平面问题的极坐标解答2011-pa.ppt

绪 论 极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移 圆环或圆筒受均布压力 圆孔的孔口应力集中 半平面体在边界上受集中力 半平面体在边界上受分布力,主要内容,4.4 应力分量的坐标变换,由于应力分量不但具有方向性，而且与作用面有关，为了建立应力分量的坐标变换式，应取出包含两种坐标面的微分体，然后考虑微分体的静力平衡条件，可得出该变换式。,由一点的应力状态分析可知，由已知的直角坐标中的应力分量求极坐标中的应力分量，或者由已知的极坐标中的应力分量求直角坐标中的应力分量，就需要建立两个坐标系中应力分量的关系式，即应力分量的的坐标变换式。,应力分量的坐标变换,如图，当取厚度为1，包含x面、y面和径向坐标面的微小三角板A时，由微分体沿径向和环向两个方向的静力平衡条件，可得如下变换式：,同理，当取厚度为1，包含x面、y面和环向坐标面的微小三角板B时，由微分体的沿径向和环向两个方向的静力平衡条件，可得如下变换式：,应力分量的坐标变换,综上，可得应力分量由直角坐标向极坐标的变换式为：,（4-7）,同理，如果考虑x和y方向的静力平衡条件，可导出应力分量由极坐标向直角坐标的的转换式：,（4-8）,例 题,习题4-8：试考察应力函数 能解决如图所示弹性体的何种受力问题,例 题,按逆解法进行求解：通过求面力分析受力情况,（1）校核相容方程：应力函数代入式相容方程有,满足相容方程。,例 题,（2）求应力分量：将上式代入（4-9），得：,例 题,3、由应力分量反推出边界上的面力：,在边界 f=30上：,在边界 f=-30 上：,例 题,因此该应力函数能解的受力问题为（如图所示）：,在边界 r=a 上：,课后作业,作业1：习题410,绪 论 极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移 圆环或圆筒受均布压力 圆孔的孔口应力集中 半平面体在边界上受集中力 半平面体在边界上受分布力,主要内容,4.5 轴对称应力和相应的位移,轴对称：物体的形状或物理量是绕一轴对称的，凡通过对称轴的任何面均是对称面。,由于对称，在对称面两边对应点的物理量必须满足如下两个条件 （1）数值必须相等：在极座标下，任一环向线上的各点的应力分量的数值相同。因此，它只能是径向坐标 r 的函数，不随环向坐标 f 改变，即与 f 无关。由此可见，凡是轴对称问题，总是使自变量减少一维。 （2）方向必须对称，即方向对称于z轴，方向不对称的物理量不能存在。,轴对称应力和相应的位移,（1）假设应力函数：应力是轴对称的，从方向的对称性可得 trj= tjr=0，由数值的对称性可知应力函数只是径向坐标的函数：,代入极坐标系中的应力公式（4-5）,（4-9）,化简得：,按逆解法进行求解,轴对称应力和相应的位移,（2）由相容方程求应力函数的一般形式：上述应力函数必须满足相容方程，代入式（4-6）得：,其中A、B、C和D为四个待定常数。,方程为一个四阶常微分方程，其全部通解只有4项。上式积分4次，即得到轴对称应力状态下应力函数的通解：,（4-10）,（3）求应力分量：将公式（4-10）代入（4-9），得轴对称应力的应力分量为：,轴对称应力和相应的位移,对于平面应力情况，将上述应力代入物理方程（4-3），可求得相应的应变分量（见教材），它们也是轴对称。,将上面所求的应变分量代入几何方程（4-2），通过积分，可得到轴对称应力状态下的位移分量如公式（4-12），位移分量中包含了非轴对称的项。（详细过程见教材，并参考高等数学的有关常微分方程解的内容）,（4-11）,以上是轴对称应力状态下，应力分量和位移分量的一般性解答（通解），适用于任何轴对称应力问题。,轴对称应力和相应的位移,应力解（4-11）和位移解（4-12）中的待定常数，可通过应力边界条件和位移边界条件（多连体中还须考虑位移单值条件）来确定。,将平面应力问题解答中的 E 和 m 作如下替换，可得平面应变问题的解答。,轴对称应力和相应的位移,一般而言，产生轴对称应力状态的条件是：弹性体的形状、体力和面力必须是轴对称的。由此得出的应力分量和应变分量是轴对称的。 轴对称应力状态的位移解不一定是轴对称的。但如果位移边界条件为轴对称，则位移也是轴对称的。,补充知识,一、n阶齐次常系数线性常微分方程的通解,其解可以用特征根法求解：即令y=elx代入上式，得到下列特征方程的解，从而得到原方程的n个解,补充知识,二、n阶欧拉方程的通解,上述方程可以通过变量代换 x=et 或 t=lnx，化为函数y对新自变量 t 的常系数线性常微分方程，然后用特征根法求解。,绪 论 极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移 圆环或圆筒受均布压力 圆孔的孔口应力集中 半平面体在边界上受集中力 半平面体在边界上受分布力,主要内容,4.6 圆环或圆筒受均布压力,圆环和圆筒是工程中常见的重要构件之一，如高压管筒、炮筒等。圆环（平面应力问题）和圆筒（平面应变问题）受到内外均布压力作用。显然，它属于轴对称应力问题，完全可以应用上节中轴对称应力问题的通解：,(4-11),其中的3个待定常数根据内外边界面上的应力边界条件来确定。,圆环或圆筒受均布压力,由于轴对称，关于切应力的两个条件是自然满足的。将应力分量表达式(4-11) 代入(a)式，得到 2 个方程(b)式，显然不能确定 3 个待定常数A、B、C。,在内外边界面上，分别有应力边界条件：,(a),圆环或圆筒受均布压力,将 B=0 代入方程式(b)，即可解得另两个待定常数A、C。,由于圆环和圆筒是二连体，其位移分量必须满足位移单值条件。由位移解答式(4-12)中关于环向位移的解，对于同一点 (r,j) 和 (r,j+2p) ，将会得到不同的位移，这是不可能的。,于是由位移单值条件可见必须有：B=0,圆环或圆筒受均布压力,将待定常数A、B、C代入应力分量表达式(4-11)，整理可得应力解答式(4-13)。,圆环或圆筒受均布压力,下面利用上述解答讨论两种特例：即内压力和外压力单独作用时的情况。,1、如果只有内压力 q1 作用，则外压力为0，代入应力解答式(4-13)，化简得,圆环或圆筒受均布压力,显然，由应力公式可知，径向应力总为负值，即为压应力；环向应力总为正值，即为拉应力。应力分布大致如图所示。最大值发生在内壁处。,当外半径趋于无限大时，由上式可得具有圆孔的无限大薄板或具有圆孔道的无限大弹性体的应力解答：,可知在远离小孔处的应力可忽略不计。,圆环或圆筒受均布压力,2、如果只有外压力 q2 作用，则内压力为0，代入应力解答式(4-13)，化简得,显然径向应力和环向应力都是总为负值，即为压应力。应力分布大致如图所示。最大环向应力发生在内壁处,(4-14),圆环或圆筒受均布压力,位移单值条件的说明：,（1）多连体中的位移单值条件，实质上就是物体的连续性条件（即位移连续性条件）。 （2）在连续体中，应力、形变和位移都应为单值。,按位移求解时：取位移为单值，求形变（几何方程）也为单值，求应力（物理方程）也为单值。,圆环或圆筒受