2019届高考数学专题7解析几何能力提升练十八.7.2圆锥曲线方程性质及与弦有关的问题.docx

专题能力提升练 十八 圆锥曲线方程性质及与弦有关的问题(45分钟80分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知双曲线C:x24-y23=-1,则其离心率为()A.B.C.213D.142【解析】选C.双曲线C:x24-=-1化为标准方程得y23-x24=1,所以双曲线C的焦点在y轴上,a=,b=2,c=,其离心率e=ca=73=.2.点P为直线y=x上任一点,F1(-5,0),F2(5,0),则下列结论正确的是()A.|PF1|-|PF2|8B.|PF1|-|PF2|=8 C.|PF1|-|PF2|8 D.以上都有可能【解析】选C.若|PF1|-|PF2|=8,则点P的轨迹是以F1(-5,0),F2(5,0)为焦点的双曲线,其方程为x216-y29=1.因为直线y=34x是它的渐近线,整条直线在双曲线的外面,因此有|PF1|-|PF2|0,b0)的一个焦点,点F到C的一条渐近线的距离为2a,则双曲线C的离心率为()A.2B.C.D.2【解析】选C.由题意不妨设F(c,0),渐近线方程为y=bax,根据点到直线的距离可得d=|bc|a2+b2=2a,又a2+b2=c2,则b=2a所以c=a,即离心率e=ca=.4.已知椭圆:x2a2+y2b2=1(a,b0)和圆O:x2+y2=b2,过椭圆上一点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B.若椭圆上存在点P,使得=0,则椭圆离心率e的取值范围是()A.12,1B.C.D.【解析】选C.由=0,可得APB=90,利用圆的性质,可得|OP|=2b,所以|OP|2=2b2a2,所以a22c2所以e212,因为0e1所以e0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1,F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则双曲线的方程为()A.x216-y29=1B.x23-y24=1C.x24-y23=1D.x29-y216=1【解析】选D.因为点(3,4)在以F1F2为直径的圆上,所以c=5,可得a2+b2=25,又点(3,4)在双曲线的渐近线y=bax上,所以ba=43,由,得a=3,b=4,可得双曲线的标准方程为x29-y216=1.6.已知抛物线y2=2px(p0)与圆F:x2+y2-px=0,过点F作直线l,自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D,则下列关于|AB|CD|的值的说法中,正确的是()A.等于p24B.等于4p2C.最小值为p2D.最大值为p2【解析】选A.|AB|CD|=|AF|-p2=xA+p2-p2xD+p2-p2=xAxD.由k2x2-(2p+pk2)x+k2p24=0,所以xAxD=p24.二、填空题(每小题5分,共10分)7.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为_.【解析】设双曲线方程:x2a2-y2b2=1(a0,b0),由题意可知,将x=c代入,解得:y=b2a,则|AB|=,由|AB|=22a,则b2=2a2,所以双曲线离心率e=ca=3,答案:8.已知直线l:y=k(x+1)-与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=4,则|CD|=_.【解析】由圆的方程x2+y2=12可知:圆心为(0,0),半径r=2,因为弦长为|AB|=4=2r,所以可以得知直线l经过圆心O.所以0=k(0+1)-,解得k=,所以直线AB的方程为:y=x,设直线AB的倾斜角为,则tan =,所以=60,所以在RtAOC中:|CO|=4,那么:|CD|=2|OC|=8.答案:8三、解答题(每小题10分,共40分)9.已知圆C过点(0,1),(,4),且圆心C在y轴上.(1)求圆C的标准方程.(2)若过原点的直线l与圆C无交点,求直线l斜率的取值范围.【解析】(1)因为圆心C在y轴上,所以可设C的标准方程为x2+(y-b)2=r2,因为C过点(0,1)和点(,4),所以,解得b=3,纬=2所以C的标准方程为x2+(y-3)2=4.(2)设过原点的直线l的方程为y=kx,即kx-y=0,因为l与圆C无交点,所以圆心(0,3)到直线l的距离大于,所以2,解得-k0)的焦点为F,点Ap4,a(a0)在C上,|AF|=3.(1)求C的方程.(2)若直线AF与C交于另一点B,求|AF|BF|的值.【解析】(1)由抛物线的定义,得|AF|=+=3,解得p=4,所以C的方程为y2=8x.(2)由(1)得A(1,a),因为A(1,a)(a0)在C上,所以a2=8,解得a=2或a=-2(舍去),故直线AF的方程为y=-2(x-2),由y=-22(x-2),y2=8x, 消去y,得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,由抛物线的定义,得|BF|=4+2=6,所以|AF|BF|=12.11.(2018宿州一模)如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为A,B,且|AB|=|BF|.(1)求椭圆C的离心率.(2)若斜率为2的直线l过点(0,2),且l交椭圆C于P,Q两点,OPOQ,求直线l的方程及椭圆C的方程.【解析】(1)由已知|AB|=|BF|,即=a,4a2+4b2=5a2,4a2+4(a2-c2)=5a2,所以e=ca=.(2)由(1)知a2=4b2,所以椭圆C:x24b2+=1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l的方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.由2x-y+2=0,x24b2+y2b2=1消去y,得x2+4(2x+2)2-4b2=0,即17x2+32x+16-4b2=0,=322+1617(b2-4)0,解得b.x1+x2=-3217,x1x2=16-4b217.因为OPOQ,所以=0,即x1x2+y1y2=0,x1x2+(2x1+2)(2x2+2)=0,5x1x2+4(x1+x2)+4=0.从而5(16-4b2)17-+4=0,解得b=1,满足b.所以椭圆C的方程为x24+y2=1.12.(2018丰台一模)已知点P1,32在椭圆C:+y2b2=1(ab0)上,F(1,0)是椭圆的一个焦点.(1)求椭圆C的方程.(2)椭圆C上不与P点重合的两点D, E关于原点O对称,直线PD,PE分别交y轴于M,N两点,求证:以MN为直径的圆被直线y=32截得的弦长是定值.【解析】(1)依题意,椭圆的另一个焦点为F(-1,0),且c=1.因为2a=22+322+02+322=4.所以a=2,b=a2-c2=,所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)证明:由题意可知D,E两点与点P不重合.因为D,E两点关于原点对称,所以设D(m,n),E(-m,-n),(m1).设以MN为直径的圆与直线y=32交于G,H-t,32(t0)两点,所以GMGN.直线PD:y-32=n-32m-1(x-1).当x=0时,y=-n-32m-1+32,所以M0,-n-32m-1+32.直线PE:y-32=(x-1).当x=0时,y=-+32,所以N0,-+32.所以=-t,-n-32m-1,=-t,-,因为GMGN,所以=0,所以=t2+4n2-94(m2-1)=0.因为m24+n23=1,即3m2+4n2=12,4n2-9=3-3m2,所以t2-34=0,所以t=.所以G,H-32,32,所以|GH|=.所以以MN为直径的圆被直线y=32截得的弦长是定值.(建议用时:50分钟)1.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1的离心率为2,则其两条渐近线的夹角为()A.B. C.D.【解析】选B.根据题意,双曲线C:-y2b2=1的离心率为2,则有e=ca=2,即c=2a,则b=c2-a2=a,即ba=,又双曲线的方程x2a2-y2b2=1,其渐近线方程为y=bax,则该双曲线的渐近线方程为y=x,则其两条渐近线的夹角为.2.(2018遂宁一模)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线被圆x2+y2-4x=0所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为()A.2B.C.D.【解析】选A.由题意知,双曲线渐近线方程为y=bax,因为渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则圆心(2,0)到y=bax的距离为2bb2+a2=2bc,利用勾股定理得12+=r2=4,所以4b2=3c2,因为b2=c2-a2,所以4(c2-a2)=3c2,解得e=ca=2.3.设点F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y22=1(a0)的左、右焦点,过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A,B两点.若ABF2的面积为2,则该双曲线的渐近线方程为()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x【解析】选D.设F1(-c,0),A(-c,y0),则c2a2-y022=1,则y02=4a2,又=26,所以122c=2,所以ca=,所以ba=c2a2-1=,故该双曲线的渐近线方程为y=x.4.(2018太原一模)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足AFB=60.设线段AB的中点M在l上的投影为N,则()A.|AB|2|MN|B.2|AB|3|MN|C.|AB|3|MN|D.|AB|MN|【解析】选D.由抛物线定义得|AF|+|BF|=2|MN|,在三角形AFB中,|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF|BF|cos 60=|AF|2+|BF|2-|AF|BF|=(|AF|+|BF|)2-3|AF|BF|(|AF|+|BF|)2-3=(|AF|+|BF|)24=|MN|2,所以|AB|MN|.5.已知抛物线C:x2=2py(p0),圆O:x2+y2=1.(1)若抛物线C的焦点F在圆上,且A为 C和圆 O的一个交点,求|AF|.(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M,N,求|MN|的最小值及相应p的值.【解析】(1)由题意得F(1,0),从而有C:x2=4y.解方程组得yA=-2,所以|AF|=-1.(2)设M(x0,y0),则切线l:y=x0p(x-x0)+y0,整理得x0x-py-py0=0.由|ON|=1得|py0|=x02+p2=2py0+p2,所以p=2y0y02-1且y02-10,所以|MN|2=|OM|2-1=x02+y02-1=2py0+y02-1=+y02-1=4+(y02-1)8,当且仅当y0=时等号成立,所以|MN|的最小值为2,此时p=.6.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,右焦点F2到直线x+y+5=0的距离为3.(1)求椭圆C的方程.(2)若直线l经过椭圆C的右焦点F2,且与抛物线y2=4x交于A1,A2两点,与椭圆C交于B1,B2两点,当以B1B2为直径的圆经过椭圆C的左焦点F1时,求以A1A2为直径的圆的标准方程.【解析】(1)由题意可得e=ca=12,右焦点F2(c,0)到直线x+y+5=0的距离为3,可得=3,解得c=1,所以a=2,b=a2-c2=,所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)当直线l与x轴垂直时,B11,32,B2,又F1(-1,0),此时0,所以以B1B2为直径的圆不经过F1,不满足条件;当直线l不与x轴垂直时,设l:y=k(x-1),由即(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,因为焦点在椭圆内部,所以恒有两个交点.设B1(x1,y1),B2(x2,y2),则x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2,因为以B1B2为直径的圆经过F1,所以=0,又F1(-1,0),所以(-1-x1)(