山西省太原市2019届高三数学上学期阶段性（期中）考试试题（含解析）.docx

山西省太原市2019届高三数学上学期阶段性（期中）考试试题（含解析）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每出的小题给四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母代码填入下表相应位置）1.已知集合M=，N=，则MN=A. （0,1） B. （，1）（2，+）C. （1,0） D. （，2）（1，+）【答案】B【解析】【分析】解出集合M，N，然后进行并集的运算即可【详解】M=x|1x1，N=x|x0，或x2；MN=x|x1，或x2=（，1）（2，+）故选：B【点睛】考查绝对值不等式和一元二次不等式的解法，描述法的定义，以及并集的运算2.函数的定义域是( )A. （0,1） B. C. D. 0,1【答案】C【解析】【分析】求函数定义域只需保证函数各部分有意义即可【详解】由 解得0x1，所以函数f（x）的定义域为（0，1故选：C【点睛】本题考查函数定义域的求法，一般说来给出的函数要保证函数解析式有意义3.给定函数：；，其中在区间上单调递减的函数序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】视频4.已知等比数列中，+=，=，则=A. B. C. 4 D. 4【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出结果【详解】等比数列an中，a1+a2=，a1a3=， ，解得，a4=1（）3=故选：A【点睛】本题考查利用等比数列的通项公式求第4项的方法，也考查运算求解能力，是基础题5.巳知函数，则=A. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意先求出log23的范围为（1，2），然后结合函数的解析式可得f（log23）=f（1+log23）=【详解】由题意可得：1log232，因为函数，所以f（log23）=f（1+log23）=故选：C【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握对数与指数的有关运算，并且加以正确的计算6.函数的单调递减区间是A. (3，1) B. (0,1) C. (1,3) D. (0，3)【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可【详解】函数的定义域是（0，+），y=1+= ，令y（x）0，解得：0x1，故函数在（0，1）递减，故选：B【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，是一道常规题7.周碑算经中有这样一个问题：从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为尺,前九个节气日影长之和为尺,则小满日影长为( )A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺【答案】B【解析】设各节气日影长依次成等差数列，是其前项和，则=85.5，所以=9.5，由题知=31.5，所以=10.5，所以公差=1，所以=2.5，故选B8.函数的图象大致如图所示，则下列结论正确的是 A. 0，0，0 B. 0，0C. 0，0 D. 0，0，0【答案】A【解析】【分析】当x=c时，函数值不存在，结合函数图象得c0，当x=0时，f（0）=b，结合函数图象得b0，由此利用排除法能求出结果【详解】函数f（x）=，x=c时，函数值不存在，结合函数图象得c0，排除B和D；当x=0时，f（0）=，结合函数图象得b0，排除C故选：A【点睛】本题考查命题真假的判判断和函数的图象和性质等基础知识，同时也考查化归与转化思想，是基础题9.已知+1（）在（0，+）内有且只有一个零点,则在1,1上的值域为A. 4,0 B. 4,1 C. 1,3 D. ，12【答案】B【解析】【分析】f（x）=2x（3xa），x（0，+），当a0时，f（x）=2x（3xa）0，f（0）=1，f（x）在（0，+）上没有零点；当a0时，f（x）=2x（3xa）0的解为x，f（x）在（0，）上递减，在（，+）递增，由f（x）只有一个零点，解得a=3，从而f（x）=2x33x2+1，f（x）=6x（x1），x1，1，利用导数性质能求出f（x）在1，1上的值域即可【详解】函数f（x）=2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，f（x）=2x（3xa），x（0，+），当a0时，f（x）=2x（3xa）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+）上没有零点，舍去；当a0时，f（x）=2x（3xa）0的解为x，f（x）在（0，）上递减，在（，+）递增，又f（x）只有一个零点，f（）=+1=0，解得a=3，f（x）=2x33x2+1，f（x）=6x（x1），x1，1，f（x）0的解集为（1，0），f（x）在（1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（1）=4，f（0）=1，f（1）=0，f（x）min=f（1）=4，f（x）max=f（0）=1，故函数的值域是4，1，故选：B【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，进行分类讨论求最值，再求出值域，同时也考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题10.巳知集合P=，Q=，将PQ的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前n项和，则使得1000成立的的最大值为A. 9 B. 32 C. 35 D. 61【答案】C【解析】【分析】数列an的前n项依次为：1，2，3，22，5，7，23，利用分组成等差数列和等比数列的前n项和公式求解.【详解】数列an的前n项依次为：1，2，3，22，5，7，23，利用列举法可得：当n=35时，PQ中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列an，所以数列an的前35项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，69，2，4，8，16，32，64Sn=29+ +=29+=9671000所以n的最大值35.故选：C【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11.已知是定义在R上的奇函数，且满足，=1，数列满足=1， （），其中是数列的前n项和，则=A. 2 B. 1 C. 0 D. 1【答案】A【解析】【分析】推导出Sn=2an+n，从而an=SnSn1=2an+n2an1（n1），得an1是首项为2，公差为2的等比数列，求出a5=31，a6=63，由f（2x）=f（x），f（1）=1，得f（x）关于直线x=1对称，由函数f（x）是定义在R上的奇函数，得到函数f（x）是一个周期函数，且T=4，由此能求出f（a5）+f（a6）【详解】数列an满足a1=1，（nN+），其中Sn是数列an的前n项和，Sn=2an+n，an=SnSn1=2an+n2an1（n1），整理，得=2，a11=2，an1是首项为2，公差为2的等比数列，an1=22n1，an=122n1a5=1224=31，=63，f（2x）=f（x），f（1）=1，f（x）关于直线x=1对称，又函数f（x）是定义在R上的奇函数函数f（x）是一个周期函数，且T=4，f（a5）+f（a6）=f（31）+f（63）=f（3231）+f（6463）=f（1）+f（1）=f（1）f（1）=11=2故选：A【点睛】本题考查函数值的求法，考查等比数列、函数的奇偶性和周期性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题12.已知定义在(0,+)上的可导函数，满足，则下列结论正确的是A. B. C. 【答案】A【解析】【分析】根据条件构造新函数g（x）=xf（x），求函数的导数，结合函数的单调性与选项即可得到结论【详解】xf（x）=（x1）f（x），f（x）+xf（x）=xf（x）设g（x）=xf（x），则g（x）=f（x）+xf（x），即g（x）=g（x），则g（x）=ex，则g（x）=xf（x）=ex，则f（x）=，（x0），函数的导数f（x）=，由f（x）0得x1，此时函数单调递增，由f（x）0得0x1，此时函数单调递减，即当x=1时，函数f（x）取得极小值， 所以 故选：A【点睛】本题主要考查函数与导数的关系，根据条件构造新函数，再利用导数研究新函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强，难度较大二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13.已知集合A=1，0，1，B=，若AB=0，则B=_；【答案】0,3【解析】【分析】根据AB=0可得出0B，进而求出m=0，解方程x23x=0即可求出集合B【详解】AB=0；0B；m=0；B=0，3故答案为：0，3【点睛】考查描述法、列举法的定义，元素与集合的关系，交集的定义及运算14.已知函数在=0处的切线经过点(1,1)，则实数=_；【答案】-3【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到f（0），再求出f（0），求出切线方程，然后求解a即可；【详解】y=（ax+1）ex，f（x）=（ax+a+1）ex，f（0）=a+1，又f（0）=1，切线方程为：y1=（a+1）（x0）函数y=（ax+1）ex在x=0处的切线经过点（1，1），可得：11=a+1，解得a=3故答案为：3【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上的某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，是中档题15.在数列中，=1，=（），记为数列的前n和项，若=，则=_；【答案】49【解析】【分析】由条件可得=，运用数列恒等式：an=a1 ，化简可得an=，可得=2（），由裂项相消求和可得所求和Sn，解方程可得n的值【详解】数列an中，a1=1，an=an1（n2），可得=，即有an=a1=1 =，可得=2（），则Sn=2（1+）=2（1），由Sn=，即有2（1）=，解得n=49故答案为：49【点睛】本题考查数列的通项公式和求和，注意运用数列恒等式和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题16.已知函数=，若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是_；【答案】(0,1)【解析】【分析】由题意设g（x）=exex2x，xR，则g（x）是定义域R上的奇函数，且为增函数；问题等价于g（x2+a）g（2ax）恒成立，得出x2+a2ax，利用判别式0求得实数a的取值范围【详解】函数f（x）=exex2x+1，xR；可设g（x）=exex2x，xR；则f（x）=g（x）+1，且g（x）=exex+2x=（exex2x）=g（x），g（x）是定义域R上的奇函数；又g（x）=ex+ex20恒成立，g（x）是定义域R上的增函数；不等式f（x2+a）+f（2ax）2恒成立，化为g（x2+a）+g（2ax）+22恒成立，即g（x2+a）g（2ax）=g（2ax）恒成立，x2+a2ax恒成立，即x2+2ax+a0恒成立；=4a24a0，解得0a1，实数a的取值范围是（0，1）故答案为：（0，1）【点睛】本题考查了利用新构造函数，用导数判定新函数的单调性和利用奇偶性来解决问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是中档题三、解答题(本大题共4小题,共40分.解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知集合A=，B=|；(1)求AB;(2)若=，求函数的值域.【答案】(1)1,2) (2)【解析】【分析】（1）分别求出集合A，B，由此能求出AB（2）由AB=x|1x2，f（x）=（）x+在1，2）上是减函数，能求出函数f（x）的值域【详解】（1）集合A=x|12=x|1x4，B=y|y=log2x，xA=y|0y2，AB=x|1x2（2）由（1）得AB=x|1x2，f（x）=（）x+在1，2）上是减函数，f（1）=，f（2）=，函数f（x）的值域为【点睛】本题考查交集的求法，考查函数的值域的求法与函数的性质等基础知识，是基础题18.已知数列中，+=2（），数列满足=（）(1)求数列和的通项公式；(2)若= （），求数列的前n项和；【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和【详解】（1）数列an中，Sn+an=2（nN+），当n=1时，S1+a1=2a1=2，解得：a1=1，当n2时，Sn1+an1=2，由得：，所以：数列an是以a1=1为首项，为公比的等比数列故由于数列bn满足bn=log2an+1（nN+）则：（2）由（1）得：，所以：，得：，解得：【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于常见题型19.已知函数=，其中a0,且a1(1)判断的奇偶性，并证明你的结论;(2)若关于的不等式|在1,1上恒成立,求实数a的取值范围【答案】(1)偶函数 (2) 【解析】【分析】（1）函数f（x）是定义域R上的偶函数，用定义法证明即可；（2）由f（x）是R上的偶函数，问题等价于f（x）x在0，1上恒成立；讨论x=0和x0时，求出实数a的取值范围【详解】（1）函数f（x）=x（）是定义域R上的偶函数，证明如下：任取xR，则f（x）=x（）=x（），f（x）f（x）=x（）x（）=x（1）=0，f（x）=f（x），f（x）是偶函数；（2）由（1）知f（x）是R上的偶函数，不等式f（x）|x|在1，1上恒成立，等价于f（x）x在0，1上恒成立；显然，当x=0时，上述不等式恒成立；当x0时，上述不等式可转化为，ax在0，1上恒成立，a1或a1，求实数a的取值范围是，1）（1，+）【点睛】本题考查了用定义法判断函数的奇偶性问题和利用偶函数的性质求参数的范围问题，再转化为不等式恒成立问题，进行分类讨论，是中档题20.已知函数=，；(1)讨论的单调性;(2)若不等式在(0,1)上恒成立,求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）求出导函数后，按a0，0a，a=，a分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求单调区间（2）由（1）的单调性分类求f（x）的最小值，用最小值使不等式成立代替恒成立【详解】（1）f（x）=ax2+（12a）x2lnx，x0，f（x）=，当a0时，令f（x）0，得0x2；令f（x）0，得x2；当a0时，令f（x）=0，得x=或x=2；（）当2，即时，令f（x）0，得0x2或x；令f（x）0，得 2x；（）当=2时，即a=时，则f（x）0恒成立；（）当2时，即a时，令f（x）0，得0x或x2； 令f（x）0，得x2；综上所述：当a0时，f（x）在（0，2）上递减，在（2，+）上递增；当时，f（x）在（0，2）和（，+）上递减，在（2，）上递增；当a=时，f（x）在（0，+）上递减；当a时，f（x）在（0，）和（2，+）上递减，在（，2）上递增（2）由（1）得当a时，f（x）在（0，1）上递减，f（1）=1a，；当a时，（）当1，即a1时，f（x）在（0，）上递减，在（，1）上递增，f（）=2+2ln（a）2，a1符合题意；（）当1，即1a时，f（x）在（0，1）上递增，f（1）=1a，1a符合题意；综上，实数a的取值范围为（，【点睛】本题主要考查函数单调性的判断，先求出函数的导数，用二次函数开口和根的大小讨论导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键，注意要对a进行分类讨论，最后求最值，属于中档题第II卷(选做题共30分)一、选择题(本大题共2小题,每小题5分,满分10分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请将其字母代码填入下表相应位置)21.在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(1,1),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标为A. (1，) B. (，) C. (cosl，sin1) D. (cos1,sin1)【答案】B【解析】【分析】推导出=，tan=1，从而=，由此能求出点P的极坐标【详解】在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（1，1），=，tan=1，=点P的极坐标为（，）故选：B【点睛】本题考查点的极坐标的求法，直角坐标与极坐标的互化等基础知识， 考查数形结合思想，是基础题22.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=x与曲线（是参数，）,有公共点,则下列说法正确的是A. 0t C. = D. =【答案】B【解析】【分析】将曲线的参数方程代入直线y=x的方程，并化简得 ，结合条件t0，于是得到0，于是得出答案【详解】将代入y=x得2+tcos=tsin，即t（sincos）=2，所以，因为t0，且t，所以0故选：B【点睛】本题考查参数方程与普通方程之间的转化，考查对公式的应用与转化能力，属于中等题二、填空題(本大题共2小题,每小题5分,满分10分)23.在平面直角坐标系xOy中，曲线：（是参数），曲线：（是参数），若曲线与相交于A,B两个不同点，则|AB|=_；【答案】【解析】【分析】首先把方程转换为直角坐标方程，进一步利用方程组，根据一元二次方程根和系数的关系求出A、B的坐标，在求出|AB|的长【详解】曲线C1：（t是参数），转换为直角坐标方程为：xy1=0，曲线C2：（是参数），转换为直角坐标方程为： ，建立方程组： ，得到：3x24x=0，解得：x=0或所以：A（0，1），B（ ），所以：|AB|=故答案为： 【点睛】本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型24.在极坐标系中,点P的坐标为(1,),点Q是曲线=2上的动点,则|PQ|的最大值为_；【答案】2【解析】【分析】直接利用方程之间的转换，利用两点间的距离公式求出结果【详解】点P的坐标为（1，），转换为直角坐标为P（0，1），曲线2（1+sin2）=2，转换为直角坐标方程为： ，则：点P（0,1）到（0，1）的距离最大最大距离为2故答案为：2【点睛】本题考查直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用三、解答题(本大题共1小题,满分10分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤)25.在平面直角坐标系xOy中,曲线：=0(a0)，曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系；(1)求曲线，的极坐标方程;(2)已知极坐标方程为=的直线与曲线，分别相交于P，Q两点（均异于原点O），若|PQ|=1，求实数a的值；【答案】(1) (2)2【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换（2）利用（1）的结论，进一步利用极径求出参数的值【详解】（1）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x22ax+y2=0（a0），转换为极坐标方程为：2=2acos，即：=2acos曲线C2的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为：x2+（y1）2=1，转换为极坐标方程为：=2cos（2）已知极坐标方程为=的直线与曲线C1，C2分别相交于P，Q两点，由，得到：P（），Q（），由于：|PQ|=21，所以：，解得：a=2【点睛】本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力选修45 不等式选讲一、选择题(本大题共2小题,每小题5分,满分10分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请将其字母代码填入下表相应位置)26.不等式的解集为A. （0,1） B. （，0）（1，+）C. （1,0） D. （，1）（1，+）【答案】B【解析】【分析】由|2x1|1得2x11，或2x1-1解之即可【详解】由|2x1|1得2x11，或2x1-1解得x1或x0故选：B【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，分两种情况讨论，属于基础题.27.若关于的不等式在（，1上恒成立，则实数的取值范围为A. 1，+） B. （，1 C. 3，+） D. （，3【答案】A【解析】【分析】由题意可得m（|x+1|x2|）max，讨论x1，1x1时，求得|x+1|x2|的最大值，由恒成立思想可得所求m的范围【详解】关于x的不等式|x+1|x2|