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第一讲 第一章：函数与极限 2 学时 教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，掌握复合 函数的分解方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 教学内容概述：本讲主要复习中学所学集合；函数；函数的表示方式，函数的几种特 性；反函数与复合函数；基本初等函数；初等函数等。 教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函 数的性质及其图形，掌握复合函数的分解方法。 教学过程： 一、区间和邻域 1）有限区间：开区间 ),(ba ，闭区间 ba, ，半开半闭区间 baba, 。 2）无限区间：（） ，。,a,a, a , a , 3）邻域： ),(axaxaU 注：a 邻域的中心，邻域的半径；去心邻域记为 ),(aU 。 二、函数 1、 函数的概念 定义 设数集RD ，则称映射 RDf: 为定义在 D 上的函数，记为 Dxxfy, )( 。 注：函数相等：定义域、对应法则相等。 2、 函数的几种特性 1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界） ，有界的充要条件：既有上界又有下界。 2）函数的单调性（单增、单减） ，在 x1、x2点比较函数值 )( 1 xf 与 )( 2 xf 的大小（注： 与区间有关） 。 3）函数的奇偶性(定义域对称、 )(xf 与 )( xf 关系决定)，图形特点 (关于原点、Y 轴对称)。 4)函数的周期性(定义域中成立： )()(xflxf ) 3、 反函数与复合函数 1）反函数：函数 )(:DfDf 是单射，则有逆映射 xyf )( 1 ，称此映射 1 f 为 f 函数的反函数。 函数与反函数的图像关 xy 于对称。 (2)、复合函数 注：（1）不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数。 例如： ；因前者定义域为-1，1，后者，故这两arcsinyu 2 2ux 2 22ux 个函数不能复合成复合函数。 （2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合而成。 例 1 设 求( )sinyf uu 2 ( )1uxx ( )fx 解 = ( )fx 2 sinsin(1)ux 例 2 将下列函数分解成基本初等函数的复合 （1） （2） 2 lnsinyx 2 arctanx ye 解 （1）所给函数是由 四个函数复合而成的yulnuv 2 vwsinwx （2）所给函数是由 三个函数复合而成的。 u yearctanuv 2 vx 4、分段函数：分段函数的统一表达式。 结论：对于分段函数 f（x）= 1 2 ( )() ( )() f xxa fxxa 若初等数函 f1（x）和 f2（x）满足 f1（a）= f2（a） ，则 f（x）= f1（x+a-）+ f1（x+a+）- f1（a） 1 2 2 ()xa 1 2 2 ()xa 5、初等函数 1）幂函数： a xy 2)指数函数： x ay 3)对数函数： )(logxy a 4)三角函数： )cot(),tan(),cos(),sin(xyxyxyxy 5)反三角函数： )arcsin(xy ， )arccos(xy )cot()arctan(xarcyxy 以上五种函数为基本初等函数。 例 1已知分段函数 2 2 , 10, ( )1,0, 2,01. xx f xx xx 1）求其定义域并作图；2）求函数值 11 22 (),(0),( ).fff 小结:本节主要复习学生中学所学函数， ，反函数，复合函数，基本初等函数，给出初 等函数定义。由于后续学习需要重点掌握复合函数的拆分。 第二讲 极限的概念 2 学时 教学目的与要求：理解数列极限；函数极限的概念，性质。 教学内容概述：本讲主要学习数列极限的概念；性质，函数在无穷大处的极限；函数在有 限点处的极限及函数极限的性质。 教学重点（难点）：极限的概念的理解及应用；函数左极限与右极限，极限性质 教学过程： 第一节、数列极限的定义与性质 一、数列 数列就是由数组成的序列。1）这个序列中的每个数都编了号。 2）序列中有无限多个成员。 一般写成： n aaaaa 4321 缩写为 n u 例 1 数列 n 1 是这样一个数列 n x ，其中 n xn 1 ， 5 , 4 , 3 , 2 , 1n 也可写为： 5 1 4 1 3 1 2 1 1 可发现：这个数列有个趋势，数值越来 越小，无限接近 0，记为 0 1 lim n n 。数列极限的 N 定义 axNnN n 0 ，则称数列 n x 的极限为a，记成 axn n lim 也可等价表述： 1） )(0axNnN n 2） )(0aOxNnN n 。 极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。 二、收敛数列的性质 定理 1 如果数列 n x 收敛，那么它的极限是唯一。 定理 2 如果数列 n x 收敛，那么数列 n x 一定有界。 定理 3 如果 axn x lim 且 a0(a0，当 nN 时， )0(0 nn xx 。 例 2证明数列的极限是 1。 1 n n 例 3作出数列图形，讨论其极限值。 1 ( 1)nn n 第二节：函数的极限 一、极限的定义 1、在 0 x 点的极限 1） 0 x 可在函数的定义域内，也可不在，不涉及 f 在 0 x 有没有定义，以及函数值 )( 0 xf 的大小。只要满足：存在某个 0 使： Dxxxx),(),( 0000 。 2）如果自变量x趋于 0 x 时，相应的函数值 )(xf 有一个总趋势以某个实数A为极 限 ，则记为 ： Axf xx )(lim 0。 形式定义为： Axfxxx)()0(0 0 2、 x 的极限 设 ),()(xxfy ，如果当时函数值 )(xf 有一个总趋势-该曲线有一条 水平渐近线 Ay -则称函数在无限远点有极限。记为： Axf x )(lim 。 3、 （1）在无穷远处的左右极限： )(lim)(xff x ， )(lim)(xff x 关系为： )(lim)(lim)(limxfAxfAxf xxx （2）在有限点处的左右极限： 0 x ， 0 0 0 (0)lim( ) xx f xf x 0 0 0 (0)lim( ) xx f xf x 关系为 000 00 lim( )lim( )lim( ) xxxxxx f xf xf x 二、函数极限的性质 1、极限的唯一性 2、函数极限的局部有界性 3、函数极限的局部保号性 4、函数极限与数列极限的关系 例 1 讨论函数在 x的极限。 x x y 0 例 2求下面函数极限： ， 。 lim n 2 21 n n33 1 1 1 1 lim() x x x 作业：见课后各章节练习。 小结：本节要求学生理解极限思想，掌握数列极限，函数极限存在的条件。 第三讲 极限的运算法则 无穷小与无穷大 2 学时 教学目的与要求：掌握无穷小与无穷大概念；掌握极限的运算法则并能熟练求极限。 教学内容概述：本节主要讲授无穷小与无穷大的定义；性质，无穷小与无穷大之间的关系； 极限的四则运算规则，极限的求法，复合函数的极限。 教学重点（难点）：理解无穷小与无穷大的关系。 教学过程： 一、无穷小定义 定义 对一个数列 n x ，如果成立如下的命题： n xNnN0 则称它为无穷小量，即 0lim n x x 注：1） 的意义； 2） n x 可写成 0 n x ； ), 0( n x ； 3）上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码 N，使在这个号码以后 的所有的号码n，相应的 n x 与极限 0 的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于 一个数列趋于 0 的认识。 定理 1 在自变量的同一变化过程 0 xx （或 )x 中，函数 xf 具有极限 A 的充 分必要条件是 Axf)( ，其中是无穷小。 二、无穷大定义 一个数列 n x ，如果成立： GxNnNG n 0 那么称它为无穷大量。记成： n x xlim 。 特别地，如果 GxNnNG n 0 ，则称为正无穷大，记成 n x xlim 。 特别地，如果 GxNnNG n 0 ，则称为负无穷大，记成 n x xlim 。 （也可类似地对函数定义无穷小，无穷大的定义） 注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。 三、无穷小和无穷大的关系 定理 2 在自变量的同一变化过程中，如果 )(xf 为无穷大，则 )( 1 xf 为无穷小；反之， 如果 )(xf 为无穷小，且 0)(xf 则 )( 1 xf 为无穷大。 即非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当 0 n x 时：有 n xx x 1 lim0lim 0 1 limlim n xx x 注意是在自变量的同一个变化过程中。 四、无穷小的性质 设 n x 和 n y 是无穷小量于是： 1）两个无穷小量的和差也是无穷小量： 0)(lim0lim0lim nn x n x n x yxyx 2）对于任意常数 C，数列 n xc 也是无穷小量： 0)(lim0lim n x n x xcx 3） n yxn 也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。 0)(lim0lim0lim nn x n x n x yxyx 4） n x 也是无穷小量： 0lim0lim 0 0 n xx n xx xx 5）无穷小与有界函数的积为无穷小。 五、函数极限的四则运算 1）若函数 f 和g在点 0 x 有极限，则 )(lim)(lim)()(lim 000 xgxfxgxf xxxxxx 2）函数 f 在点 0 x 有极限，则对任何常数a成立 )(lim)(lim 00 xfaxfa xxxx 3）若函数 f 和g在点 0 x 有极限，则 )(lim)(lim)()(lim 000 xgxfxgxf xxxxxx 4）函数 f 和g在点 0 x 有极限，并且 0)(lim 0 xg xx ，则 )(lim )(lim )( )( lim 0 0 0xg xf xg xf xx xx xx 极限的四则运算成立的条件是若函数 f 和 g在点 0 x 有极限。 定理 3 设函数 )(xgfy 是由函数 )(ufy 与 )(xgu 复合而成， )(xgf 在点 0 x 的某去心邻域内有定义，若 0 )(lim 0 uxg xx ， Auf uu )(lim 0，且存在 0 0 ，当 ),( 00 0 xu x 时，有 0 )(uxg ，则 Aufxgf uuxx )(lim)(lim 00 例 1下面函数在 x 趋向什么时是无穷小，又当 x 趋向什么时是无穷大： 。21,x sin 1 cos x x 例 2 求下面函数极限： 作业：见课后各章节练习。 小结；本节主要学习了极限的运算法则以及求极限的具体方法，介绍了无穷小、无穷 大的概念，要求学生会用无穷小的定义解决具体问题。 第四讲 极限存在准则与两个重要极限 无穷小的比较 2 学时 教学目的与要求：掌握极限存在准则，透彻理解两个重要极限；理解无穷小的比较概念。 教学内容概述：本节借助例子给出极限存在的两个准则，利用极限存在准则证明 sinx/x =1 ，解释（1+1/n）n = e 并讲明其特征，注意其“型” 。借助例题说明 0 lim x lim n 无穷小之间的几种关系；学习利用无穷小的等价求极限。 教学重点（难点）：极限存在准则，两个重要极限的应用。 9 3 lim 2 3 x x x 45 32 lim 2 1 xx x x 教学过程： 一、两个重要极限 定理 1（夹逼定理） 三数列 n x 、 n y 和 n z ，如果从某个号码起成立： 1） nnn zyx ，并且已知 n x 和 n z 收敛， 2） n x n x zax limlim ，则有结论： ayn x lim 定理 2 单调有界数列一定收敛。 单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。 极限sinx/x =1 0 lim x 该极限的证明，关键是证不等式:sinx0，证明函数 )(xf)(xf x x dttf dtttf xF 0 0 )( )( )( 在（0，+）内为单调增加函数。 证明：证明：=，= x dtttf dx d 0 )()(xxf x dtttf dx d 0 )()(xf 故=0 故在（0，+）内为单调增)(x F 2 0 00 )( )()()()( x xx dttf dtttfxfdttfxxf )(xF 加函数。 例 7 求求 2 1 cos 0 2 lim x dte t x x dx d dte t x 21 cos dx d dte t x 21cos 1 = 利用 Hospital 法则得 x xe 2 cos sin = 2 1 cos 0 2 lim x dte t x x ex xe x x 2 1 2 sin lim 2 cos 0 四、课上练习：1、求下列函数的导数 （1） x t dtexf 0 2 )( （2） 1 2 )( x t dtexf 2、求极限： x dtt x x 0 2 0 cos lim 五：布置课后作业 P272 1 、 （3） （4） 5、 （3） （4） 6、 （3） （8） 第十八讲 定积分的换元积分法与分部积分法 两学时 一、教学目的： 1熟练应用换元积分法与分部积分法计算定积分 2掌握解题方法和技巧 二、.教学重点： 换元积分法与分部积分法计算定积分 三、教学过程 一、定积分的换元积分方法几点注解： 1、用替换，将原来变量代换成新变量后，原定积分的限应同时换成新变 量的限。 求出的原函数后，不必象不定积分那样，将变换成原变量 的函数，只需将新变量的上下限代入中然后相减即可。 2、应注意代换的条件，避免出错。 (1)、在单值且连续； (2)、 3、对于时， 换元公式(1)仍然成立。 例 1 求 【解法一】 令 当时，；当时，。 又当 时，有 且变换函数 在上单值，在上连续， 由换元公式有 【解法二】令 当时， ； 当时， 。 又当时， ， 且变换函数在上单值， 在上连续， 由换元公式有 注意： 在【解法二】中，经过换元，定积分的下限较上限大。 换元公式也可以反过来， 即 例 2 求 解：设， 当 时，；当 时， 一般来说，这类换元可以不明显地写出新变量，自然也就不必改变定积分的上下限。 二、定积分的分部积分法 设在a,b上具有连续导数，则有)(),(xvxu)(),(xvxu vuvuuv 故 b a dxuv)( b a vdxu b a dxvu b a b a b a vduuvudv 这就是定积分的分部积分公式。 例 3 2 1 0 arcsin xdx 解：设 u=arcsin,则x, xv = 2 1 0 arcsin xdx2 1 arcsinsx 2 1 02 1 1 dx x x =arcsin+ 2 1 2 1 2 1 2 1 02 1 1 dx x x =1 2 3 12 例例 4 计算 dxe x 1 0 解：设，则 = =tx dxe x 1 0 2 1 0 dtet dttet 1 0 2 t det 1 0 2 = 22 1 0 t tedtet 1 0 =) 1(22ee =2 例例 5 证明定积分公式 xdxI n n 2 0 sin = .1, 3 2 5 4 2 31 , 22 1 4 3 2 31 的正奇数为大于 为正偶数 n n n n n n n n n n 证明：设 由分步积分公式可得：xdxdvxu n sin,sin 1 xdxnI n n 2 0 2 sin) 1( xdxn n 2 0 sin) 1( = nn InIn) 1() 1( 2 故 由此递推公式可得所证明等式。 2 1 nn I n n I 三、定积分的几个常用的公式 1.设在关于原点对称的区间上可积,则 1)、若在上连续且为偶函数，则 2)、若在上连续且为奇函数，则 证明：由定积分对区间的可加性有 对 作替换 得 故有 若为偶函数， 则 若为奇函数， 则 例 6 若在上连续， 证明： (1)、 (2)、 并由此式计算定积分 (1)、证明：设 ， (2)、证明： 设 ， 例 7 求 解：令 ， 故 评注： 这一定积分的计算并未求原函数，只用到了变量替换、定积分性质，这一解法值得我们学 习。 第十九讲 定积分的应用例子 两学时 一、教学目的 1、理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法 2、学会用元素法计算平面图形的面积 3、学会用元素法计算旋转体的体积 二、教学内容 1、定积分的元素法 2、平面图性的面积 三、.教学重点 1、元素法的思想 2、直角坐标系下平面图形的面积计算 四、教学注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。 五、教学过程 一、定积分的元素法 1、 再论曲边梯形面积计算 设在区间上连续，且，求以曲线为曲边，底为f x( ),ba0)(xfyf x( ) 的曲边梯形的面积。,baA 1化整为零 用任意一组分点 bxxxxxa nii 110 将区间分成 个小区间，其长度为n,xx ii1 ), 2, 1( 1 nixxx iii 并记 ,max 21n xxx 相应地，曲边梯形被划分成个窄曲边梯形，第个窄曲边梯形的面积记为ni 。niAi, 2, 1, 于是 n i i AA 1 2以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值 ), 2 , 1( ,)( 1 nixxxfA iiiiii 3积零为整，给出“整”的近似值 n i ii xfA 1 )( 4取极限，使近似值向精确值转化 b a n i ii dxxfxfA)()(lim 1 0 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题： （1）若将分成部分区间，则相应地分成部分量,ba), 2 , 1( , 1 nixx ii A ，而 这表明：所求量对于区间具有可加性。), 2 , 1(niAi n i i AA 1 A,ba (2)用近似，误差应是的高阶无穷小。 ii xf)( i A i x 只有这样，和式的极限方才是精确值。故关键是确定 n i ii xf 1 )(A )()()( iiiiiii xoxfAxfA 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个 量的条件与步骤。 2、元素法 (1)能用定积分计算的量，应满足下列三个条件U 与变量的变化区间有关；Ux,ba 对于区间具有可加性；U,ba 部分量可近似地表示成。U i U ii xf )( (2)写出计算的定积分表达式步骤 U 根据问题，选取一个变量为积分变量，并确定它的变化区间；x , a b 设想将区间分成若干小区间，取其中的任一小区间， , a b ,x xdx 求出它所对应的部分量的近似值U ( 为上一连续函数)dxxfU)(f x( ) , a b 则称为量的元素，且记作。f x dx( )UdxxfdU)( 以的元素作被积表达式，以为积分区间，得 UdU , a b b a dxxfU)( 这个方法叫做元素法，其实质是找出的元素的微分表达式UdU 因此，也称此法为微元法。)()(bxadxxfdU 二、平面图形的面积 1、直角坐标的情形 由曲线 及直线 与 ( ) 与 轴所围成) 0)( )(xfxfyxaxbabx 的曲边梯形面积。A 其中：为面积元素。Af x dx a b ( )f x dx( ) 由曲线 与 及直线 ，( )且yf x( )yg x( )xaxbab 所围成的图形面积。f xg x( )( )A b a b a b a dxxgxfdxxgdxxfA)()()()( 其中： 为面积元素。dxxgxf )()( 例例 1 1、求由曲线 所围成图形的面积。 22 ,yx yx 例例 2、 计算抛物线与直线所围成的图形面积。xy2 2 4 xy 解：( (1)、先画所围的图形简图 解方程 , 得交点： 和 。 4 2 2 xy xy )2, 2( )4 , 8( (2). 选择积分变量并定区间 选取为积分变量，则x08x (3). 给出面积元素 在上， 20 x dxx dxxxdA 22 )2(2 在上， 82 x dxxx dxxxdA )24( )4(2 (4). 列定积分表达式 18 2 1 3 22 4 3 24 2422 8 2 2 2 3 2 0 2 3 8 2 2 0 xxxx dxxxdxxA 另解：若选取为积分变量，则 y42y dyyydA 2 1 )4( 2 显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合 18 6 4 2 ) 2 1 4( 4 2 32 2 4 2 y y y dyyyA 理性的问题。 例例 3、 求椭圆所围成的面积 。1 2 2 2 2 b y a x ) 0, 0(ba 解：据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的 4 倍。 取为积分变量，则 ， xax 0 2 2 1 a x by dx a x bydxdA 2 2 1 故 ( ( * * ) )dx a x bydxA aa 0 2 2 0 144 作变量替换 taxcos) 2 0( t 则 ， tb a x bysin1 2 2 tdtadxsin ( ( * * * * ) ) 0 2 )sin)(sin(4 dttatbA ababdttab 2! ! 2 !)!12( 4sin4 2 0 2 2 2424 2 00 4cos8cos 2 tadatdt 令 22 (4 1)!3 8 4!22 aa 小结 ：本节主要学习了利用定积分求曲边梯形面积的方法 第二十讲 第四章 矩阵与线性方程组 第一节矩阵的概念 4 学时 一、教学目的 1、理解矩阵的概念及应用，掌握矩阵的加法，数乘，矩阵的乘法运算，了解特殊 矩阵的形式。 二、教学内容 1、矩阵的概念 2、特殊矩阵 3、矩阵的加法，数乘，乘法运算 三、.教学重点 1、矩阵的概念 2、矩阵的加法，数乘，乘法运算 四、教学过程 1. 一、新课的引入： 矩阵是数（或函数）的矩形阵表。在工程技术、生产活动和日常生活中，我们常常用数表 示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等。在给出矩阵定义之前， 先看几个例子。 例 1、北京市某户居民第三季度每个月（单位：t） 、电（单位：kwh） 、天然气（单位： ）的使用情况，可以用一个三行三列的数表示为 3 m 141659 1619510 1519010 9 8 7 月 月 月 气电水 例 2、含有 n 个未知量、m 个方程的线性方程组 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 如果把它的系数和常数项按原来顺序),2, 1;, 2, 1(njmiaij), 2, 1(mibi 写出，就可以得到一个 m 行、n+1 列的数表 mmnmm n n baaa baaa baaa 21 222221 111211 那么，这个表就可以清晰地表达这一线性方程组。 由上面的例子可以看到，对于不同的问题可以用不同的数表来表示，我们将这些数表 统称为矩阵。 二、 矩阵的定义： 定义 8.1 有个数排列成一个 m 行 n 列，并括以圆nm),2,1;,2, 1(njmiaij 括弧（或方括弧）的数表 mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 称为 m 行 n 列矩阵，简称矩阵。nm 矩阵通常用大写字母 A，B，C表示。例如上述矩阵可以记作 A 或，有 nm A 时也记作 A= 其中称为矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素。 nmij a )( ij a 特别地，当 m=n 时，称 A 为 n 阶矩阵，或 n 阶方阵。 当 m=1 或 n=1 时，矩阵只有一行，或只有一列，即 A= 或 A=)( 11211n aaa 1 21 11 m a a a 分别称之为行矩阵和列矩阵。 在 n 阶矩阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左 下角的对角线称为次对角线。 所有元素全为零的矩阵，称为零矩阵。记作或O。例如nm nm O 00 00 22 O 00000 00000 00000 53 O 分别为 2 阶零矩阵和 35 零矩阵。 在矩阵 A=中各个元素的前面都添加上负号（即取相反数）得到的矩 nmij a )( 阵，称为 A 的负矩阵。记作-A，即-A=（- nmij a ) 例如 705 831 026 A 705 831 026 A 那么-A 就是 A 的负矩阵。 2. 一些特殊的矩阵 1) 行矩阵只有一行的矩阵 例(125)A 2) 列矩阵只有一列的矩阵 例 3 1 2 B 3) 零矩阵所有元素都等于 0 的矩阵例 000 000 C 4) 同型矩阵行数相同、列数也相同例与同型 235 176 D C 5) 当时称 为阶方阵；所在的对角线称为方阵的mn() ijn n Aa n 1122 , nn aaa 主对角线 6) 主对角线下（上）方的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵例为 500 230 704 上三角阵；为下三角阵 5613 035 004 7) 主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角阵对角阵，记为，简 n d d d D 00 00 00 2 1 记为),( 21n ddddiagD 8) 数量阵对角阵中 例(1) i ddin 300 030 003 A 9) 单位阵数量阵中，记以或例1d IE 100 010 001 E 3、矩阵的运算 1、矩阵相等： 定义 8.3 如果两个矩阵的行数和列灵数分别相同，而且各对应元素)(, )( ijij bBaA 相等，则称矩阵 A 与矩阵 B 相等。记作： A=B 即 如果且,那么 nmijnmij bBaA )()(和), 2, 1;, 2, 1(njmiba ijij A=B。 由定义 8.3 可知，用等式表示两个矩阵相等等价于元素之间的个等式，nmnm 例如，矩阵 232221 131211 aaa aaa A 412 503 B 那么 A=B，当且仅当 4, 1, 2, 5, 03 232221131211 aaaaaa 又设矩阵 2221 1211 cc cc C 那么，无论矩阵 C 中的元素取什么数都不会与矩阵 B 相等，这是因 22211211 ,cccc 为 B，C 这两个矩阵的列数不同。 例 1、设矩阵 785 40 31 b a A 78 410 12 d c B 且 A=B，求 a, b, c, d 解 根据定义 8.3，由 A=B，即 = 785 40 31 b a 78 410 12 d c 得 a=-2，b=1，c=3，d=-5 2、矩阵的加法 定义 8.4 设是两个矩阵，规定：)(),( ijij bBaAnm A+B= ) ijij ba mnmnmmmm nn nn bababa bababa bababa 2211 2222222121 1112121111 称矩阵 A+B 为 A 与 B 的和。 由定义 8.4 知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算。 例 2 现有两种物资（单位：吨）要从三个产地运往四个销地，其调运方案分别为矩阵 A 与 B 3020200 2314020 0172530 A 1001050 1716400 30131510 B 试问，从各产地运往各销地两种物资的总运量是多少？ 解：设矩阵 C 为两种物资的总运量，那么矩阵 C 是 A 与 B 的和，即 C=A+B=+ 3020200 2314020 0172530 1001050 1716400 30131510 = 10300201020500 17231614400020 300131715251030 40203050 40304020 30304040 如果，由矩阵加法运算和负矩阵的概念，我们规定： nmijnmij bBaA )(,)( 1.B=A+（-B）= nmijijnmijnmij baba )()()( 称矩阵 A-B 为 A 与 B 的差。 例 3、设矩阵 A=，B=，求 A+B，A-B。 152 403 130 432 解 A+B=+= 152 403 130 432 022 431 A-B=-= 152 403 130 432 282 835 设 A，B，C，O 都是矩阵，根据定义 8.4 和负矩阵的概念，不难验证矩阵的加法满足nm 以下运算规则： 1、加法交换律 A+B=B+A 2、加法结合律 （A+B）+C=A+（B+C） 3、零矩阵满足 A+O=A 4、存在矩阵-A，满足 A-A=A+（-A）=O 3、矩阵的数乘： 定义定义 8.58.5 设 k 是任意一个实数，是一个矩阵，规定：)( ij aA nm kA= mnmm n n nmij kakaka kakaka kakaka ka 21 22221 11211 )( 称该矩阵为数 k 与矩阵 A 的数量乘积数量乘积，或称之为矩阵的数乘数乘。 由定义 8.5 可知，数 k 乘一个矩阵 A，需要用数 k 去乘矩阵 A 的每一个元素，特别地， 当 k=-1 时，kA=-A，得到 A 的负矩阵。 例 4、设从某四个地区到另三个地区的距离（单位：km）为 1005580 13570120 190130175 1056040 B 已知货物每吨的运费是 2.40 元/km，那么，各地区之间每吨货物的运费可记为： 2.4B=B= = 1004 . 2554 . 2804 . 2 1354 . 2704 . 21204 . 2 1904 . 21304 . 21754 . 2 1054 . 2604 . 2404 . 2 240132192 324168288 25214496 由定义 8.4 容易容易验证，对数和矩阵 A=，满足以下lk, nmij a )( nmij bB )( 运算规则： 1、数对矩阵的分配律 k（A+B）=kA+kB 2、矩阵对数的分配律 ()A=lk lAkA 3、数与矩阵的结合律 A=)( l k)(lAk)(kAl 4、数 1 与矩阵满足 1A=A 例 5、设两个矩阵 A，B 为 A=，B=，求 3A-2B23 61 05 23 71 28 34 解：先做矩阵的数乘运算 3A 和 2B，然后求矩阵 3A 与 2B 的差。 因为 3A= 183 015 69 6313 0353 )2(333 2B= 142 416 68 72) 1(2 2282 )3(242 所以 3A-2B=-= 183 015 69 142 416 68 45 41 01 例、已知矩阵 A= B= 345 751 213 123 915 457 且 A+2X=B，求矩阵 X 解：由 A+2X=B，得 X=)( 2 1 AB 因为 462 244 664 345 751 213 123 915 457 AB 所以 = 462 244 664 2 1 )( 2 1 ABX 231 122 332 4、矩阵的乘法 实例：某地区甲、乙、丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，如果用矩阵 A 表示 各商场销售这两种家用电器的日平均销售量（单位：台） ，用 B 表示两种家用电器的 单位售价（单位：千克）和单位利润（单位：千元）： 丙 乙 甲 A 918 1125 1020 用矩阵表示这三家商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润，那么 23 )( ij cC C 中的元素分别为 108595 . 318 5 . 1425115 . 325 1205105 . 320 31 21 11 c c c 入 收 总 2 . 252 . 198 . 018 2 . 332 . 1118 . 025 282 . 1108 . 020 32 22 12 c c c 润 利 总 即 2 . 25108 2 . 33 5 . 142 28120 2 . 198 . 018595 . 318 2 . 1118 . 0255115 . 325 2 . 1108 . 0205105 . 320 3231 2221 1211 cc cc cc C 其中，矩阵 C 中的第列的元素是矩阵 A 第 行元素与矩阵 B 第列对应元ji行第ij 素的乘积之和。类似于上述矩阵 A，B，C 之间的关系，下面给出矩阵的乘法定义 定义定义 8.68.6 设 A 是一个矩阵，B 是一个矩阵smns A= B= msmm s s aaa aaa aaa 21 22221 11211 snss n n bbb bbb bbb 21 22221 11211 则称矩阵 C=为矩阵 A 与 B 的乘积，其中nm)( ij c ), 2 , 1;, 2 , 1( 1 2211 njmibabababac s k kjiksjisjijiij 记作 C=AB 由定义 8.6 可知： （） 只有当左矩阵 A 的列数等于右矩阵 B 的行数时，A，B 才能作乘法运算 C=AB （） 两个矩阵的乘积 C=AB 亦是矩阵，它的行数等于左矩阵 A 的行数，它的列数等于右 矩阵 B 的列数； （） 乘积矩阵 C=AB 中第 行第列的元素等于 A 的第 行元素与 B 的第列对应元素的ijij 乘积之和，故简称行乘列法则。 例题讲解： 例 1、设矩阵 A= B= 53 04 12 107 89 求 AB。 解：AB= 53 04 12 107 89 105)8(3)7(593 100)8(4)7(094 10) 1()8(2)7() 1(92 = 268 3236 2625 说明：由于矩阵 B 有 2 列，矩阵 A 有 3 行，B 的列数A 的行数，所以 BA 无意义。 例 2、设 A 是一个行矩阵，B 是一个列矩阵，且n11n A= B=)( 21n aaa n b b b 2 1 求 AB 和 BA 解:AB=)( 21n aaa