高考数学复习指导：导数及其应用.doc

海量资料 超值下载导数及其应用内容要求ABC导数的概念导数的几何意义导数的运算利用导数研究函数的单调性与极值导数在实际问题中的应用*简单的复合函数的导数1. 导数是高中数学中的重要内容,是解决实际问题的强有力的数学工具.高考对导数的考查也主要是突出它的“工具性”,即考查应用导数的知识、方法解决相关问题的能力.重点考查的内容包括导数的概念和计算及一些简单的应用,在考查的过程中注重与应用问题相结合,不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明.2. 在近几年的高考中,对导数知识的考查由浅入深,已成为每年必考的知识点.若以填空题的形式出现,应是基础题,难度不大;但若以解答题的形式出现,应属综合题,不排除将导数知识与解析几何、立体几何(如2011年高考江苏卷第17题、2013年高考重庆文科卷第20题就考查了导数与立体几何相结合的问题)、函数的单调性(如2013年高考江苏卷第20题就考查了利用导数来确定含参函数的单调性问题)、极值、最值,二次函数,方程,不等式(如2014年高考江苏卷第19题就考查了导数与含参不等式恒成立相结合的问题),代数证明等知识进行交汇、综合.3. 从这几年的高考来看,导数的常考题型有:简单的函数求导(若是复合函数仅限于形如f(ax+b)的形式的函数求导)和利用导数的几何意义解决曲线斜率、倾斜角及切线的有关问题.其中“函数y=f(x)在x=x0处的导数即表示曲线在点P(x0, f(x0)处的切线斜率”是最常考的几何意义之一(如2014年北京卷第20题,福建卷第22题,广东卷第11题就考查了导数的几何意义).应用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性,应用导数求函数的极值和最值等.这里的函数若是多项式函数,则它的次数要求不超过三次(如2011年江西理科卷第19题,就考查了利用导数来解决三次函数的单调性问题及求函数最值问题).应用导数解决实际问题,即从实际问题出发,建立函数模型,解决实际问题(如2013年重庆文科卷第20题就考查了利用导数来求实际问题的最值).1. 复习这部分知识时应强化以下几个基本思想:(1) 数形结合思想:复习本章时,要注意无论是导数概念的建立、利用导数的几何意义求过曲线上的任意一点的切线方程,还是解决函数的单调性、极值、最值问题,利用定积分求平面图形的面积问题,都是借助图形来帮助理解或解决的,因此本章自始至终都贯穿了数形结合的思想.(2) 极限思想:导数的引入源于“局部以直代曲”、“由近似到精确”、“由有限到无限”的极限思想.在研究导数概念时,先是“局部以直代曲”研究平均变化率,进而“由近似到精确”研究瞬时变化率,从而导出导数的概念.(3) 分类讨论思想:分类讨论思想也应贯穿本章复习的始终,在研究函数的平均变化率、瞬时变化率、在点x0的导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及最优化问题中无不蕴含着分类讨论思想.许多热点问题中也蕴含着分类讨论的思想,如在解决由已知函数的单调性确定参数范围问题时,一般将问题转化为不等式的恒成立问题,再经过分类讨论求得参数的范围.(4) 化归与转化思想:求函数的极值、最值、单调性、过点x0处的切线方程等都是一种程序化的运算过程.在解决相关问题时只需将问题转化到上述问题,就可按程序进行解决.2. 复习这部分知识时还应注意:(1) 在复习时要明确导数作为一种工具在研究函数的变化率,解决函数的单调性、极值、最值等方面的作用,这种作用不仅体现在为解决函数问题提供了有效的途径,还在于让我们掌握一种科学的语言和工具,能够加深对函数的理解和直观认识.(2) 要重视导数与解析几何(特别是切线、最值),导数与函数的性质(特别是单调性、极值、最值),导数与方程、不等式、代数式的证明等知识进行交汇、综合运用的题.(3) 应以课本为主,夯实基础,注重课本的例习题的改编.第17课时导数的概念及几何意义内容要求ABC导数的概念导数的几何意义1. 了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义,了解导数概念的实际背景,理解导数的概念.2. 理解导数的几何意义,会求简单函数的导数和曲线在一点处的切线方程.3. 导数的几何意义是高考的重点、热点,具体考查时往往体现在求曲线的切线方程、切线的斜率等.因此,复习时应在求导数、导数的几何意义等方面多下功夫.(第1题)1. 一般地,函数f(x)在区间x1, x2上的平均变化率为,即它是函数值的改变量y与相应的自变量的改变量x的比;如图,平均变化率的几何意义是过点(x1, f(x1)及点(x2, f(x2)的割线的斜率.2. 设函数y=f(x)在区间(a, b)上有定义,x0(a, b).当x无限趋近于0时,比值=趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导,并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数,记作f(x0).3. 若f(x)在区间(a, b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数,也可简称为f(x)的导数,记作f(x).4. 导数f(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0, f(x0)处的切线的斜率.5. 一般地,设s=s(t)是运动物体的位移函数,那么s(t)的物理意义是运动物体在t时刻的瞬时速度v(t);设v=v(t)是运动物体的速度函数,那么v(t)的物理意义是运动物体在t时刻的瞬时加速度a(t).1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,则该婴儿从第6个月到第12个月体重的平均变化率为0.4kg/月.(第1题)(第2题)2. 如图,曲线y=f(x)在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+3f(5)=0.3. 一质点的运动方程为s=t2+10(位移单位:m,时间单位:s),则该质点在t=3s时的瞬时速度为6m/s.4. 已知曲线y=f(x)在x=-2处的切线的倾斜角为,则f(-2)=-1,f (-2)=0.5. 曲线y=x2的一条切线的斜率是-4,则切点的坐标为(-2, 4).6. 球半径以2cm/s的速度膨胀,当半径为5cm时,表面积的变化率是80cm2/s.1. 理解平均变化率、瞬时变化率的联系与区别(例1)例1如图,酒杯的形状为倒立的圆锥,杯深8cm,上口宽6cm,水以20cm3/s的流量倒入杯中,当水深为4cm时,水升高的瞬时变化率为cm/s. (结果保留)(本题改编自选修2-2P17习题1.1第13题、选修1-1P68习题3.1第13题)点拨一要求水升高的瞬时变化率,先得求出杯中水高度的变化量h,再求出,当t0时,比值趋近的常数值即为水升高的瞬时变化率.解本题的另一个关键在于弄清“水流量为20cm3/s”的含义.解法一设ts时,水面半径为rcm,水深为hcm,则=,于是r=h.若此时杯中水的体积为Vcm3,则V=r2h=h3,于是V=(h+h)3-h3=3h2(h)+3h(h)2+(h)3,=3h2+3h(h)+(h)2.当t0时,若记水升高的瞬时变化率为ht,则ht.又水流量为20cm3/s,因此当t0时,20.于是有20=3h2ht,当h=4时,解得ht=cm/s.反思理解平均变化率与瞬时变化率的联系和区别是解本题的关键.设函数y=f(x)在x0处及附近有定义,当自变量x在x0附近的改变量为x时,函数值相应地改变y=f(x0+x)-f(x0),则称作y=f(x)在区间x0,x0+x(或x0+x,x0)的平均变化率;当x0时,平均变化率趋近一个常数A,则常数A为函数f(x)在x0处的瞬时变化率.点拨二当t0时,增加的水的体积可用圆柱的体积来近似计算.解法二当水面高度为4cm时,可求得水面半径为cm.设水面高度增加h时,水的体积增加V,从而V(h)(用圆柱体积近似表示增加的水的体积),所以.当t0时,得20=ht,解得ht=cm/s.反思在研究导数概念时,先是“局部以直代曲”研究平均变化率,进而“由近似到精确”研究瞬时变化率,从而导出导数的概念,这种极限的思想在解题中有着重要作用.如本例的解法二简洁、明了,让人耳目一新.2.利用导数的几何意义解决曲线斜率、倾斜角及切线的有关问题例2(1) 设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为;(2) (由2010年江苏卷改编)函数y=x2(x0)的图象在点(ak, )处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数.若a1=16,则该函数图象在点P(a5, )处的切线方程为.点拨第(1)题已知切线倾斜角的取值范围,从而可确定切线斜率的取值范围.不论是(1)还是(2)中曲线上点x=x0处的切线斜率均为f(x0),从而将切线的斜率与切点的横坐标x0联系起来求解.解(1) 设切点P的横坐标为x0,又y=2x+2,所以切线的斜率y=2x0+2=tan(为点P处切线的倾斜角).又因为,则0tan1,即02x0+21,所以x0.(2) 因为y=2x,所以函数图象在点(ak, )处的切线的斜率y=2ak,此时切线方程为y-=2ak(x-ak).令y=0,解得x=.由题知ak+1=,因此数列an是以a1=16为首项、为公比的等比数列,于是a5=a1=16=1,故点P的坐标为(1, 1),在P处切线的斜率为2a5=2,于是切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.反思求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于确定切点P的坐标(x0, y0)及切线的斜率.在这基础上有:若P(x0, y0)是曲线y=f(x)上的一点,则以P为切点的切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0).此时,特别要注意:斜率f(x0)中的x0必须是切点的横坐标;若曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0)的切线平行于y轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为x=x0.例3已知曲线y=x3+.(1) 求曲线在点P(2, 4)处的切线方程;(2) 求曲线过点P(2, 4)的切线方程;(3) 求满足斜率为1的曲线的切线方程.点拨(1) 求导数求切线斜率写切线方程(2) 设切点求切点坐标写切线方程(3) 设切点由k=1求切点坐标写切线方程解(1) y=x2, 曲线在点P(2, 4)处的切线的斜率k=y|x=2=4, 曲线在点P(2, 4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2) 设曲线y=x3+与过点P(2, 4)的切线相切于点A,则切线的斜率k=y=, 切线方程为y-=(x-x0),即y=x-+. 点P(2, 4)在切线上, 4=2-+,即-3+4=0, +-4+4=0, (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, (x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.(3) 设切点坐标为(x0, y0),故切线的斜率k=1,解得x0=1,故切点坐标为, (-1, 1),故所求的切线方程为y-=x-1和y-1=x+1,即3x-3y+2=0和x-y+2=0.反思由(1)(2)两问的结果可以看出在点P(2, 4)处的切线与过点P(2, 4)的切线的区别.过曲线上一点的切线,该点未必是切点,解决此类问题时可先设切点坐标,再求切点,然后利用导数的几何意义确定斜率,从而求得切线方程.第(3)问已知切线斜率求切线方程,可设切点坐标,然后利用导数的几何意义求切点,从而求得切线方程.拓展已知函数y=x3-3x,过点A(0, 16)作曲线y=f(x)的切线,求此切线方程.提示点A(0, 16)不在曲线y=x3-3x上.设切点为M(x0, -3x0),又f(x0)=3(-1),所以切线的方程为y-(-3x0)=3(-1)(x-x0).又点A(0, 16)在切线上,代入上式解得x0=-2.因此,切点为M(-2, -2),切线方程为9x-y+16=0.提醒圆的切线就是“与圆只有一个交点的直线”,这个定义符合圆、椭圆等一类曲线,但对任意一条曲线C不能用“与曲线C只有一个交点” 来定义曲线C的切线.曲线的切线不再是“圆的切线”的定义,而是通过“割线逼近切线”的方法来定义曲线在某点处的切线的.如本例曲线y=x3-2x的一条切线5x+4y-1=0就过了曲线上和(1, -1)两点,这也说明若直线与曲线相切,公共点未必只有一个.(例4)3. 深刻理解函数及其导函数之间的联系,并能灵活地用于解题例4已知函数y=f(x), y=g(x)的导函数的图象如右图所示,那么y=f(x), y=g(x)的图象不可能是.(填序号)点拨本题考查的是导函数的几何意义,从导函数的图象能反映斜率的变化情况.解从导函数的图象可知这两个函数在x0处的切线的斜率相同,因此是错误的;再者导函数的函数值反映的是原函数的切线的斜率大小,从图中可明显看出导函数y=f(x)的值随着x的变大而减小,所以反映在原函数的图象应该是随着x的增大,在点(x, f(x)处切线的斜率慢慢变小,所以也是错误的.同理,再由y=g(x)的值的变化情况去验证y=g(x)的斜率变化情况,可知是正确的.所以本题应填.反思导函数y=f(x)表示曲线在点(x, f(x)处的切线的斜率,当y=f(x)的值随着x增大而增大时,原函数y=f(x)图象上各点处的切线的斜率越来越大,它的图象是“下凸”的;而当y=f(x)的值随着x增大而减小时,原函数y=f(x)图象上各点处的切线的斜率越来越小,它的图象是“上凸”的.反之,若已知函数图象是“下凸”的,则说明图象上各点处的切线的斜率越来越大,y=f(x)的值则随x增大而增大;若已知函数图象是“上凸”的,则说明图象上各点处的切线的斜率越来越小,y=f(x)的值则随x增大而减小.由此可见函数的“凸性”反映了函数值的变化速率,各点处切线斜率的变化快慢,它是高等数学中的一个概念,对这类知识迁移的题的复习也应引起我们的注意.拓展已知定义在R上的函数f(x)的导函数f(x)在R上也可导,且f(x)0,则y=f(x)的图象可能是下列各图中的.(只需填相应的序号即可)提示由f(x)0可知函数f(x)在(-, +)上是减函数,说明函数f(x)图象上各点处的切线的斜率随着x的增大而减小(f(x)图象呈“上凸”形),只有正确.1. 要正确理解平均变化率、瞬时变化率、导数的概念及其相互关系.2. 注意导数的意义.几何意义:f(x0)是曲线y=f(x)在切点P(x0, f(x0)处的切线的斜率;物理意义:s(t0)是当物体的运动方程为s=s(t)时,物体在t0时的瞬时速度.3. 求函数图象的切线时,要分清是在某点处的切线还是过某点的切线.若是过某点的切线,则通常先设出切点坐标,写出切线方程,通过建立方程或方程组求解.需要注意的是直线与曲线相切时,公共点未必只有一个.1. (根据选修2-2P16习题1.1第9题、选修1-1P67习题3.1第9题改编)若g(x+h)-g(x)=(x0),用割线逼近切线的方法求得g(x)=.2. (根据选修2-2P7练习第2题、选修1-1P59练习第2题改编)(第2题)甲、乙两家企业在14月的利润情况如图所示(其中W1(t), W2(t)分别表示甲、乙两企业的利润),比较这两家企业的利润增长快慢,企业乙好些.3. (根据选修2-2P16习题1.1第11题、选修1-1P68习题3.1第11题改编)函数f(x)=5x+4在区间0, 1上的平均变化率为5.4. (根据选修2-2P16习题1.1第4题、选修1-1P67习题3.1第4题改编)曲线y=x2在点P(-2, 4)处的切线方程为4x+y+4=0,在点(a, a2)处的切线方程为2ax-y-a2=0.5. (根据选修2-2P16习题1.1第10题、选修1-1P68习题3.1第10题改编)已知曲线f(x)=-x3在点P(x0, f(x0)(x00,且a1); (ex)=ex;(3) 对数函数的导数:(logax)=logae=(a0,且a1);(lnx)=;(4) 三角函数的导数:(sinx)=cosx;(cosx)=-sinx.3. 函数的和、差、积、商的求导法则:设f(x), g(x)是可导的,则(1) f(x)g(x)=f(x)g(x);(2) Cf(x)=Cf(x)(C为常数);(3) f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x);(4) =(g(x)0).*4. 简单复合函数的求导法则:一般地,若y=f(u), u=ax+b,则yx=yuux,即yx=yua.也就是说y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.1. (1) 函数f(x)=x2+的导数f(x)=2x+;(2) 函数g(x)=x3-x2-6x+2的导数g(x)=3x2-3x-6;(3) 函数h(x)=的导数h(x)=1-;(4) 函数y=xex的导数y=(1+x)ex.2. 下列算式中正确的序号是. =1+; (log2x)=; (3x)=3xln3; (x2cosx)=-2xsinx.3. 设函数f(x)=x2-2x-4lnx,则f(x)0的解集为(2, +).4. 曲线y=在点处的切线方程为x+4y-4=0.5. 已知点P(2, 2)在曲线y=ax3+bx上,如果该曲线在点P处切线的斜率为9,那么ab=-3.6. 若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是2,过点P的切线恰好过原点,则c=4.1.利用求导公式、求导法则求导例1求下列函数的导数:(1) y=(2x2+3)(3x-2);(2) y=x-sincos;(3) y=tanx;*(4) y=2x+ln(1-5x).点拨第(1)题可利用函数积的求导法则进行求导,还可利用多项式乘法,先将原函数解析式化为多项式后再求导;第(2)题利用三角恒等变化对函数解析式化简后再求导;第(3)题tanx=,将原函数化归为熟知的求导公式的函数的商后,再求导;第(4)题复合函数的求导.解(1) 方法一:y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)=4x(3x-2)+(2x2+3)3=18x2-8x+9.方法二:因为y=(2x2+3)(3x-2)=6x3-4x2+9x-6,所以y=18x2-8x+9.(2) 因为y=x-sincos=x-sinx,所以y=1-cosx.(3) y=.(4) y=(2x)+ln(1-5x)=2xln2+=2xln2+.反思(1)求导数时,先化简再求导是运算的基本方法,这样可以减少运算量.一般地,分式函数求导,要尽可能先将原函数化为整式函数或较简单的分式函数;对数函数求导要先化成和、差形式;三角函数求导,要先利用恒等变换进行变形或化简(如第(2)题),然后再利用求导公式或求导法则进行求导.(2)复合函数的求导过程就是对复合函数由外层向里层求导,每次求导针对的均是外层,直到求到最里层为止.所谓最里层是指已可以直接引用基本公式进行求导(如第(4)题).(3)注意化归思想在解题中的应用(如第(3)题).拓展求下列函数的导数.(1) y=(x2-2x+3)e2x;(2) y=.(答案:(1) y=2(x2-x+2)e2x;(2)y=-1)提醒牢记求导公式、求导法则的结构和形式,不要混淆.如:,且;f(x)g(x)f(x)g(x)等.2. 数形结合,利用导数的几何意义解题(例2)例2如图,已知抛物线y=x-x2上两点A, B的横坐标分别是-1, 1,在抛物线的弧上求一点C,使ABC的面积最大.点拨一依题可知AB为定值,所以只要点C到AB的距离最大,ABC的面积就最大.尝试从导数的几何意义出发进行分析,可知当C为抛物线上与直线AB平行的切线的切点时满足题意,于是问题转化为求此时点C的坐标.解法一设C(x0, y0)(-1x01).要使ABC的面积最大,只需点C到直线AB的距离最大即可,此时抛物线在点C处的切线与直线AB平行.因为y=x-x2,所以y=1-2x,所以y=1-2x0.又直线AB的斜率为1, 所以1-2x0=1,解得x0=0.所以当点C的坐标为(0,0)时,ABC的面积最大.点拨二尝试设出点C的坐标,构建点C到直线AB的距离d的函数来求解.解法二设C(x0, x0-)(-1x01).要使ABC的面积最大,只需点C到直线AB距离最大即可.又直线AB经过点A(-1, -2), B(1, 0),所以直线AB的方程为x-y-1=0.设点C到直线AB的距离为d,则d=|-1|.又-1x00).(1) 求曲线在x=2处的切线方程;(2) 求曲线上的点到直线3x-4y-11=0的距离的最小值.(答案:(1) 3x-4y+4=0;(2) 3)第19课时导数的应用(1)内容要求ABC利用导数研究函数的单调性与极值1. 了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;会求不超过三次的多项式函数的单调区间.2. 了解函数的极大(小)值与导数的关系;会求不超过三次的多项式函数的极大(小)值.3. 高考对这部分知识的考查主要是导数的工具性.命题时,往往与函数结合在一起,还涉及不等式、方程的解的情况等知识.题型主要以综合解答为主,也有填空题,主要考查利用导数来研究函数的单调性及函数的极值等问题,这是近几年高考的一大热点问题,应引起我们的关注.1. 一般地,对于函数y=f(x),如果在某区间上f(x)0,那么f(x)为该区间上的增函数;如果在某区间上f(x)0,求得的相应区间是函数f(x)的单调增区间;解不等式f(x)0,求得的相应区间是函数f(x)的单调减区间.3. 设函数f(x)在x0附近有定义,如果对x0附近的所有点,都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值.4. 一般地,确定函数y=f(x)的极值的步骤:(1) 确定函数y=f(x)的定义域;(2) 求函数f(x)的导数f(x),令f(x)=0,求方程f(x)=0的所有实数根;(3) 考察f(x)在各实数根左、右的值的符号: 如果在x0两侧f(x)符号相同,说明x0不是f(x)的极值点; 如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值; 如果在x0附近的左侧f(x)0,那么f(x0)是极小值.1. 函数f(x)=2x3-6x2+7的单调增区间为(-, 0), (2, +),单调减区间为(0, 2),极大值为7,极小值为-1.2. 函数f(x)=(x0且x1)的单调减区间为, (1,+).3. 若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调减区间为-1,2,则b=-, c=-6.4. 函数f(x)=x3+mx2+x+1在R上没有极值点,则m的取值范围为-,.5. 函数f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6,那么a的值为6.6. 已知函数f(x)=x3+ax在1, +)上是增函数,则a的最小值是-3. 1. 确定函数的单调性及由函数的单调性确定参数的取值范围例1(1) (2012年苏州调研)函数y=+2lnx的单调减区间为;(2) 已知二次函数f(x)=-x2+(a-2)2x+1在区间(-1, 1)上是单调增函数,则a的取值范围为;*(3) 若f(x)=-x2+bln(x+2)在(-1, +)上是单调减函数,则b的取值范围是.点拨第(1)问可先求出导数f(x),再令f(x)0,解出x的取值范围,即可求出单调减区间.第(2)、(3)问由f(x)在区间D上单调递增(减),知f(x)的导数f(x)在区间D上f(x)0(f(x)0)恒成立,由此将问题转化为不等式恒成立问题求解.解(1) 函数的定义域为(0, +), y=-+=.令y0,即2x-10,可得x0,所以单调减区间为.(2) 由f(x)在区间(-1, 1)上是增函数,可知在区间(-1, 1)上导数f(x)=-ax+(a-2)20恒成立.此时,只需满足条件即解得a4或a1.经检验a=4或1时,也符合条件.又由f(x)为二次函数,所以a0,所以a的取值范围为(-, 0)(0, 14, +).(3) 由f(x)=-x2+bln(x+2)在(-1, +)上是减函数,可知在区间(-1, +)上导数f(x)=-x+0恒成立.因为x-1, x+20,所以只需bx(x+2)=(x+1)2-1恒成立即可,而(x+1)2-1的最小值为-1,所以只需b-1即可.当b=-1时,f(x)=-x-在x(-1, +)恒不为零,即此时f(x)在(-1, +)上为减函数,符合题意.所以b的取值范围是(-, -1.反思(1)利用导数确定函数的单调区间时,首先得确定函数的定义域,这是易错之处.(2)已知函数f(x)在区间D上是增函数(或减函数)求参数的取值范围,一般可用不等式恒成立理论来求解,即令f(x)0(或f(x)0)在区间D上恒成立解出参数的取值范围.此时,应注意对取等号时的参数值进行检验,看这个值是否使f(x)恒等于0,若恒等于0,则参数的这个值应舍去(检验过程可以不写,但这个过程不能省略).如本例(3)中当b=-1时,f(x)=-x-恒不为零,所以能取-1.由此可知f(x)0(或f(x)0(f(x)0)即可.反过来,若已知f(x)在区间D上单调递增(减),求f(x)中参数的取值范围,此时可将问题转化为f(x)0(f(x)0)在D上恒成立问题求解.但此时一定要注意对结果中参数能否取等号进行检验.2. 由函数的极值确定参数的值例2已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x=-1时,取得极大值7;当x=3时,取得极小值.求a, b, c的值及函数的极小值.点拨通过极值点与导数的关系,可知函数f(x)的极值点为f(x)=0的根,这样可得到两个相等关系f(-1)=0, f(3)=0;又当x=-1时,取得极大值7,即f(-1)=7,再得一个相等关系,联立方程组即可求得参数a, b, c的值.解f(x)=3x2+2ax+b.由题意知-1, 3是方程3x2+2ax+b=0的两根,则解得所以f(x)=x3-3x2-9x+c.又f(-1)=7,解得c=2,所以f(x)=x3-3x2-9x+2.经检验,f(x)=x3-3x2-9x+2符合题意,所以极小值f(3)=33-332-93+2=-25.所以a=-3, b=-9, c=2,极小值为-25.反思理解极值点与导数的关系,利用方程的思想,通过列方程(组)来求解参数是解决这类问题的最常用策略.但此时要注意:若x=x0是函数y=f(x)的极值点,则一定有f(x0)=0成立,但反之则不一定成立,即能使f(x)=0成立的x0并不一定是y=f(x)的极值点.那么,怎样保证求出的x0是y=f(x)的极值点呢?只需利用判断极值点的方法,对x0进行判断即可.换言之,f(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.拓展已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,求f(2)的值.(答案:f(2)=18)反思只能取a=4, b=-11这组解,想想看,为什么?3. 对参数进行分类讨论,确定函数的单调性与极值例3(根据2010年山东卷改编)已知函数f(x)=lnx-ax+-1(aR).(1) 当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程;(2) 当a时,讨论f(x)的单调性.点拨第(1)问, 欲求出切线方程,只须求出其斜率,故先利用导数求出在x=2处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率,从而解决问题.第(2)问,利用导数来讨论函数的单调性即可,因函数式中含字母参数,故要对字母a进行分类讨论.解(1) 当a=-1时,f(x)=lnx+x+-1,所以 f(x)=+1-,因此f(2)=1,即曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线的斜率为1.又f(2)=ln2+2,所以曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为y-(ln2+2)=x-2,即x-y+ln2=0.(2) f(x)=-a-=-, x(0, +).令f(x)=0,即ax2-x+1-a=0.(i) 当a=0时,解得x=1.因为x(0, 1)时,f(x)0.所以f(x)在(0, 1)上单调递减,在(1, +)上单调递增.(ii) 当a0时,解得x=1或x=. 当a=时,f(x)=-0在x(0, +)上恒成立,所以f(x)在(0, +)上单调递减. 当a0时,因为x(0, 1)时,f(x)0.所以f(x)在(0, 1)上单调递减,在(1, +)上单调递增. 当0a时,因为x(0, 1)时,f(x)0;x时,f(x)0.所以f(x)在(0, 1), 上单调递减,在上单调递增.综上所述,当a0时,f(x)在(0, 1)上单调递减,在(1, +)上单调递增;当a=时,f(x)在(0, +)上单调递减;当0a0和f(x)0;确定f(x)的单调区间.若在函数式中含字母参数,往往要分类讨论.4. 数形结合,通过探讨函数的单调性与极值情况作图(草图)来解决有关方程根的问题例4已知函数f(x)=lnx, g(x)= (a0),是否存在实数m,使得函数y=g+m-1的图象与y=f(1+x2)的图象恰好有四个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.点拨令y1=g+m-1=x2+m-, y2=f(1+x2)=ln(x2+1),解决这类问题的常规方法是采用图象法,作出y1, y2的图象,但这样做一方面对作图准确性要求较高,另一方面因为有了参数m,图象往往不好作,因此,常由于作不出图或作图误差而无法正确解答.由题意知方程y1-y2=0应有四个不同的解,尝试构造函数Q(x)=y1-y2,通过探讨Q(x)的单调性与极值的关系来求解.解由题意知y1=g+m-1=x2+m-,y2=f(1+x2)=ln(x2+1).令Q(x)=y1-y2=x2+m-ln(x2+1),y1, y2的图象恰有四个不同的交点,等价于Q(x)的图象与x轴有四个不同的交点.因为Q(x)=x-=,当x变化时,Q(x), Q(x)的变化情况如下表:x(-, -1)-1(-1, 0)0Q(x)-0+0 Q(x)单调递减极小值单调递增极大值x(0, 1)1(1, +)Q(x)-0+ Q(x)单调递减极小值单调递增所以当x=-1或1时,Q(x)取得极小值Q(x)极小值=Q(1)=Q(-1)=m-ln2;当x=0时,Q(x)取得极大值Q(x)极大值=Q(0)=m-.又当x-时,Q(x)+;当x+时,Q(x)+.(例4)画出草图如图所示,所以要使Q(x)=0有四个不同的实数根,必须且只须满足解得mln2.即存在实数m满足题意,且m的取值范围为.反思用导数来探讨函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点问题时,可以按以下步骤求解:构造函数(x)=f(x)-g(x);求导函数(x);探讨函数(x)的单调性和极值;根据画出满足题意的(x)的草图(只需观察(x)图象与x轴的交点情况),并列出符合条件的不等式;解不等式,得出结论.“数形结合”是解这类题的重要数学思想.拓展设aR,试分别确定关于x的三次方程x3-3x2-a=0有一根、有两根、有三根时a的取值范围.(例4拓展)提示问题等价于判断a取何值时函数f(x)=x3-3x2的图象与函数g(x)=a的图象分别有1个、2个、3个交点.可先通过讨论函数f(x)的单调性和极值作出它的大致图象(如图),然后通过平移g(x)=a的图象,“数形结合”得出结论:当a0时,有1个交点;当a=-4或a=0时,有2个交点;当-4a0(f(x)0)是f(x)为D上增(减)函数的充分不必要条件.4. 注意灵活运用方程、分类讨论、数形结合等数学思想方法来解题.1. (根据选修2-2P29练习第