无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器的设计方法.ppt

第六章 无限长单位冲激响应（IIR） 数字滤波器的设计方法,6.1 引言 6.2 全通系统 6.4 用模拟滤波器设计IIR数字滤波器 6.5 冲激响应不变法 6.7 双线性变换法,数字滤波器的设计一般包括： （1）按照任务要求确定滤波器的性能要求 （2）用系统函数去逼近这一性能的要求 （3）利用有限精度算法来实现这个系统函数 （4）实际的技术实现 本章主要讨论逼迫性性能要求或系统函数的设计问题。,6.1 引言,1 ：通带容限 2： 阻带容限 c: 通带截止频率 st: 阻带截止频率,2,0,2,0,2,0,3,0,2,2,0,低通,高通,带通,带阻,全通,频率变量是以数字频率来表示， 因此数字域的抽样频率为2。 根据抽样定理，频率特性只能限于| | s/2= 数字滤波器的系统函数为H(z)，它在Z平面单位圆上 的值就是滤波器频率响应H(ej)。 表征数字滤波器频率响应特性的三个参量是 幅度平方响应、相位响应、群延迟,1. 幅度平方响应 由于 的极点既是共轭的，又是以单位圆对 称的，故只取单位圆内的极点作为 的极点。,这是根据傅立叶变换的性质（P73），当h(n)为实序列的时，满足,2.相位响应,由于 所以 由于 所以又有,3.群延迟响应,它是滤波器平均延迟的一个度量 可以化为 由于 所以 因而又有,同样可化为 当滤波器为线性相位响应特性时，则通带内 延迟特性为常数。,IIR滤波器逼迫问题,IIR系统函数 就是去求出滤波器的各系数 ，使得在规定意义上(如 通带起伏及阻带衰减的要求或采用最优化准则)，逼近所要 求特性。在z平面上逼近，得到数字滤波器。 设计方法： （1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成 满足指标的数字滤波器。 （2）计算机辅助设计方法。,6.3 全通系统,定义：是指系统频率响应的幅度在所有频率下均 为1或某一常数的系统。满足 简单一阶全通系统函数 零极点图,高阶有理全通系统由一串一阶系统组成，可以包含实零点实极点系统；还可以包括复数零点复数极点系统；多个这两类系统的级联就组成一个高阶全通网络系统。 复数零点复数极点的全通节的系统函数,一般来说，N阶数字全通系统的系统函数频率响应 的模都为1。 证明：N阶全通系统函数为 式中 当 时，满足 所以有,全通系统应用,（1）任何一个因果稳定的（非最小相位延时）系统的H(z)都可以表示为全通系统 和最小相位延时系统 的时延。 它们频率响应的幅度相同，相位不同。即,证明：设一个因果稳定的非最小相位延时系统H(z)为 （6.24） 将6.24式表示为 由于 ，所以 是最小相位延时， 是全通级联。所以可表示为,（2）如果设计出的滤波器是非稳定的，则可用级 联全通函数的办法将它变成一个稳定系统。 例：原滤波器有一对极点在单位圆外 级联一个全通系统 则可将单位圆外极点抵消，但不改变系统幅度特 性。,（3）可以作为相位均衡器（群时延均衡器）用， 来得到线性相位，但不改变幅度特性。 IIR滤波器其相位特性为非线性的，因而群延时不 为常数，而在视频信号的传输中希望系统具有线性 相位。 设全通滤波器为 ，系统为 级联后H(z) 即 相位关系,按 得 当通带中满足 是常数 则逼近误差的平方值 利用均方误差最小的准则就可以求得均衡器有关 的参数。,6.4 用模拟滤波器设计IIR数字滤波器,方法：利用模拟滤波器设计数字滤波器就是要 把s平面映射到z平面，使模拟系统函数 变 换成所需的数字滤波器的系统函数 。 基本要求： （1） 的频响特性应能模仿 的频率响应 （2）因果稳定的 就能映射成因果稳定 几种映射方法：冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法。,6.5 冲激响应不变法,一、变换原理 冲激响应不变法是使数字滤波器的单位冲激响应序列 h(n)模仿模拟滤波器的单位冲激响应 。即抽样满 足 抽样序列的Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系,z=est从S平面变换到Z平面的变换关系。 z=rej s= + jt z=rej= e(+ j)t= ete+jt r=et =T,S平面,Z平面,3/T,/T,-/T,-3/T,0,0,1,-1,j,jImz,Rez,二、混叠失真,数字滤波器和模拟滤波器频率响应之间关系 只有当 才能在折叠频率内重现模拟滤波器响应而不产生 混叠失真，即,注意： （1）模拟滤波器频率响应在折叠频率以上衰 减快、大，变换后混叠失真越小。 （2）当 增加，可减小混叠效应。 （3）当滤波器指标用数字域 给定时，若 不变，用减小T的方法就不能解决混叠问题。,三、模拟滤波器的数字化方法,设模拟滤波器的系统函数 只有单阶极点，且假 定分母的阶次大于分子的阶次。展开部分分式 其相应的冲激响应 是 的拉普拉斯变换即,对h(n)求z变换，得数字滤波器系统函数,和H(z)比较结果分析： （1）s平面的单极点 变换到z平面上 处的单极点。 （2）两者部分分式的系数是相同的，都是 （3）如果模拟滤波器是稳定的，则数字滤波器也 是稳定的。 （4）能保证两者极点代数对应关系，但不保证整 个s与z的代数对应关系。零点就没有这种关 系。而是随 的极点及系数两者而变化。,6.31式看出，数字滤波器频率响应还与抽样间隔T 成反比。当抽样频率高时（T很小），滤波器增益会 太高。 修正方法： 令 则有 及 因 ， 共轭极点，其 变成H(z)关系,例6.1 设模拟滤波器的系统函数为 试利用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器。 解：直接利用6.36式可得数字滤波器的系统函数为 设T1，则有,模拟滤波器与数字滤波器的频率响应分别为,冲激不变响应法优缺点： 数字滤波器的冲激响应完全模仿模拟滤波器的 冲激响应，也就是时域逼近良好，模拟频率和数 字频率之间呈线性关系。 由于存在混叠失真，因此只适应限带的模拟滤 波器。,6.7 双线性变换法,目的：主要用来克服混叠现象。 一、变换原理 双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与 模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法。 首先把整个s平面压缩变换到某一中介的s1平面的 一条横带里(即从-/T到/T)； 其次再通过上面讨论过的标准变换关系 , 将此横带变换到整个z平面上去,这样就使s平面与 z平面一一对应来消除混叠。,双线性变换法的映射关系,将s平面整个j轴压缩变换到s1平面j1轴上的 /T到/T一段，可以采用的变换方式： 这样， 变到 ， 变到 ， 上式可以写成： 解析延拓到s平面和s1平面，令 则,再将s1平面通过以下标准变换关系映射到z平面 从而得到s平面和z变换的单值映射关系 为使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频 率有对应关系引入待定常数c， (6-55),仍将 代入，可得 上两式是s平面与z平面之间的单值映射关系， 这种变换就称为双线性变换。,二、变换常数c的选择,不同c可以使模拟滤波器与数字滤波器频率特性在 不同频率处有对应关系，也就是可以调节频带间 的对应关系。有两种方法： （1）使两种滤波器在低频处有较明确的对应关系。 即低频时 ,当 较小有 由6-55式及 可得 因而得 此时两者低频特性近似。,（2）采用数字滤波器的某一特定频率与模拟原型滤波器的一个特定频率相对应，即 则有 这种方法的主要优点是在特定的模拟和数字频率 处，频率响应严格相等。可准确的控制截止频率 的位置。,三、优缺点,模拟角频率与数字频率之间的 变换关系 当零频附近呈线性关系，当增加 时，就存在非线性关系。 其产生两个问题： （1）经双线性变换不能保持原有相位。 （2）这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的。,解决办法：将频率加以预畸，即利用 将数字滤波器的截止频率（即临界频率）变换成模 拟频率，利用这组模拟频率来设计模拟带通滤波 器，这是我们要求的模拟原型。 对这个模拟原形滤波器采用双线性变换，即可以得 到所需要的数字滤波器。,四、模拟滤波器数字化方法,利用双线性变换将模拟滤波器数字化的办法： （1）s到z之间的变换是简单的代数关系，可以将 模拟滤波器的系统函数用代数置换得到数字滤波 器的系统函数： （2）先将模拟系统分解为并联