北京市东城区2012-2013第一学期高三年级期末数学统一练习理科.doc

东城区东城区 2012-20132012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学高三数学（理科）（理科） 一、本大题共一、本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。分。 （1）设集合，则满足的集合 B 的个数是1,2A 1,2,3AB （A） (B) (C) (D)1348 （2）已知是实数，是纯虚数，则等于 a i 1 i a a （A） （B） （C） （D）1122 （3）已知为等差数列，其前项和为，若，则公差等于 n an n S 3 6a 3 12S d （A） （B） （C） （D）1 5 3 23 （4）执行如图所示的程序框图，输出的k的值为 （A） （B） （C） （D）4567 （5）若，是两个非零向量，则“”是“”的abababab （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （6）已知，满足不等式组当时，目标函数xy 0, 0, , 24. x y xys yx 35s 最大值的变化范围是yxz23 （A） （B） （C） （D）6,157,156,87,8 （7）已知抛物线 2 2ypx的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交 22 1 79 xy 点为K，点A在抛物线上且|2 |AKAF，则的面积为AFK （A）4 （B）8 （C）16 （D）32 （8）给出下列命题：在区间上，函数,中有三个是增函(0,) 1 yx 1 2 yx 2 (1)yx 3 yx 数；若，则；若函数是奇函数，则的图象关log 3log 30 mn 01nm( )f x(1)f x 于点对称；已知函数则方程 有个实数根，其(1,0)A 2 3 3,2, ( ) log (1),2, x x f x xx 1 ( ) 2 f x 2 中正确命题的个数为 （A） （B） （C） （D）1234 第第卷卷（共 110 分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分。分。 （9）若，且，则 3 sin 5 tan0cos （10）图中阴影部分的面积等于 （11）已知圆：，则圆心的坐标为 ；C 22 680xyxC 若直线与圆相切，且切点在第四象限，则 ykxCk （12）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （13）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价,%p 第二次提价；方案乙：每次都提价，若，则提%q% 2 pq 0pq 价多的方案是 . （14）定义映射，其中，已知对所有的有序正整数对:fAB( , ),Am n m nRB R 满足下述条件:( , )m n ；若，；，( ,1)1f mnm( , )0f m n (1, ) ( , )( ,1)f mnn f m nf m n 则 ， (2,2)f( ,2)f n 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15） （本小题共 13 分） 已知函数 2 ( )3sin coscosf xxxxa （）求的最小正周期及单调递减区间；( )f x （）若在区间上的最大值与最小值的和为，求的值( )f x, 6 3 3 2 a （16） （本小题共 13 分） x y O1 3 y=3x2 已知为等比数列，其前项和为，且. n an n S2n n Sa * ()nN （）求的值及数列的通项公式；a n a （）若，求数列的前项和.(21) nn bna n bn n T （17） （本小题共 14 分） 如图，在菱形中，是的中点， 平面，且在矩ABCD60DAB EABMAABCD 形中，ADNM2AD 3 7 7 AM （）求证：；ACBN （）求证： / 平面；ANMEC （）求二面角的大小.MECD （18） （本小题共 13 分） 已知，函数aR( )ln1 a f xx x （）当时，求曲线在点处的切线方程；1a ( )yf x(2,(2)f （）求在区间上的最小值( )f x0,e （19） （本小题共 13 分） AB C D E N M 在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设点的xOyP(3 0)，( 3 0)，4P 轨迹为曲线 ，直线 过点 且与曲线交于，两点Cl( 1,0)E CAB （）求曲线的轨迹方程；C （）是否存在面积的最大值，若存在，求出的面积；若不存在，说明理由.AOBAOB （20） （本小题共 14 分） 已知实数组成的数组满足条件： 123 ( ,) n x x xx ； . 1 0 n i i x 1 1 n i i x () 当时，求，的值；2n 1 x 2 x （）当时，求证：；3n 123 321xxx （）设,且， 123n aaaa 1n aa(2)n 求证：. 1 1 1 () 2 n iin i a xaa 东城区东城区 2012-20132012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准高三数学参考答案及评分标准 （理科）（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分）分） （1）C （2）B （3）C （4）A （5）C （6）D （7）D （8）C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分） （9） （10） （11） 4 5 1(3,0) 2 4 （12） （13）乙 （14） 754 10222 n 注：两个空的填空题第一个空填对得 3 分，第二个空填对得 2 分 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分）分） （15） （共 13 分） 解：（） 31 cos2 ( )sin2 22 x f xxa .3 分 1 sin(2) 62 xa 所以4 分T 由， 3 222 262 kxk 得 2 63 kxk 故函数的单调递减区间是（） 7 分( )f x 2 , 63 kk kZ （）因为， 63 x 所以 5 2 666 x 所以10 分 1 sin(2)1 26 x 因为函数在上的最大值与最小值的和，( )f x, 6 3 1113 (1)() 2222 aa 所以13 分0a （16） （共 13 分） 解：（）当时，.1 分1n 11 2Saa 当时，.3 分2n 1 1 2n nnn aSS 因为是等比数列， n a 所以，即5 分 1 1 1 221aa 1 1a 1a 所以数列的通项公式为.6 分 n a 1 2n n a * ()nN （）由（）得. 1 (21)(21) 2n nn bnan 则. 231 1 1 3 25 27 2(21) 2n n Tn . 231 21 23 25 2(23) 2(21) 2 nn n Tnn -得 9 分 21 1 12 22 22 2(21) 2 nn n Tn 21 12(222)(21) 2 nn n 1 14(21)(21) 2 nn n .12 分(23) 23 n n 所以.13 分(23) 23 n n Tn （17） （共 14 分） 解：（）连结，则.BDACBD 由已知平面，DN ABCD 因为，DNDBD 所以平面.2 分AC NDB 又因为平面，BN NDB 所以.4 分ACBN （）与交于，连结.CMBNFEF 由已知可得四边形是平行四边形，BCNM 所以是的中点.FBN 因为是的中点，EAB 所以.7 分/ANEF 又平面，EF MEC 平面，AN MEC 所以平面. 9 分/ANMEC （）由于四边形是菱形，是的中点，可得.ABCDEABDEAB 如图建立空间直角坐标系，则，, ，Dxyz(0,0,0)D( 3,0,0)E(0,2,0)C . 3 7 ( 3, 1,) 7 M F AB C D E N M y x z ，.10 分( 3, 2.0)CE 3 7 (0, 1,) 7 EM 设平面的法向量为.MEC( , , )x y zn 则 0, 0. CE EM n n 所以 320, 3 7 0. 7 xy yz 令.2x 所以.12 分 21 (2, 3,) 3 n 又平面的法向量，ADE(0,0,1)m 所以. 1 cos, 2 m n m n m n 所以二面角的大小是 60. 14 分MECD （18） （共 13 分） 解：（）当时，1a 1 ( )ln1f xx x ), 0( x 所以，.2 分 22 111 ( ) x fx xxx ), 0( x 因此 1 (2) 4 f 即曲线在点处的切线斜率为. 4 分)(xfy (2,(2)f 1 4 又， 1 (2)ln2 2 f 所以曲线在点处的切线方程为，)(xfy (2,(2)f 11 (ln2)(2) 24 yx 即6 分44ln240xy （）因为，所以( )ln1 a f xx x 22 1 ( ) axa fx xxx 令，得 8 分( )0fxxa 若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值 a0( )0fx f x0,e( )f x 若，当时，函数在区间上单调递减，0ea0,xa( )0fx f x0,a 当时，函数在区间上单调递增，,exa( )0fx f x,ea 所以当时，函数取得最小值10 分xa( )f xlna 若，则当时，函数在区间上单调递减，ea0,ex( )0fx f x0,e 所以当时，函数取得最小值12 分ex ( )f x e a 综上可知，当时，函数在区间上无最小值；a0 f x0,e 当时，函数在区间上的最小值为；0ea f x0,elna 当时，函数在区间上的最小值为13 分ea f x0,e e a （19） （共 13 分） 解.（）由椭圆定义可知，点的轨迹 C 是以，为焦点，长半轴长为 的椭P(3 0)，( 3 0)，2 圆3 分 故曲线的方程为 5 分C 2 2 1 4 x y （）存在面积的最大值. 6 分AOB 因为直线 过点，可设直线 的方程为 或（舍） l( 1,0)E l1xmy0y 则 2 2 1, 4 1. x y xmy 整理得 7 分 22 (4)230mymy 由 22 (2 )12(4)0mm 设 1122 ()()A xyB xy， 解得 ， 2 1 2 23 4 mm y m 2 2 2 23 4 mm y m 则 2 21 2 43 | 4 m yy m 因为 12 1 2 AOB SOEyy 10 分 2 2 2 2 232 1 4 3 3 m m m m 设， 1 ( )g tt t 2 3tm3t 则在区间上为增函数( )g t 3,) 所以 4 3 ( ) 3 g t 所以，当且仅当时取等号，即 3 2 AOB S0m max 3 () 2 AOB S 所以的最大值为13 分 AOB S 3 2 （20） （共 14 分） ()解： 12 12 0,(1) 1.(2) xx xx 由（1）得，再由（2）知，且. 21 xx 1 0x 2 0x 当时，.得，所以2 分 1 0x 2 0x 1 21x 1 2 1 , 2 1 . 2 x x 当时，同理得4 分 1 0x 1 2 1 , 2 1 . 2 x x （）证明：当时，3n 由已知,. 123 0xxx 123 =1xxx 所以 12311233 322()xxxxxxxx 13 xx .9 分 13 1xx （）证明：因为，且. 1in a