扭转强度与刚度.ppt

第9章 扭转杆件的强度与刚度,1、实验：,一、薄壁圆筒横截面上的应力,薄壁圆筒轴的扭转,实验变形规律应力的分布规律应力的计算公式。,2、变形规律：,圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。,纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。,3、切应变（角应变）：直角角度的改变量 。,认为切应力沿壁厚均匀分布（方向垂直于其半径方向）。,3、切应变（角应变）：直角角度的改变量 。,4、定性分析横截面上的应力,（1）,（2）,因为圆周上切应变相同，所以横截面上切应力沿圆周均匀分布。,（3）,5、切应力的计算公式：,t dA 对圆心的矩 t dAr0,薄壁圆筒扭转时 横截面上的切应力计算式,二、关于切应力的若干重要性质,1、剪切虎克定律,做薄壁圆筒的扭转试验可得,纵轴 T,剪切虎克定律,在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。,从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体,单元体,自动满足,存在t,得,2、切应力互等定理,Me,Me,切应力互等定理,单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为纯剪切应力状态。,在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小相等，方向同时指向或同时背离两个面的交线。,一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题）,几何关系：由实验找出变形规律应变的变化规律,物理关系：由应变的变化规律应力的分布规律,静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系应力的计算公式。,一）、几何关系：,1、实验：,圆轴扭转时横截面上的应力,2、变形规律：,圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。,2、变形规律：,圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。,纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。,3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大 小、间距不变，半径仍为直线。,4、定性分析横截面上的应力,（1）,（2）,因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。,5、切应变的变化规律：,取楔形体O1O2ABCD 为研究对象,5、切应变的变化规律：,取楔形体O1O2ABCD 为研究对象,微段扭转变形 dj,D,A点处的切应变,a点处的切应变,二）物理关系： 弹性范围内,方向垂直于半径。,dj / dx扭转角变化率,扭转切应力分布,T,t,max,t,max,t,max,T,（实心截面）,（空心截面）,三）静力关系：,令,代入物理关系式 得：,圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。,扭转变形计算式,横截面上 ,抗扭截面模量，,整个圆轴上等直杆：,三、公式的使用条件：,1、等直的圆轴，,2、弹性范围内工作。,Ip截面的极惯性矩，单位：,二、圆轴中max的确定,单位：,圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式:,四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp,实心圆截面：,空心圆截面：,四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp,注意：对于空心圆截面,解：（1）计算外力偶矩、扭矩,由截面法,（2）计算极惯性矩 , AC段和CB段横截面的极惯性矩分别为,（3）计算应力,，,1、强度条件：,2、强度条件应用： 1）校核强度:,扭转变形 扭转强度和刚度计算,2）设计截面尺寸:,3）确定外载荷:,一、 扭转强度计算,等截面圆轴:,变截面圆轴:,例 已知 T =1.5 kN . m，t = 50 MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴。,解：1. 确定实心圆轴直径,2. 确定空心圆轴内、外径,3. 重量比较,空心轴远比实心轴轻,解：1. 计算扭矩作扭矩图,例 R050 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别为 d1 = 5 mm，d2 = 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m，t = 50 MPa，试校核圆管强度。,2. 强度校核,危险截面：,截面 A 与 B,圆管强度足够,例 R050 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别为 d1 = 5 mm，d2 = 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m，t = 50 MPa，试校核圆管强度。,解：1. 计算扭矩作扭矩图,BC段,AB段,2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度,该轴满足强度条件。,T图（kNm）,例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的许用切应力t = 80MPa ，试校核该轴的强度。,解： 1、求内力，作出轴的扭矩图,例 有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮如图a所示。轴的直径 分别为d140，d270，。已知作用在轴上的外力偶矩分别为T1 0.62kNm，T20.81kNm，T31.43kNm。材料的许用切应力=60 MPa，G8104MPa，试校核该轴的强度。,阶梯形圆轴,解（1）作出扭矩图（见图b）,（2）强度校核 由于AC 段和BD 段的直径不相 同，横截面上的扭矩也不相同，因 此，对于AC 段轴和BD 段轴的强度 都要进行校核。,AC 段,BD 段,计算结果表明，轴的强度足够,阶梯形圆轴,例 有一阶梯形圆轴，轴的直径 分别为d140，d270，。已知T10.62kNm，T20.81kNm，T31.43kNm。材料的许用切应力=60MPa，G8104MPa，试校核该轴的强度。,一、扭转变形：（相对扭转角）,扭转角单位：弧度（rad） GIP抗扭刚度。,单位长度的扭转角,二、 扭转杆的变形和刚度计算,扭转变形与内力计算式,扭矩不变的等直轴,各段扭矩为不同值的阶梯轴,T,从中取 dx 段，该段相邻两截 面的扭转角为：,AB 截面相对扭转角为：,单位长度的扭转角,圆轴受扭时，除满足强度条件外，还须满足一定的刚度要求。通常是限制单位长度上的最大扭转角不超过规范给定的许用值,圆轴受扭时刚度条件可写作,3、刚度条件应用： 1)、校核刚度；,3)、确定外载荷:,2)、设计截面尺寸:,三、 扭转杆的刚度计算,例 已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa，q = 0.5 ()/m 。jAC=? 校核轴的刚度,解：1. 内力、变形分析,2. 刚度校核,轴的刚度足够,例 试计算图示圆锥形轴的总扭转角,解：,例 长 L=2 m的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m的作用，杆的内外径之比为 =0.8，G=80 GPa，许用剪应力 =30 MPa，试设计杆的外径；若=2/m，试校核此杆的刚度，并求右端面相对于左端面的转角。,解：1.作扭矩图,2.设计杆的外径,例 长 L=2 m的圆杆受均布力偶 m =20 Nm/m的作用，杆的内外径之比为 =0.8，G=80 GPa，许用剪应力 =30 MPa，试设计杆的外径；若 =2/m，试校核此杆的刚度，并求右端面相对于左端面的转角。,3. 由扭转刚度条件校核刚度,刚度足够,例 长 L=2 m的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m的作用，杆的内外径之比为 =0.8，G=80 GPa，许用剪应力 =30 MPa，试设计杆的外径；若=2/m，试校核此杆的刚度，并求右端面相对于左端面的转角。,4. 右端面转角为：,例 实心圆轴受力如图示，已知材料的 试设计轴的直径 D 。,（二）由强度条件设计 D 。,解得：,（三）由刚度条件设计 D 。,解得：,从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用 D=102mm 。,例 有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮如图a所示。轴的直径 分别为d140mm，d270mm。已知作用在轴上的外力偶矩分别为 T10.62 kNm，T20.81 kNm，T31.43 kNm。材料的许用切应力 t =60 MPa，G8104 MPa，轴的许用单位长度扭转角为 2/m，试校核该轴的强度和刚度。,解（1）作出扭矩图,（2）强度校核 由于AC 段和BD 段的直径不相 同，横截面上的扭矩也不相同，因 此，对于AC 段轴和BD 段轴的强度 都要进行校核。,AC 段,BD 段,（3）刚度校核,AC 段,BD 段,计算结果表明，轴的强度和刚度是足够的。,例：圆轴直径，长，左端固定，右端有一直径的鼓轮。轮上绕以钢绳，绳的端点悬挂重物，轴发生扭转变形。绳长，横截面面积，弹性模量。重量。轴的切变模量。求轴内最大扭转切应力和重物下降的距离。,轴内最大扭转切应力、AB间相对转角,重物下降的距离,如图所示小锥度薄壁圆锥形管收外力偶作用。已知管的长度为，两端直径分别为和，厚度为，材料的剪切模量为。求两端的相对扭转角。,取处微段研究，其端面受到扭矩为。微段可视为等值薄壁圆筒，则其应力为,例 试求图示轴两端的反力偶矩,解: 受力分析,建立平衡方程,未知力偶矩2个，平衡方程1个，一次超静定,四、扭转超静定问题,变形分析,列变形协调方程,联立求解方程(a)与(b),建立补充方程,代入上式,例 长为 L=2 m 的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226 m ，G=80 GPa，试求：固定端的反力偶。,解：杆的受力图,几何方程：, 物理方程：, 由平衡方程得：,另:此题可由对称性直接求得结果。,平衡方程,几何方程,圆轴扭转破坏分析,低碳钢试件：沿横截面断开。,铸铁试件： 沿与轴线约成45的螺旋线断开。,材料抗拉能力差，构件沿45斜截面因拉应力而破坏（脆性材料）。,材料抗剪切能力差，构件沿横截面因切应力而发生破坏(塑性材料）；,t,分析方法,取单元体（单元体上的应力认为是均匀分布的）,设：ef 边的面积为 dA 则,eb 边的面积为dAcosa,bf 边的面积为dAsina,若材料抗拉压能力差，构件沿45斜截面发生破坏（脆性材料）。,结论： 若材料抗剪切能力差，构件沿横截面发生破坏(塑性材料）；,分析：,横截面上！,矩形截面杆的自由扭转,常见的非圆截面受扭杆为矩形截面杆和薄壁杆件,圆杆扭转时 横截面保持为平面；,非圆杆扭转时 横截面由平面变为 曲面（发生翘曲）。,非圆截面杆扭转的研究方法：弹性力学的方法研究,非圆截面杆扭转的分类：,1、自由扭转（纯扭转），,2、约束扭转。,自由扭转：各横截面翘曲程度不受任何约束（可自由凹凸）， 任意两相邻截面翘曲程度相同。,应力特点：横截面上正应力等于零，切应力不等于零。,约束扭转：由于约束条件或受力限制，造成杆各横截面翘 曲程度不同。,应力特点：横截面上正应力不等于零，切应力不等于零。,1、 横