2019届高考数学专题二导数第3讲函数的极值与最值学案.docx

第3讲函数的极值与最值 1. 利用导数考查函数的极值和最值，是高考中的热点和难点问题其主要原理是利用导数工具就函数的变化趋势和取特殊点作分析注意数形结合、分类讨论思想在其中的应用2. 涉及函数的极值和最值问题的主要题型有：一是利用导数求函数的极值和最值；二是借助极值和最值求参数的取值范围；三是涉及函数的极值与最值的综合函数问题1. 函数y2x32x2在区间1，2上的最大值是_答案：8解析：y6x24x，令y0，得x0或x.f(1)4，f(0)0，f，f(2)8，函数的最大值为8.2. (2018南通一中)若函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a_答案：5解析：f(x)3x22ax3，由题意知f(3)0，即3(3)22a(3)30，解得a5.3. 若函数f(x)2x2ln x在其定义域的一个子区间(k1，k1)内存在最小值，则实数k的取值范围是_答案：解析：因为f(x)的定义域为(0，)，又f(x)4x，由f(x)0，得x.由题意得解得1k.4. (2018汇龙中学)若函数f(x)的值域为0，)，则实数a的取值范围是_答案：2，3解析：当x0时，0f(x)12x0时，f(x)x33xa，f(x)3x23，当x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增，所以当x1时，函数f(x)取得最小值为f(1)13aa2.由题意得0a21，解得2a3.,一) 利用导数研究函数的极值问题,1) (2018南通中学练习)已知函数f(x)x3x22ax.(1) 若曲线yf(x)在点P(2，f(2)处的切线的斜率为6，求实数a；(2) 若a1，求f(x)的极值解：(1) 因为f(x)x2x2a，曲线 yf(x) 在点 P(2，f(2) 处的切线的斜率kf(2)2a26，所以a2. (2) 当a1 时，f(x)x3x22x，所以f(x)x2x2(x1)(x2)x(，1)1(1，2)2(2，)f(x)00f(x)所以f(x)的极大值为，极小值为.点评：求函数f(x)极值的步骤： 确定函数的定义域； 求导数f(x)； 解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根； 列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值. (2018启东一中月考)已知函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数)(1) 若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(2) 求函数f(x)的极值解：(1) 由f(x)x1，得f(x)1.又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，得f(1)0，即10，解得ae.(2) f(x)1， 当a0时，f(x)0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值 当a0时，令f(x)0，得exa，即xln a当x(，ln a)时，f(x)0；当x(ln a，)时，f(x)0，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故f(x)在xln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值,二) 利用导数研究函数的最值问题,2) (2018南昌模拟)已知函数f(x)(2x4)exa(x2)2(x0，aR，e是自然对数的底数)当a(0，)时，求证：函数f(x)有最小值，并求函数f(x)的最小值的取值范围解：因为f(x)(2x2)ex2ax4a，f(x)2xex2a0，所以yf(x)是(0，)上的增函数又f(0)4a20，所以存在t(0，1)，使得f(t)0，当x(0，t)时，f(x)0，所以f(x)minf(t)(2t4)eta(t2)2.由f(t)0a，则f(x)minf(t)(2t4)et(t1)(t2)etet(t2t2)记h(t)et(t2t2)，则h(t)et(t2t1)0，t(0，1)，所以当t(0，1)时，h(1)h(t)h(0)，即f(x)的最小值的取值范围是(2e，2)综上，函数f(x)有最小值，最小值的取值范围是(2e，2)点评：求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤： 求函数在(a，b)内的极值； 求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)； 将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 已知aR，函数f(x)ln x1.(1) 当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2) 求f(x)在区间(0，e上的最小值解：(1) 当a1时，f(x)ln x1，x(0，)，所以f(x)，x(0，)因此f(2)，即曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为.又f(2)ln 2，所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(ln 2)(x2)，即x4y4ln 240.(2) 因为f(x)ln x1，所以f(x)，x(0，)令f(x)0，得xa. 若a0，则f(x)0，f(x)在区间(0，e上单调递增，此时函数f(x)无最小值 若0ae，当x(0，a)时，f(x)0，函数f(x)在区间(0，a)上单调递减，当x(a，e时，f(x)0，函数f(x)在区间(a，e上单调递增，所以当xa时，函数f(x)取得最小值ln a. 若ae，则当x(0，e时，f(x)0，函数f(x)在区间(0，e上单调递减，所以当xe时，函数f(x)取得最小值.综上可知，当a0时，函数f(x)在区间(0，e上无最小值；当0ae时，函数f(x)在区间(0，e上的最小值为ln a；当ae时，函数f(x)在区间(0，e上的最小值为.,三) 由最值或极值求参数的值或范围,3) (2017扬州期中)已知函数f(x)x.(1) 若函数f(x)的图象在(1，f(1)处的切线经过点(0，1)，求a的值；(2) 是否存在负整数a，使函数f(x)的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由解：(1) 因为f(x)，所以f(1)1，f(1)ae1，所以函数f(x)在(1，f(1)处的切线方程为y(ae1)x1.又直线过点(0，1)，所以1(ae1)1，解得a.(2) 若a0恒成立，函数在(，0)上无极值；当x(0，1)时，f(x)0恒成立，函数在(0，1)上无极值；(解法1)在(1，)上，若f(x)在x0处取得符合条件的极大值f(x0)，则即由得aex0，代入得x00，结合可解得x02，再由f(x0)x00得a.设h(x)，则h(x)，当x2时，h(x)0，即h(x)是增函数，所以ah(x0)h(2).又a0，故当极大值为正数时，a(，0)，从而不存在负整数a满足条件(解法2)在x(1，)时，令H(x)aex(x1)x2，则H(x)(aex2)x.因为x(1，)，所以ex(e，)因为a为负整数，所以a1，所以aexaee，所以aex20，所以H(x)0，H(2)ae24e240，所以x0(1，2)，使得H(x0)0，且1x0，即f(x)0；xx0时，H(x)0，即f(x)0；所以f(x)在x0处取得极大值为f(x0)x0(*)又H(x0)aex0(x01)x0，所以，代入(*)得f(x0)x00，所以不存在负整数a满足条件(2017苏州考前模拟)设函数f(x)xaln x(aR，e为自然对数的底数)(1) 当ae1时，求f(x)的极值；(2) 设函数f(x)存在两个极值点x1，x2(x10)，f(x)，当f(x)0时，1xe，当f(x)0时，0xe，故f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，所以当x1时，f(x)取得极小值为f(1)e1，当xe时，f(x)取得极大值为f(e)2.(2) 解：f(x)，因为f(x)存在两个极值点x1，x2(x12，故实数a的取值范围是(2，) 证明：由知，当a2时，f(x)存在两个极值点x1，x2(x120，所以ln x2ln x1(x2x1)，ln x2ln(x2)，可得(x2)2ln x21()考察函数g(x)(x)2ln x1(x0)，g(x)，记h(x)x22(e1)xe，h(x)在e1，)上单调递增，且h(e)e(3e)0，h(e1)e23e10，因此存在x0(e1，e)使h(x0)0，则xx0时，g(x)0，即g(x)在x0，)上单调递增，由于g(e)0，因此要使()成立，则x2e.故x1x2x2(x2e)，令m(x)x(xe)，m(x)0，故m(x)在e，)上单调递增，则m(x)m(e)1e，所以x1x21e.,四) 函数的极值和最值的综合问题,4) 已知常数a0，f(x)aln x2x.(1) 当a4时，求f(x)的极值；(2) 当f(x)的最小值不小于a时，求实数a的取值范围解：(1) 由已知得f(x)的定义域为(0，)，f(x)2.当a4时，f(x).所以当0x2时，f(x)0，即f(x)单调递减；当x2时，f(x)0，即f(x)单调递增所以f(x)只有极小值，且在x2时，f(x)取得极小值f(2)44ln 2.所以当a4时，f(x)只有极小值44ln 2，无极大值(2) 因为f(x)，所以当a0，x(0，)时，f(x)0，即f(x)在(0，)上单调递增，没有最小值；当a0时，由f(x)0得x，所以f(x)在(，)上单调递增；由f(x)0得x，所以f(x)在(0，)上单调递减所以当a0时，f(x)的最小值为f()aln()a.根据题意得f()aln()aa，即aln(a)ln 20.因为a0，所以ln(a)ln 20，解得a2，所以实数a的取值范围是2，0)(2018南通、泰州一调)已知函数g(x)x3ax2bx(a，bR)有极值，且函数f(x)(xa)ex的极值点是g(x)的极值点，其中e是自然对数的底数(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1) 求b关于a的函数关系式；(2) 当a0时，若函数F(x)f(x)g(x)的最小值为M(a)，求证：M(a)0，所以3(a1)22a(a1)b0，化简得ba24a3.由4a212b4a212(a1)(a3)0，得a.所以ba24a3.(2) 证明：因为F(x)f(x)g(x)(xa)ex(x3ax2bx)，所以F(x)f(x)g(x)(xa1)ex3x22ax(a1)(a3)(xa1)ex(xa1)(3xa3)(xa1)(ex3xa3)记h(x)ex3xa3，则h(x)ex3，令h(x)0，解得xln 3.列表如下：x(，ln 3)ln 3(ln 3，)h(x)0h(x)极小值所以xln 3时，h(x)取得极小值，也是最小值，此时，h(ln 3)eln33ln 3a363ln 3a3(2ln 3)a3lnaa0.所以h(x)ex3xa3h(ln 3)0.令F(x)0，解得xa1.列表如下：x(，a1)a1(a1，)F(x)0F(x)极小值所以xa1时，F(x)取得极小值，也是最小值所以M(a)F(a1)(a1a)ea1(a1)3a(a1)2b(a1)ea1(a1)2(a2)令ta1，则t1.记m(t)ett2(1t)ett3t2，t1，则m(t)et3t22t，t1.因为e1et5，所以m(t)0，所以m(t)单调递增所以m(t)e122，即M(a).1. (2016四川卷)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a_答案：2解析：f(x)3x212，所以x0，2x2时，f(x)2时，f(x)0，所以x2是f(x)的极小值点故a2.2. (2018江苏卷)若函数f(x)2x3ax21(aR)在(0，)内有且只有一个零点，则f(x)在1，1上的最大值与最小值的和为_答案：3解析：f(x)2x3ax210a2x.令g(x)2x，g(x)20x1g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增； 有唯一零点， ag(1)213f(x)2x33x21.求导可知在1，1上，f(x)minf(1)4，f(x)maxf(0)1， f(x)minf(x)max3.3. (2017全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值是_答案：1解析：f(x)x2(a2)xa1ex1.因为x2是函数f(x)的极值点，所以f(2)0，所以42(a2)a10，解得a1，此时f(x)(x2x2)ex1.由f(x)0，解得x2或x1，且当2x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0，故x1为f(x)的极小值点，所以f(x)的极小值为f(1)1.4. (2018北京卷)设函数f(x)ax2(3a1)x3a2ex.(1) 若曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为0，求a；(2) 若f(x)在x1处取得极小值，求a的取值范围解：(1) 因为f(x)ax2(3a1)x3a2)ex，所以f(x)ax2(a1)x1ex，f(2)(2a1)e2，由题设知f(2)0，即(2a1)e20，解得a.(2) 由(1)得f(x)ax2(a1)x1ex(ax1)(x1)ex. 若a0，当x 时，f(x)0；当x (1，)时，f(x)0，此时x1为f(x)的极大值点； 若a1，则当x 时，f(x)0.所以f(x)在x1处取得极小值若0a1，则当x(，1)时，f(x)0.所以x1不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是(1，)5. (2017江苏卷)已知函数f(x)x3ax2bx1(a0，bR)有极值，且导函数f(x)的极值点是f(x)的零点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1) 求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2) 若f(x)，f(x)这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围解：(1) 由f(x)x3ax2bx1，得f(x)3x22axb3(x)2b.令g(x)3x22axb，g(x)6x2a，令g(x)0，解得x.当x时，g(x)0，g(x)f(x)单调递增，当x时，g(x)0，故b.因为f(x)有极值，故f(x)0有实根，从而b(27a3)0，即a3.当a3时，f(x)0(x1)，故f(x)在R上是增函数，f(x)没有极值，当a3时，f(x)0有两个相异的实根x1，x2.列表如下：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值故f(x)的极值点是x1，x2.从而a3.因此b，定义域为(3，)(2) 由(1)知，f(x)的极值点是x1，x2，且x1x2a，xx.从而f(x1)f(x2)xaxbx11xaxbx21(3x2ax1b)(3x2ax2b)a(xx)b(x1x2)220.记f(x)，f(x)所有极值之和为h(a)，因为f(x)的极值为f()ba2，所以h(a)a2，a3.因为h(a)a0，于是h(a)在(3，)上单调递减因为h(6)，于是h(a)h(6)，故a6.因此a的取值范围是(3，6(本题模拟高考评分标准，满分16分)已知函数f(x)ax3bx2cxba(a0，b，cR)(1) 设c0. 若ab，f(x)在xx0处的切线过点(1，