最新经典试题系列---排列组合与概率.doc

虿蚀衿艿薅虿羁蒅蒁蚈肃芇蒇蚇芆肀螅蚆羅莆蚁蚆肈腿薇蚅膀莄蒃蚄袀膇荿螃羂莂蚈螂肄膅薄螁芇莁薀螀羆膃蒆螀聿葿莂蝿膁节蚀螈袁蒇薆螇羃芀蒂袆肅蒆莈袅膇芈蚇袄袇肁蚃袄聿莇蕿袃膂腿蒅袂袁莅莁袁羄膈蚀袀肆莃薆罿膈膆蒂罿袈莂莈羈羀膄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈羅羅蒈蒄薂肇芁莀薁腿蒆虿蚀衿艿薅虿羁蒅蒁蚈肃芇蒇蚇芆肀螅蚆羅莆蚁蚆肈腿薇蚅膀莄蒃蚄袀膇荿螃羂莂蚈螂肄膅薄螁芇莁薀螀羆膃蒆螀聿葿莂蝿膁节蚀螈袁蒇薆螇羃芀蒂袆肅蒆莈袅膇芈蚇袄袇肁蚃袄聿莇蕿袃膂腿蒅袂袁莅莁袁羄膈蚀袀肆莃薆罿膈膆蒂罿袈莂莈羈羀膄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈羅羅蒈蒄薂肇芁莀薁腿蒆虿蚀衿艿薅虿羁蒅蒁蚈肃芇蒇蚇芆肀螅蚆羅莆蚁蚆肈腿薇蚅膀莄蒃蚄袀膇荿螃羂莂蚈螂肄膅薄螁芇莁薀螀羆膃蒆螀聿葿莂蝿膁节蚀螈袁蒇薆螇羃芀蒂袆肅蒆莈袅膇芈蚇袄袇肁蚃袄聿莇蕿袃膂腿蒅袂袁莅莁袁羄膈蚀袀肆莃薆罿膈膆蒂罿袈莂莈羈羀膄螆羇膃蒀蚂羆芅芃薈羅羅蒈蒄薂肇芁莀薁腿蒆虿蚀衿艿薅虿羁蒅蒁蚈肃芇蒇蚇芆肀螅蚆羅莆蚁蚆肈腿薇蚅膀莄蒃蚄袀膇荿螃羂莂蚈螂肄膅薄螁芇莁薀螀羆膃蒆螀聿葿莂蝿膁节蚀螈袁蒇薆螇羃芀蒂 最新经典试题系列-排列组合与概率1. 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有_.解：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有种方法；1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有种方法；则不同的放球方法有10种 2. 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有_.解：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有种方法，再将3组分到3个班，共有种不同的分配方案.3. 5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有 种. 解：两老一新时, 有种排法;两新一老时, 有种排法,共有48种排法.4. 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种.解：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论， 甲、丙同去，则乙不去，有=240种选法；甲、丙同不去，乙去，有=240种选法；甲、乙、丙都不去，有种选法，共有600种不同的选派方案5. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 种.解：5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有=960种不同的排法. 6. 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 种.解：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有种方案，二是在三个城市各投资1个项目，有种方案，共计有60种方案7. 安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有 种.（用数字作答）解：先安排甲、乙两人在后5天值班，有=20种排法，其余5人再进行排列，有=120种排法，所以共有20120=2400种安排方法。8. 某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有 种不同的出牌方法.解 出牌的方法可分为以下几类 (1) 5张牌全部分开出，有A种方法； (2) 2张2一起出，3张A一起出，有A种方法；(3) 2张2一起出，3张A一起出，有A种方法； (4) 2张2一起出，3张A分两次出，有CA种方法(5) 2张2分开出，3张A一起出，有A种方法； (6) 2张2分开出，3张A分两次出，有CA种方法 共有不同的出牌方法A+A+A+AA+A+CA=860种 9. 20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则有 种放法 解 首先按每个盒子的编号放入1个、2个、3个小球，然后将剩余的14个小球排成一排，如图，|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|，有15个空档，其中“O”表示小球，“|”表示空档 将求小球装入盒中的方案数，可转化为将三个小盒插入15个空档的排列数 对应关系是 以插入两个空档的小盒之间的“O”个数，表示右侧空档上的小盒装有小球数 最左侧的空档可以同时插入两个小盒 而其余空档只可插入一个小盒，最右侧空档必插入小盒，于是，若有两个小盒插入最左侧空档，有C种；若恰有一个小盒插入最左侧空档，有种；若没有小盒插入最左侧空档，有C种 由加法原理，有N=120种排列方案，即有120种放法 10. 有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，则共可组成 个不同的三位数.解：方法一 任取三张卡片可以组成不同三位数C23A(个)，其中0在百位的有C22A (个)，这是不合题意的，故共有不同三位数 C23AC22A=432(个） 方法二 第一类 0与1卡片放首位，可以组成不同三位数有 (个); 第二类 0与1卡片不放首位，可以组成不同三位数有 (个) 故共有不同三位数 48+384432(个） 11. 圆周上有2n个等分点(n1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_.解 2n个等分点可作出n条直径，从中任选一条直径共有C种方法；再从以下的(2n2)个等分点中任选一个点，共有C种方法，根据乘法原理 直角三角形的个数为 CC=2n(n1)个 12. 二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c，在集合3，2，1，0，1，2，3，4中选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线有_条.解 由图形特征分析，a0,开口向上，坐标原点在内部f(0)=c0；a0,开口向下，原点在内部f(0)=c0。所以对于抛物线y=ax2+bx+c来讲，原点在其内部af(0)=ac0,则确定抛物线时，可先定一正一负的a和c，再确定b,故满足题设的抛物线共有CCAA=144条 13. 甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，若甲不值周一、乙不值周六，则可排出不同的值班表数有_个.解 每人随意值两天，共有CCC个；甲必值周一，有CCC个；乙必值周六，有CCC个；甲必值周一且乙必值周六，有CCC个 每人值两天，且甲必不值周一、乙必不值周六的值班表数，N=CCC2CCC+ CCC=90256+12=42个。 14. 有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数 （1）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置_； （2）全体排成一行，甲不在最左边，乙不在最右边_； （3）全体排成一行，其中男生必须排在一起_；（4）全体排成一行，男、女各不相邻_； （5）全体排成一行，男生不能排在一起_；（6）全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变_；（7）排成前后二排，前排3人，后排4人_；（8）全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人_；解 (1)（元素分析法）甲为特殊元素，故先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选择 有A种，其余6人全排列，有A种 由乘法原理得AA=2160种。 (2)（位置分析法）先排最右边，除去甲外，有A种，余下的6个位置全排有A种，但应剔除乙在最右边的排法数AA种 则符合条件的排法共有AAAA=3720种。 (3)（视一法） 将男生看成一个整体，进行全排列 再与其他元素进行全排列 共有AA=720种。 (4)（插空法） 先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有AA=144种 (5)（插空法） 先排女生，然后在空位中插入男生，共有AA=1440种 (6) 定序排列 第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此A=NA，N= 840种 (7) 与无任何限制的排列相同，有A=5040种 (8) 从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有A种，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有AA 最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间，共有AAA=720种 15. 在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为_.解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得=56个三角形，要得直角非等腰三角形共有122=24个（每条棱与垂直该棱顶点的面内过该棱的顶点的对角线构成的直角三解形有2 个)，得=.16. 从到这个数字中任取个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被整除的概率为_.解：从到这个数字中任取个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被整除。所有的三位数有个，将10个数字分成三组，即被3除余1的有1，4，7、被3除余2的有2，5，8，被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：三个数字均取第一组，或均取第二组，有个； 若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有个； 若三组各取一个数字，第三组中不取0，有个，若三组各取一个数字，第三组中取0，有个，这样能被3 整除的数共有228个，不能被整除的数有420个，所以概率为=.17. 一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，设向上的数之积为随机变量，则随机变量的分布列为_.解：一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2。将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为=0，1，2，4，则， .18. 盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，则抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率为_；抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率为_；抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率为_.解：（I）“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A，由题意（II）“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B，则（III）“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D，由题意，C与D是对立事件，因为，.19. 在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为_.解：随机取出2个小球得到的结果数有种(提倡列举).取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为共3种,故所求答案为20. 三行三列的方阵有9个数（i1，2，3；j1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是_.解：从中任取三个数共有种取法，没有同行、同列的取法有，至少有两个数位于同行或同列的概率是.21. 将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为_.解：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个； （2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为22. 一袋中装有大小相同，编号分别为的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为_.解：从中有放回地取2次，所取号码共有8*8=64种，其中和不小于15的有3种，分别是（7，8），（8，7），（8，8），故所求概率为23. 将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是_.解：将5本不同的书全发给4名同学共有45种发法，其中每名同学至少有一本书的发法有，故每名同学至少有一本书的概率是P=.24. 从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为_.解：可从对立面考虑，即三张价格均不相同，25. 一个坛子里有编号为1，2，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是_.解：从中任取两个球共有种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的取法有种取法，概率为.26. 在正方体上任意选择两条棱,则这两条棱相互平行的概率为 .解：在正方体上任意选择两条棱,有种可能，这两条棱相互平行的选法有种，所以概率。27. 两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数的分布列为_.解：的取值有0，1，2，.分布列略.28. 设有关于的一元二次方程（1）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，则上述方程有实根的概率为 ；（2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，则上述方程有实根的概率为 解：设事件为“方程有实根”当，时，方程有实根的充要条件为（）基本事件共12个：其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值事件中包含9个基本事件，概率为（）试验的全部结束所构成的区域为构成事件的区域为所以所求的概率为29. 某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的则这6位乘客在其不相同的车站下车的概率为 ；这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为 .解：（I）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为30. 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.(1) 则笼内恰好剩下1只果蝇的概率为_；（2）则笼内至