲线的位置关系高考AB卷 理直线与圆锥曲线的位置关系1.(2014全国，10)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.解析易知直线AB的方程为y(x)，与y23x联立并消去x得4y212y90.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y23，y1y2.SOAB|OF|y1y2|.故选D.答案D2.(2013大纲，8)椭圆C：1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是()A. B.C. D.解析如图：设直线A2M的方程为y(x2)2x，代入椭圆方程1，并整理得7x216x40，2x，x，M点坐标为.设直线A2N的方程为y2(x2)42x，同理可得N点坐标为，kA1M，kA1N.直线PA1斜率的取值范围是.答案B3.(2013全国，20)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：1(ab0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值.解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1，1，1，由此可得1.因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以x1x22x0，y1y22y0，.所以y0x0，即y1y2(x1x2).所以可以解得a22b2，又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.所以a26，b23.所以M的方程为1.(2)将xy0代入1，解得或所以可得|AB|；由题意可设直线CD方程为yxm，所以设C(x3，y3)，D(x4，y4)，将yxm代入1得3x24mx2m260，则|CD|，又因为16m212(2m26)0，即3m0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_.解析由题意，不妨设直线OA的方程为yx，直线OB的方程为yx.由得x22p x，x，y，A.设抛物线C2的焦点为F，则F，kAF.OAB的垂心为F，AFOB，kAFkOB1，1，.设C1的离心率为e，则e21.e.答案4.(2012浙江，16)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1：yx2a到直线l：yx的距离等于曲线C2：x2(y4)22到直线l：yx的距离，则实数a_.解析曲线C2到l的距离d等于圆心到直线的距离减去半径，即d，所以曲线C1到l的距离为，则曲线C1与直线l不能相交，即x2ax，x2xa0.设C1：yx2a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d，所以a.答案5.(2016北京，19)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|BM|为定值.(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.椭圆方程为y21.(2)证明由(1)知，A(2，0)，B(0，1).设椭圆上一点P(x0，y0)，则y01.当x00时，直线PA方程为y(x2)，令x0得yM.从而|BM|1yM|.直线PB方程为yx1.令y0得xN.|AN|2xN|.|AN|BM|4.当x00时，y01，|BM|2，|AN|2，所以|AN|BM|4.故|AN|BM|为定值.6.(2016江苏，22)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy20，抛物线C：y22px(p0).(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为(2p，p)；求p的取值范围.(1)解l：xy20，l与x轴的交点坐标为(2，0).即抛物线的焦点为(2，0)，2，p4.抛物线C的方程为y28x.(2)证明设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).则则kPQ，又P、Q关于l对称.kPQ1，即y1y22p，p，又PQ的中点一定在l上，22p.线段PQ的中点坐标为(2p，p).解PQ的中点为(2p，p)，即即关于y的方程y22py4p24p0，有两个不等实根.0.即(2p)24(4p24p)0，解得0p，故所求p的范围为.7.(2015浙江，19)已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称.(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).解(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220，将AB中点M代入直线方程ymx解得b，由得m或m.(2)令t，则|AB|.且O到直线AB的距离为d.设AOB的面积为S(t)，所以S(t)|AB|d.当且仅当t2时，等号成立.故AOB面积的最大值为.8.(2015天津，19)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F(c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c，|FM|.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.解(1)由已知有，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k0)，F(c，0)，则直线FM的方程为yk(xc).由已知，有S，解得k.(2)由(1)得椭圆方程为1，直线FM的方程为y(xc)，两个方程联立，消去y，整理得3x22cx5c20，解得xc，或xc.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.由|FM|.解得c1，所以椭圆的方程为1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t，即yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立.消去y，整理得2x23t2(x1)26，又由已知，得t，解得x1，或1x0.设直线OP的斜率为m，得m，即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得m2.当x时，有yt(x1)0，因此m0，于是m，得m.当x(1，0)时，有yt(x1)0.因此m0，于是m，得m.综上，直线OP的斜率的取值范围是.9.(2014北京，19)已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OAOB，试判断直线AB与圆x2y22的位置关系，并证明你的结论.解(1)由题意，椭圆C的标准方程为1.所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)直线AB与圆x2y22相切.证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.当x0t时，y0，代入椭圆C的方程，得t，故直线AB的方程为x.圆心O到直线AB的距离d.此时直线AB与圆x2y22相切.当x0t时，直线AB的方程为y2(xt)，即(y02)x(x0t)y2x0ty00.圆心O到直线AB的距离d .又x2y4，t，故d.此时直线AB与圆x2y22相切.轨迹与轨迹方程10.(2015四川，20)如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，过点P(0，1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2.(1)求椭圆E的方程；(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)由已知，点(，1)在椭圆E上，因此解得a2，b，所以椭圆E方程为1.(2)当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，如果存在定点Q满足条件，则有1，即|QC|QD|，所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0)，当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，则M，N的坐标分别为(0，)，(0，)，由，有，解得y01，或y02，所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为(0，2)，下面证明：对任意直线l，均有，当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立，当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为ykx1，A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立得(2k21)x24kx20，其判别式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2，因此2k，易知，点B关于y轴对称的点B的坐标为(x2，y2)，又kQAk，kQBkk，所以kQAkQB，即Q，A，B三点共线，所以，故存在与P不同的定点Q(0，2)，使得恒成立.11.(2014广东，20)已知椭圆C：1(ab0)的一个焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.解(1)由题意知c，e，a3，b2a2c24，故椭圆C的标准方程为1.(2)设两切线为l1，l2，当l1x轴或l1x轴时，l2x轴或l2x轴，可知P(3，2)；当l1与x轴不垂直且不平行时，x03，设l1的斜率为k，则k0，则l2的斜率为，l1的方程为yy0k(xx0)，与1联立，整理得(9k24)x218(y0kx0)kx9(y0kx0)2360，直线与椭圆相切，0，得9(y0kx0)2k2(9k24)(y0kx0)240，36k24(y0kx0)240，(x9)k22x0y0ky40，k是方程(x9)x22x0y0xy40的一个根，同理是方程(x9)x22x0y0xy40的另一个根，k，得xy13，其中x03，点P的轨迹方程为x2y213(x3)，检验P(3，2)满足上式.综上：点P的轨迹方程为x2y213.12.(2014湖北，21)在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|x|1，即|x|1，化简整理得y22(|x|x).故点M的轨迹C的方程为y2(2)在点M的轨迹C中，记C1：y24x，C2：y0(x0).依题意，可设直线l的方程为y1k(x2).由方程组可得ky24y4(2k1)0.(a)当k0时，此时y1.把y1代入轨迹C的方程，得x.故此时直线l：y1与轨迹C恰好有一个公共点.(b)当k0时，方程的判别式为16(2k2k1).设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y1k(x2)，令y0，得x0.()若由解得k.即当k(，1)时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.()若或，由解得k，或k.即当k时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点.当k时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点.故当k时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点.()若由解得1k，或0k0).点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O).当x01时，切线MA的斜率为.(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O).解(1)因为抛物线C1：x24y上任意一点(x，y)的切线斜率为y，且切线AM的斜率为.切点A，切线AM：y(x1).因为点M(1，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是y0(2)，y0.由得p2.(2)设N(x，y)，A，B，x1x2，由N为线段AB中点知x，y.切线MA、MB的方程为y(xx1)，y(xx2).由得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为x0，y0.因为点M(x0，y0)在C2上，即x4y0，所以x1x2，由得x2y，x0.当x1x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为O，坐标满足x2y.因此AB中点N的轨迹方程为x2y.圆锥曲线的综合问题14.(2014福建，9)设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A.5 B.C.7 D.6解析设圆的圆心为C，则C(0，6)，半径为r，点C到椭圆上的点Q(cos ，sin )的距离|CQ|5，当且仅当sin 时取等号，所以|PQ|CQ|r56，即P，Q两点间的最大距离是6，故选D.答案D15.(2014湖北，9)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A. B. C.3 D.2解析假定焦点在x轴上，点P在第一象限，F1，F2分别在左、右焦点.设椭圆的方程为1(ab0)，双曲线的方程为1(m0，n0)，它们的离心率分别为e1，e2，则|PF1|am，|PF2|am，在PF1F2中，4c2(am)2(am)22(am)(am)cos a23m24c234，则，当且仅当a3m时，等号成立 ，故选A.答案A16.(2014四川，10)已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A.2 B.3 C. D.解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(不妨假设y10，y2b0)的离心率是，抛物线E：x22y的焦点F是C的一个顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.求证：点M在定直线上；直线l与y轴交于点G，记PFG的面积为S1，PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.(1)解由题意知，可得a24b2，因为抛物线E的焦点F，所以b，a1，所以椭圆C的方程为x24y21.(2)证明设P(m0)，由x22y，可得yx，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为ym(xm).即ymx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0).联立方程得(4m21)x24m3xm410.由0，得0m(或0m22).(*)且x1x2，因此x0，将其代入ymx，得y0，因为.所以直线OD方程为yx，联立方程得点M的纵坐标yM，所以点M在定直线y上.解由知直线l的方程为ymx，令x0，得y，所以G，又P，F，D，所以S1|GF|m，S2|PM|mx0|.所以.设t2m21，则2，当，即t2时，取到最大值，此时m，满足(*)式，所以P点坐标为.因此的最大值为，此时点P的坐标为.18.(2015山东，20)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.()求的值；()求ABQ面积的最大值.解(1)由题意知2a4，则a2，又，a2c2b2，可得b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)知椭圆E的方程为1.()设P(x0，y0)，由题意知Q(x0，y0).因为y1，又1，即1，所以2，即2.()设A(x1，y1)，B(x2，y2).将ykxm代入椭圆E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2，则有x1x2，x1x2.所以|x1x2|.因为直线ykxm与y轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB的面积S|m|x1x2|2.设t，将ykxm代入椭圆C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.由可知0t1，因此S22，故S2，当且仅当t1，即m214k2时取得最大值2.由()知，ABQ面积为3S，所在ABQ面积的最大值为6.19.(2015湖南，20)已知抛物线C1：x24y的焦点F也是椭圆C2：1(ab0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.(1)求C2的方程；(2)过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向.若|AC|BD|，求直线l的斜率；设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形.解(1)由C1：x24y知其焦点F的坐标为(0，1).因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2b21.又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x24y，由此易知C1与C2的公共