2019届高考数学二轮复习教学专项三特色讲练数学传统文化学案.docx

专项三 特色讲练数学传统文化年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷三视图T3数学文化题是近几年课标全国卷中出现的新题型，预计在高考中，数学文化题仍会以选择题或填空题的形式考查，也不排除以解答题的形式考查，难度适中或容易.2017卷中国古代太极图与几何概型T2卷数列求和T32016卷秦九韶算法T8立体几何中的数学文化题立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的三视图、几何体的体积与表面积等 典型例题 (1)(2018郑州第二次质量预测)我国古代数学专著九章算术对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥某“鳖臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示，已知该几何体的高为2，则该几何体外接球的表面积为_(2)(2018黄冈模拟)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”“势”是几何体的高，“幂”是截面面积其意：如果两个等高的几何体在同高处的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等已知双曲线C的渐近线方程为y2x，一个焦点为(，0)直线y0与y3在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形OABN，则它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积为_【解析】(1)由该几何体的三视图还原其直观图，并放入长方体中，如图中的三棱锥ABCD所示，其中AB2，BCCD，易知长方体的外接球即三棱锥ABCD 的外接球，设外接球的直径为2R，所以4R2(2)2()2()282212，则R23，因此外接球的表面积S4R212.(2)由题意可得双曲线的方程为x21，直线y3在第一象限内与渐近线的交点N的坐标为，与双曲线在第一象限内的交点B的坐标为，在所得几何体中，在高为h处作一截面，则截面面积为，根据祖暅原理，可得该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同，故所得几何体的体积为3.【答案】(1)12(2)3(1)本例(1)以“鳖臑”为背景，考查由三视图还原几何体，并求几何体的表面积此类问题源于生活中的盖房问题这将引领师生关注生产、生活中的社会问题，体现数学文化“以数化人”的功能对于其他几何体，如“刍童”“羡除”等，需要给予关注(2)祖暅原理是我国古代数学家祖暅提出的一个关于几何体体积的著名定理，祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年人教A版必修2教材第30页专门介绍了祖暅原理本题取材于祖暅原理，既考查了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华优秀传统文化 对点训练算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A.B.C. D.解析：选A.依题意，设圆锥的底面半径为r，则Vr2hL2h(2r)2h，化简得.故选A.数列中的数学文化题数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n项和公式 典型例题 (1)九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗苗主责之粟五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿()A.斗粟B.斗粟C.斗粟D.斗粟(2)北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积设隙积共n层，上底由ab个物体组成，以下各层的长、宽依次增加一个物体，最下层(即下底)由cd 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为s(2ac)b(2ca)d(ca)，其中a是上底长，b是上底宽，c是下底长，d是下底宽，n为层数已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示，则该隙积中所有小球的个数为()A83B84C85D86【解析】(1)法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a1，a2，a3，则这3个数依次成等比数列，公比q2，所以a12a14a15，解得a1，故a3，a3a1，故选C.法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是124，故牛主人应赔偿5(斗)，羊主人应赔偿5(斗)，故牛主人比羊主人多赔偿了(斗)，故选C.(2)由三视图知，n5，a3，b1，c7，d5，代入公式s(2ac)b(2ca)d(ca)得s85，故选C.【答案】(1)C(2)C解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比(差)数列的概念、通项公式和前n项和公式 对点训练九章算术是我国古代的数学名著，书中均输章有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为()A.钱B.钱C.钱D.1钱解析：选D.因为甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a2d、ad、a、ad、a2d，则a2dadaada2d5，解得a1，即丙所得为1钱，故选D.算法中的数学文化题算法中的数学文化题一般以我国古代优秀算法为背景，考查程序框图 典型例题 (1)公元三世纪中期，数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并因此创立了割圆术利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n为(参考数据：sin 150.258 8，sin 7.50.130 5)()A12B24C36D48(2)我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，这蕴含了进位制的思想图中的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”执行该程序框图，若输入a110011，k2，n7，则输出的b()A19B31C51D63【解析】(1)按照程序框图执行，n6，S3sin 60，不满足条件S3.10，执行循环；n12，S6sin 303，不满足条件S3.10，执行循环；n24，S12sin 15120.258 83.105 6，满足条件S3.10，跳出循环，输出n的值为24，故选B.(2)按照程序框图执行，b依次为0，1，3，3，3，19，51，当b51时，ii17，跳出循环，故输出b51.故选C.【答案】(1)B(2)C辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制和割圆术都是课本上出现的算法案例其中，更相减损术和秦九韶算法是中国古代的优秀算法，课本上的进位制案例原本不渗透中国古代数学文化，但命题人巧妙地将烽火戍边的故事作为背景，强化了试题的“文化育人”功能 对点训练九章算术是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也以等数约之”翻译为现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数若是，用2约简；若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数现给出“更相减损术”的程序框图如图所示，如果输入的a114，b30，则输出的n为()A3B6C7D30解析：选C.a114，b30，k1，n0，a，b都是偶数，a57，b15，k2，a，b不满足都为偶数，ab不成立，ab成立，a571542，n011；ab不成立，ab成立，a421527，n112；ab不成立，ab成立，a271512，n213；ab不成立，ab不成立，a15，b12，a15123，n314；ab不成立，ab不成立，a12，b3，a1239，n415；ab不成立，ab成立，a936，n516；ab不成立，ab成立，a633，n617；ab成立，输出的kb6，n7.概率中的数学文化题概率中的数学文化题一般以优秀传统文化为背景，考查古典概型和几何概型 典型例题 (1)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，田忌获胜的概率是()A.B.C.D.(2)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被函数y3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径均为1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A.B.C.D.【解析】(1)从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，对阵情况如下表：齐王的马上上上中中中下下下田忌的马上中下上中下上中下双方马的对阵中，有3种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率P.故选A.(2)函数y3sin x的图象与x轴相交于点(6，0)和点(6，0)，则大圆的半径为6，面积为36，而小圆的半径为1，两个小圆的面积和为2，所以所求的概率是.故选B.【答案】(1)A(2)B(1)本例(1)选取田忌赛马这一为人熟知的故事作为背景，考查了古典概型，趣味性很强，利于缓解考生在考场的紧张心理，体现了对考生的人文关怀(2)本例(2)以中国优秀传统文化太极图为背景，考查几何概型，角度新颖，所给图形有利于考生分析问题和解决问题，给出了如何将抽象的数学问题形象化的范例 对点训练九章算术是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是()A.B.C.D.解析：选C.因为该直角三角形两直角边长分别为5步和12步，所以其斜边长为13步，设其内切圆的半径为r，则512(51213)r，解得r2.由几何概型的概率公式，得此点取自内切圆内的概率P.故选C.三角函数中的数学文化题三角函数中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的几何测量问题或几何图形为背景，考查解三角形或三角变换 典型例题 (2018益阳、湘潭调研)数书九章中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”若把这段文字写成公式，即S，现有周长为2的ABC满足sin Asin Bsin C(1)(1)，用上面给出的公式求得ABC的面积为()A.B.C.D.【解析】由正弦定理得sin Asin Bsin Cabc(1)(1)，可设三角形的三边分别为a(1)x，bx，c(1)x，由题意得(1)xx(1)x(2)x2，则x1，故由三角形的面积公式可得ABC的面积S，故选B.【答案】B我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S，其中p(abc)在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白，从中可以看出我国古代已经具有很高的数学水平，人教A版必修5教材对此有专门介绍本题取材于教材中出现的“三斜求积”公式，考查了运算求解能力，同时也传播了中华优秀传统文化 对点训练第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为，那么tan_解析：依题意得大、小正方形的边长分别是5，1，于是有5sin 5cos 1(0)，即有sin cos .从而(sin cos )22(sin cos )2，则sin cos ，因此sin ，cos ，tan ，故tan7.答案：7函数中的数学文化题函数中的数学文化题一般以中华优秀传统文化为背景，考查函数的图象与性质 典型例题 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美定义：图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，给出下列命题：对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个；函数f(x)ln(x2)可以是某个圆的“太极函数”；正弦函数ysin x可以同时是无数个圆的“太极函数”；函数yf(x)是“太极函数”的充要条件为函数yf(x)的图象是中心对称图形其中正确的命题为()ABCD【解析】过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个，故正确；函数f(x)ln(x2)的图象如图所示，故其不可能为圆的“太极函数”，故错误；将圆的圆心放在正弦函数ysin x图象的对称中心上，则正弦函数ysin x是该圆的“太极函数”，从而正弦函数ysin x可以同时是无数个圆的“太极函数”，故正确；函数yf(x)的图象是中心对称图形，则yf(x)是“太极函数”，但函数yf(x)是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图，故错误故选A.【答案】A中华太极图，悠悠千古昭著于世，像朝日那样辉煌宏丽，又像明月那样清亮壮美它是我们华夏先祖的智慧结晶，它是中国传统文化的骄傲象征，它更是中华民族献给人类文明的无价之宝试题通过太极图展示了数学文化的民族性与世界性 对点训练在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且BDCD，ABBDCD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若PBD的面积为f(x)，则函数yf(x)的图象大致是()解析：选A.如图，作PQBC于Q，作QRBD于R，连接PR，则PQAB，QRCD.因为PQBD，又PQQRQ，所以BD平面PQR，所以BDPR，即PR为PBD中BD边上的高设ABBDCD1，则，即PQ，又，所以QR，所以PR，所以f(x)，故选A.一、选择题1(2018合肥模拟)我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(u)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是()A五寸B二尺五寸C三尺五寸D四尺五寸解析：选B.设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列an，公差为d，a115，a13135，则1512d135，解得d10.所以a2151025，所以小暑的晷长是25寸故选B.2(2018益阳、湘潭调研)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为()A15B16C47D48解析：选D.执行程序框图，n3，x3，v1，i20，v1325，i10，v53116，i00，v163048，i10.05，不满足条件，则n20，b2.939，a20sin 3.090，此时|ab|0.1510.05，不满足条件，则n40，b3.090，a40sin 3.128，此时|ab|0.0380.05，满足条件，故输出的n40.故选B.9我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式：设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则ABC的面积S.若a2sin C4sin A，(ac)212b2，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为()A.B2C3D.解析：选A.根据正弦定理，由a2sin C4sin A，得ac4.再结合(ac)212b2，得a2c2b24，则S，故选A.10中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，九章算术注曰：“倍上袤，下袤从之亦倍下袤，上袤从之各以其广乘之，并，以高乘之，六而一”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为()A.B.C39D.解析：选B.设下底面的长为x，则下底面的宽为9x.由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V3(32x)2(2x3)(9x)x2，故当x时，体积取得最大值，最大值为.故选B.11(2018昆明模拟)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”“幂”是截面面积，“势”是几何体的高意思是：若两个等高几何体在同高处的截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等现在一旋转体D(如图1所示)，它是由抛物线yx2(x0)，直线y4及y轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周形成的几何体，旋转体D的参照体的三视图如图2所示，利用祖暅原理，则旋转体D的体积是()A.B6C8D16解析：选C.由三视图知参照体是一个直三棱柱，其体积V448，故旋转体D的体积为8，故选C.12(2018郑州第一次质量预测)刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，九章算术中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广刍，草也甍，屋盖也”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍字面意思为茅草屋顶”如图为一个刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该茅草屋顶的面积为()A24B32C64D32解析：选B.由三视图可知该几何体的直观图如图所示，其中S四边形ABEDS四边形ACFD，SABCSDEF.过点A向平面BCFE作垂线，垂足为A，作AMCF于点M，作ANBC于点N，连接AN，易知AA4，ANCM2，CNBC2.在RtAAN中，AN2，在RtANC中，AC2，在RtAMC中，AM2.所以S四边形ACFD(48)212，SABCBCAN424.所以该茅草屋顶的面积为2122432，故选B.二、填空题13我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第_天时，蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 30.477 1，lg 20.301 0)解析：由题意得，蒲草的长度组成首项为a13，公比为的等比数列an，设其前n项和为An；莞草的长度组成首项为b11，公比为2的等比数列bn，设其前n项和为Bn.则An，Bn，令，化简得2n7(nN*)，解得2n6，所以n13，即第3天时蒲草和莞草长度相等答案：314我国古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n_解析：第一次循环，得S2，否；第二次循环，得n2，a，A