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1,随机事件及其概率,概率论与数理统计,第一章,2,序 言,?,概率论是研究什么的？,随机现象：不确定性与统计规律性,概率论研究和揭示随机现象的统计规律性的科学,3,第一章 概率论的基本概念,第一节 样本空间、随机事件,第二节 概率、古典概型,第三节 条件概率、全概率公式,第四节 独立性,在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.,“太阳不会从西边升起”,(1) 确定性现象,“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例,自然界所观察到的现象:,确定性现象,随机现象,4,在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事先又 不能预测是哪一种结果的现象称随机现象。,实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.,(2) 随机现象,结果有可能出现正面也可能出现反面.,5,结果有可能为:,1, 2, 3, 4, 5 或 6.,实例3 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数.,实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况.,结果: 弹落点会各不相同.,6,实例4 从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品.,其结果可能为:,正品 、次品.,实例5 过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯.,7,实例6 出生的婴儿可 能是男,也可能是女.,实例7 明天的天气可 能是晴 , 也可能是多云 或雨.,8,随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.,随机现象是通过随机试验来研究的.,问题 什么是随机试验?,如何来研究随机现象?,说明,9,一、随机试验,在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验。,（1）可以在相同的条件下重复地进行；,（2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果；,（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。,10,说明,随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语. 它包括各种各样的科学实验, 也包括对客观 事物进行的 “调查”、“观察”或 “测量” 等.,11,实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面、反面出现的情况”.,分析,(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;,(2) 试验的所有可能结果:,正面、反面;,(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,故为随机试验.,12,(1) 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,(2) 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数.,同理可知下列试验都为随机试验.,(3) 记录某公共汽车站 某时刻的等车人数.,13,样本空间与随机事件,随机事件（简称事件）： 在随机试验中，可能发生也可能不发生,而在大量试验中具有某种规律性的事件称为随机事件（或偶然事件）。通常用大写字母A、B,表示。,基本结果： （1）每次试验必然出现且只能出现其中一个基本结果。 （2）任何结果，都是由其中一些基本结果组成，每个基本结果称样本点。,14,随机事件中有两个极端情况： 每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件 。 每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件 。,基本事件是样本空间的单点集。 复合事件是由多个样本点组成的集合。 必然事件包含一切样本点，它就是样本空间。 不可能事件不含任何样本点，它就是空集 。,样本空间：随机试验的全体基本事件组成的集合称为样本空间。记为。,15,1事件的包含,事件 发生,事件 发生,设 、 为两个事件，如果 中的基本事件都是 的基本事件，则称 包含于 ，记为 ，或 包含 ，记为 .,事件之间的关系和运算,实例 A=“长度不合格” 必然导致 B=“产品不合格”,所以,事件之间的关系,（事件A发生必然导致事件B发生）,16,welcome,17,2.事件的相等,若两个事件 和 相互包含，则称这两个事件相等。记为 .,和 同时发生或者同时不发生,即A与B中的样本点完全相同,3.事件的和（并）,将事件 的基本事件和 的基本事件合在一起组成的一个新事件，称为 和 的和事件，记为 ，可读成 并 或 加 .有时也可记为 .,实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此 C=“产品不合格”是A=“长度不合格”与B=“直径不合格”的并，,即,A和B两个事件至少有一个发生 AB,19,4.事件的积（交）,将事件 的和 共有基本事件合在一起组成的一个新事件，称为 和 的和事件，记为 ，可读成 交 或 乘 . 有时也可记为 .,实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,设“产品合格” ,“长度合格”,“直径合格”,20,21,和事件与积事件的运算性质,22,5.事件的差,从事件 中将属于事件 的基本事件除去,剩下的基本事件组成的新事件称为 和 的差事件,记为 .,事件 发生而事件 不发生,实例 设 “长度合格但直径不合格” , “长度合格”, “直径合格”.,23,事件 、 不可能同时发生,6.事件的互斥（互不相容）,若事件 和 没有共同的基本事件，则称 和 互斥，也称互不相容，记为 .,注意 基本事件是两两互斥的 .,24,7.事件的逆（对立事件）,称必然事件 和事件 的差 为 的逆事件，记为 ，,如果 和 互逆，则也可称 和 互为对立事件,事件 不发生,实例 “骰子出现1点” “骰子不出现1点”,若事件A1,A2,An为两两互不相容 的事件，并且A1+A2+,+An=， 称A1,A2,An构成一个完备事件组。,25,26,事件的运算规律,由集合的运算律，,易给出事件间的运算律.,设,则有,(1),交换律,(2),结合律,(3),分配律,27,(4),自反律,(5),对偶律,注：,上述各运算律可推广到,件的情形.,有限个或可数个事,28,(6),吸收律,(7),替换律,29,例1.1 设A,B,C为3个事件，用A,B,C的运算式表示下列事件： （1） A发生而B与C都不发生： （2） A，B都发生而C不发生： （3） A，B，C至少有一个事件发生： （4） A，B，C至少有两个事件发生： （5） A，B，C恰好有两个事件发生： （6） A，B，C恰好有一个事件发生： （7） A，B至少有一个发生而C不发生： （8） A，B，C都不发生：,例1.2 从一批产品中每次取出一个产品进行检验（每次取出的产品不放回），事件Ai表示第i次取到合格品（i=1,2,3）。试用事件的运算符号表示下列事件：三次都取到了合格品；三次中至少一次取到合格品；三次中恰有两次取到合格品；三次中至多有一次取到合格品。,30,解： 三次中全取到合格品：A1A2A3; 三次中至少一次取到合格品: A1+A2+A3; 三次中恰有两次取到合格品: 三次中至多有一次取到合格品。,31,32,甲,乙,丙三人各射一次靶,记 “甲中靶”,“乙中靶”,“丙中靶”,则可用上述三,个事件的运算来分别表示下列各事件:,(1),(3),(4),(2),“甲未中靶”,“甲中靶而乙未中靶”,“三人中只有丙未中靶”,“三人中恰好有一人中靶”,(5),“三人中至少有一人中靶”,或,33,(10),(9),(8),“三人中至少有两人中靶”,“三人中均未中靶”,“三人中至多一人中靶”,(11),“三人中至多两人中靶”,或,(6),(7),“三人中至少有一人未中靶”,“三人中恰有两人中靶”,或,34,35,一、概率的统计意义,三、概率的几何定义,二、概率的古典定义,1.2 随机事件的概率,五、概率的性质,四、概率的公理化定义,36,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.,概率是随机事件 发生可能性大小 的度量,事件发生的可能性 越大，概率就 越大！,37,一、概率的统计意义,定义,显然,次数为,频率.,则称,为事件 发生的,试验 序号,1 2 3 4 5 6 7,2,3,1 5 1 2 4,22,25,21,25,24,18,27,251,249,256,247,251,262,258,0.4,0.6,0.2,1.0,0.2,0.4,0.8,0.44,0.50,0.42,0.48,0.36,0.54,0.502,0.498,0.512,0.494,0.524,0.516,0.50,0.502,实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率.,随n的增大, 频率 fn(A)呈现出稳定性,38,从上述数据可得,(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率fn(A)的随机波动幅度较大,但随 n 的增大, 频率fn(A) 呈现出稳定性.即当 n 逐渐增大时频率fn(A)总是在 0.5 附近摆动, 且逐渐稳定于 0.5.,(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的fn(A)不一定相同;,39,实验者,德 摩根,蒲 丰,40,重要结论,当实验次数 n 较小时,事件发生的频率波动幅度比较大,当 n 逐渐增大时,频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的概率,41,概率的统计定义,定义,在相同条件下进行n次重复试验,若事件A,发生的频率,随着试验次数n的增大而,稳定地在某个常数P附近摆动,则称P为事件A的概,率，记为P(A).,42,2、概率的古典定义,定义1.4： 设随机试验E满足如下条件: 试验的样本空间只有有限个样本点，即 (2) 每个样本点的发生是等可能的，即 则称试验为古典概型，也称为等可能概型。,古典概型 中事件A的概率计算公式为,43,一个袋子中装有 10 个大小相同的球,其中 3,个黑球,7 个白球,求:,(1),从袋子中任取两球,刚好一个白球一个黑球的,概率,解,以及两个球全是黑球的概率.,(1),10 个球中任取两球的取法有,种,其中,种取法,两个球均是黑球的取法有,种,好取到一个白球一个黑球”,为,为黑球”,则,事件“刚,事件“两个球均,44,例2 12名新生中有3名优秀生，将他们随机地平均分配到三个班中去，试求： （1） 每班各分配到一名优秀生的概率； （2） 3名优秀生分配到同一个班的概率.,解 12名新生平均分配到三个班的可能分法总数为,（1） 设A表示“每班各分配到一名优秀生”,45,（2） 设B表示“3名优秀生分到同一班”，故3名优秀生分到同一班共有3种分法，其他9名学生分法总数为 ，故由乘法原理，B包含样本总数为,46,例3 两封信随机地向标号为、的4个邮筒投寄，求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率。 解：设事件A表示第二个邮筒只投入1封信。两封信随机地投入4个邮筒共有42种等可能的投法，而组成事件A的不同投法只有C21C31种。有古典概型公式 P(A)= C21C31/ 42=3/8,47,3、几何概型,若试验具有如下特征:,48,例 两人相约在某天下午200300在预定地方见面，先到者要等候20分钟，过时则离去.如果每人在这指定的一小时内任一时刻到达是等可能的，求约会的两人能会到面的概率.,解 设x,y为两人到达预定地点的时刻，那么，两人到达时间的一切可能结果落在边长为60的正方形内，这个正方形就是样本空间,而两人能会面的充要条件是x-y20，即x-y20且y-x20.,49,例 两人约定上午9:0010:00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率。 解：设两人到达时刻分别为X、Y ，则 0X、Y 60，事件一人要等另一人半小时以上等价于 如图阴影部分所示,50,练习 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜到达的时刻是等可能的，如果甲船的停泊时间是1小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中的任何一艘船都不需要等候码头空出的概率。,51,解：,设甲、乙两艘轮船到达码头的时刻分别是x、y，由题意0 x 24， 0 y 24,x,y,0,2,1,24,24,设事件A表示两艘轮船中的任何一艘都不需要等候码头空出，等价以下2种可能情况,（1）若甲先到码头（即x y）,则 有y - x1; （2）若乙先到码头（即y x ）,则 有 x - y 2； 事件A包含的基本事件可以用图中阴影部分表示,52,在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础. 数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容.,4、概率的公理化定义,53,即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.,下面介绍用公理给出的概率定义.,1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.,柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单， 但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.,54,定义:,设E是随机试验,是它的样本空间,对于,E的每一件事件A 赋予一个实数,记为P(A),若P(A)满,足下列三个条件:,1.,非负性:,对每一个事件A,有,2.,完备性:,3.,完全可加性:,对任意可数个两两互不相容的,则称 P(A)为事件A的概率.,55,1,特别地，当A与B互不相容时，,56,特别地，,57,例1 设