2020版高考数学第七章立体几何与空间向量第5节空间直角坐标系与空间向量讲义理（含解析）新人教A版.docx

第5节空间直角坐标系与空间向量考试要求1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式；3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.知 识 梳 理1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得ab.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，其中，a，b，c叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是0，若a，b，则称a与b互相垂直，记作ab.非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b.(2)空间向量数量积的运算律：结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4.空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)减法ab(a1b1，a2b2，a3b3)数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，b微点提醒1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：xy(其中xy1)，O为平面内任意一点.2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：xyz(其中xyz1)，O为空间任意一点.3.向量的数量积满足交换律、分配律，即abba，a(bc)abac成立，但不满足结合律，即(ab)ca(bc)不一定成立.4.若向量的投影向量是，则向量与向量垂直，当向量与向量起点相同时，终点间的距离最小.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面.()(2)对任意两个空间向量a，b，则ab0，则ab.()(3)若a，b，c是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量.()(4)若ab0，则a，b是钝角.()解析对于(2)，因为0与任何向量数量积为0，所以(2)不正确；对于(3)，若a，b，c中有一个是0，则a，b，c共面，所以(3)不正确；对于(4)，若a，b，则ab0，故(4)不正确.答案(1)(2)(3)(4)2.(选修21P97A2改编)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若a，b，1c，则下列向量中与相等的向量是()A.abc B.abcC.abc D.abc解析由题意，根据向量运算的几何运算法则，11()c(ba)abc.答案A3.(选修21P118A6改编)已知a(cos ，1，sin )，b(sin ，1，cos )，则向量ab与ab的夹角是_.解析ab(cos sin ，2，cos sin )，ab(cos sin ，0，sin cos )，(ab)(ab)(cos2 sin2 )(sin2 cos2 )0，(ab)(ab)，则ab与ab的夹角是.答案4.(2018济宁一中月考)在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()A.垂直 B.平行C.异面 D.相交但不垂直解析由题意得，(3，3，3)，(1，1，1)，3，与共线，又AB与CD没有公共点.ABCD.答案B5.(2019北京四中月考)已知a(2，3，1)，b(4，2，x)，且ab，则|b|_.解析ab2(4)321x0，x2，|b|2.答案26.(2019杭州二中月考)O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且t，若P，A，B，C四点共面，则实数t_.解析P，A，B，C四点共面，t1，t.答案考点一空间向量的线性运算【例1】 如图所示，在空间几何体ABCDA1B1C1D1中，各面为平行四边形，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2).解(1)因为P是C1D1的中点，所以aacacb.(2)因为M是AA1的中点，所以aabc.又ca，所以abc.规律方法(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.提醒空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.【训练1】 在三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是ABC的重心，用基向量，表示，.解().考点二共线定理、共面定理的应用【例2】 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD平面EFGH.证明(1)连接BG，则()，由共面向量定理知E，F，G，H四点共面.(2)因为()，因为E，H，B，D四点不共线，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.规律方法(1)证明空间三点P，A，B共线的方法(R)；对空间任一点O，xy(xy1).(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法xy；对空间任一点O，xyz(xyz1)；(或或).(3)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明.【训练2】 如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足k，k(0k1).(1)向量是否与向量，共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？解(1)因为k，k，所以kkk()k()kkk()(1k)k，所以由共面向量定理知向量与向量，共面.(2)当k0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，当0k1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知与，共面，所以MN平面ABB1A1.考点三空间向量的数量积及其应用多维探究角度1数量积的坐标运算【例31】 已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5).(1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积；(2)若向量a分别与，垂直，且|a|，求a的坐标.解(1)(2，1，3)，(1，3，2)，设，则cos ，60，所以以AB，AC为边的平行四边形的面积SABACsin 7.(2)设a的坐标为(x，y，z)，则a(x，y，z)(2，1，3)0，a(x，y，z)(1，3，2)0，x2y2z23，解得a(1，1，1)，或a(1，1，1).角度2数量积的线性运算典例迁移【例32】 (经典母题)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)；(2)；解设a，b，c.则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，(1)ca，a，bc，(a)a2ac，(2)()()()()(ca).【迁移探究1】 本例的条件不变，求证：EGAB.证明由本例知()(bca)，所以(abaca2)0.故，即EGAB.【迁移探究2】 本例的条件不变，求EG的长.解由本例知abc，|2a2b2c2abbcca，则|，即EG的长为.【迁移探究3】 本例的条件不变，求异面直线AG和CE所成角的余弦值.解由本例知bc，ba，cos，由于异面直线所成角的范围是，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.规律方法1.利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.2.空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题.(1)a0，b0，abab0；(2)|a|；(3)cosa，b.【训练3】 如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1BD；(3)求BD1与AC夹角的余弦值.(1)解记a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca.|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，|1|，即AC1的长为.(2)证明abc，ba，(abc)(ba)ab|b|2bc|a|2abacbcac|b|c|cos 60|a|c|cos 600.，AC1BD.(3)解bca，ab，|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1.cos，.AC与BD1夹角的余弦值为.思维升华1.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键.2.向量的运算有线性运算和数量积运算两大类，运算方法有两种，一种是建立空间坐标系，用坐标表示向量，向量运算转化为坐标运算，另一种是选择一组基向量，用基向量表示其它向量，向量运算转化为基向量的运算.易错防范1.在利用xy证明MN平面ABC时，必须说明M点或N点不在面ABC内(因为式只表示与，共面).2.求异面直线所成角，一般可转化为两向量夹角，但要注意两种角范围不同，注意两者关系，合理转化.3.找两个向量的夹角，应使两个向量具有同一起点，不要误找成它的补角.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019烟台模拟)已知向量a(3，2，5)，b(1，x，1)，则ab2，则x的值为()A.3 B.4 C.5 D.6解析因为a(3，2，5)，b(1，x，1)，所以ab32x52，解得x5.答案C2.(2019黄冈模拟)已知向量a(2m1，3，m1)，b(2，m，m)，且ab，则实数m的值等于()A. B.2 C.0 D.或2解析ab，解得m2.答案B3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()A.a2 B.a2 C.a2 D.a2解析如图，设a，b，c，则|a|b|c|a，且a，b，c三向量两两夹角为60.(ab)，c，(ab)c(acbc)(a2cos 60a2cos 60)a2.答案C4.如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，则OA与BC所成角的余弦值为()A. B. C. D.解析因为，所以|cos，|cos，84cos 13586cos 1201624.所以cos，.即OA与BC所成角的余弦值为.答案A5.若a，b，c是空间的一个基底，且向量pxaybzc，则(x，y，z)叫向量p在基底a，b，c下的坐标.已知a，b，c是空间的一个基底，ab，ab，c是空间的另一个基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底ab，ab，c下的坐标是()A.(4，0，3) B.(3，1，3)C.(1，2，3) D.(2，1，3)解析设p在基底ab，ab，c下的坐标为x，y，z.则px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc，因为p在a，b，c下的坐标为(4，2，3)，p4a2b3c，由得即p在ab，ab，c下的坐标为(3，1，3).答案B二、填空题6.如图所示，在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用a，b，c表示).解析aa()aa()abc.答案abc7.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为_.解析如图建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2，则易得(2，2，1)，(2，2，1)，cos，sin，.答案8.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为_.解析|2()22222()1222122(12cos 120021cos 120)2，|，EF的长为.答案三、解答题9.已知空间中三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c.(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.解(1)c，(3，0，4)(1，1，2)(2，1，2)，cmm(2，1，2)(2m，m，2m)，|c|3|m|3，m1.c(2，1，2)或(2，1，2).(2)a(1，1，0)，b(1，0，2)，ab(1，1，0)(1，0，2)1，又|a|，|b|，cosa，b，即向量a与向量b的夹角的余弦值为.10.如图，在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBFx，其中0xa，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1FC1E；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：.(1)解E(a，x，0)，F(ax，a，0).(2)证明A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，(x，a，a)，(a，xa，a)，axa(xa)a20，A1FC1E.(3)证明A1，E，F，C1四点共面，共面.选与为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(1，2)，使12，即(x，a，a)1(a，a，0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，解得1，21.于是.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.有下列命题：若pxayb，则p与a，b共面；若p与a，b共面，则pxayb；若xy，则P，M，A，B共面；若P，M，A，B共面，则xy.其中真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析正确；中若a，b共线，p与a不共线，则pxayb就不成立；正确；中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则xy不正确.答案B12.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE.则M点的坐标为()A.(1，1，1) B.C. D.解析设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM平面BDE，且AM平面ACEF，平面ACEF平面BDEOE，AMEO，又O是正方形ABCD对角线交点，M为线段EF的中点.在空间坐标系中，E(0，0，1)，F(，1).由中点坐标公式，知点M的坐标.答案C13.(2019郑州调研)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量(1，2，3)，(2，1，2)，(1，1，2)，且点Q在