单自度体系的自由振动.pps

1-1 单自由度系统的自由振动,1-1-1 问题的力学描述,1-1-2 系统的自由振动响应,1-1-3 系统的固有频率,主要问题,1-1-1 问题的力学描述,力学模型,系统振动问题就保守系统而言，其振动过程的本质就是质量 和弹簧间的能量交替转换的过程。,振动问题基本模型的构成元素,数学模型, 无阻尼系统,数学模型为二阶齐次常微分方程,！坐标原点 ！重力项, 粘滞阻尼系统,线性阻尼（粘性阻尼）,数学模型为二阶齐次常微分方程,n衰减系数（1/s）,c阻尼系数, 无阻尼系统的响应,上式为单自由度系统的固有振动解，是系统在无外激励存在 时所有可能发生的振动的集合 该集合中的任何运动都是具有等时性的简谐振动,1-1-2 系统的自由振动响应,给定初始条件,确定系统的自由振动响应,振动频率,振幅、初相位,线性系统振动频率仅取决于本身的物理参数 k、m， f 称为固有频率， n为固有圆频率,固有频率是系统固有属性中最重要的数字特征之一，它与 系统是否在振动以及如何进入振动状态的方式无关,振幅、初相位不是系统固有属性的数字特征，与系统曾经受到的 激励和系统运动开始时刻所处状态有关，即与运动的初始条件有关,振动特性的两类参数, 有阻尼系统的响应,引入无量纲量,相对阻尼系数,特征方程,特征根,粘滞阻尼系统的响应,1 互异负实根,1 共轭复根,=1 二重根, 1 强阻尼, =1 临界阻尼,临界阻尼系数,阻尼比, 1 弱阻尼,有阻尼的固有频率,阻尼的作用,振动频率,振动幅值,影响不显著,影响显著,对于小阻尼，计算系统频率可忽略阻尼,工程实际中，采用对数衰减率描述振幅衰减,1-1-3 系统的固有频率,工程实际问题中，有些复杂系统的运动可以由一个广义坐标描述，简化为单自由度的弹簧质量系统进行振动分析，特别是动态特性参数。为此，必须确定实际系统简化为振动系统模型的等效质量和等效刚度, 等效刚度与等效质量,对于保守系统，利用机械能守恒，可以建立自由振动微分方程，确定系统的固有频率。设系统任一瞬时的动能为T，势能为V，由机械能守恒定律有,能量法,系统动能,系统势能 (静平衡位置为零势位置),对于保守系统，应用能量守恒定律,两个特殊位置计算系统机械能,静平衡位置,最大偏移位置,对于简谐运动,举例,弹簧 刚度,转动 惯量,质量,选定广义坐标 x,k1,k2,m,I0,振动测试用位移计。确定系统的固有频率,系统的最大动能为,摇臂角位移,系统的最大势能为,！系统的等效质量Meq,！系统的等效刚度Keq,系统的固有频率,定义法,等效质量 使系统在选定的广义坐标上产生单位加速度，而需 要在此坐标方向上施加的力，称之为系统在该广义 坐标上的,等效刚度 使系统在选定的广义坐标上产生单位位移，而需要 在此坐标方向上施加的力，称之为系统在该广义坐 标上的,举例,弹簧的串联与并联,k1,k2,串联弹簧的等效刚度,Keq,k1,k2,并联弹簧的等效刚度,Keq,图示杠杆系统关于广义坐标 x 简化为弹簧质量系统的等效质量和等效刚度,Keq,Meq,能量法,系统对应广义坐标 x 的动能与势能,简化弹簧质量系统的等效质量和等效刚度,定义法,设系统在广义坐标 x 方向上产生单位加速度所需施加力为P,由力矩平衡方程,系统的等效质量,设系统在广义坐标 x 方向上产生单位位移所需施加力为P,由力矩平衡方程,系统的等效质量, 瑞利法（Rayleigh Method）, 振动系统为无质量弹簧与无弹性质量块组成的模型,m,k, 固有频率是系统动态特性的重要参数，与系统的刚 度和质量有关。工程问题中系统弹性和惯性的合理 简化直接关系到固有频率计算的准确性,？如果系统只有惯性元件的动能，而忽略弹性元件分布 质量所具有的动能，计算固有频率将是实际值的上限,？有些工程问题可以满足精度要求。但对于有些问题， 弹性元件的质量在系统总质量中占有相当比例，忽略 这部分质量对系统固有频率值的影响，将导致对系统 动态特性分析出现较大偏差,能否将弹性元件的分布质量处理为等效质量附加在惯性元件上，使系统仍然按单自由度系统进行分析，以得出更准确的固有频率值, 利用能量法计算系统固有频率, 将弹性元件分布质量等效为集中质量，而将 系统处理为单自由度系统, 对弹性元件振动过程中的振动状态给出假设, 系统动能计算中加入弹性元件分布质量所具 有的动能,设弹簧静平衡长为l。质量m的位移为 x(t)。弹簧上任一点 处的位移可写成 S ( , t ),假设弹簧在振动过程中的形状（即弹簧的变形形式）是仅与位置坐标 有关而与时间 t 无关的函数 f ( )。弹簧各点振动中的位移可表示成,f ( )称为形状函数。其物理意义：质量m产生单位位移时，弹簧上各点相应的位移,弹簧各点的速度为,设弹簧单位长度质量为，则弹簧动能为,系统的最大动能为,等效质量,系统的固有频率,举例,均质弹簧质量系统, 确定弹簧振动的形状函数,弹簧各点在振动中的位移函数 S( , t ) 满足边界条件,形状函数 f ( ) 则应满足条件,假设的弹簧形状函数 f ( ) 取为静变形形式,均质弹簧的等效质量,相对误差,0.5%,0