运用对称巧转化妙求线段和最值——例谈一节复习课的教学设计.doc

运用对称巧转化 妙求线段和最值例谈一节复习课的教学设计-中学数学论文运用对称巧转化 妙求线段和最值例谈一节复习课的教学设计林永贝（宁波象山金星学校，浙江宁波315731）摘要：近几年的中考压轴填空题或选择题，甚至在大题目中，经常会碰到求两线段和最值的问题，这类问题因为涉及的知识点多、背景丰富、形式灵活多样，往往使学生感到无从下手，求解有一定的难度，结合自己几年的中考复习经验，笔者发现通过作轴对称等几何变换将其转化为基本模型，便可使问题迎刃而解。关键词：对称；线段；最值中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-05-0030-03一、教学目标1、理解各种类型的线段和最小值问题；2、学会分析问题，会利用基本类型解决以几何背景或函数背景下的线段和最小值问题；3、体会数学问题解决中体现出来的数学思想方法。二、教学重点和难点由于这类问题具有很强的探索性，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理和合情推理相结合，对初三学生有一定的难度；重点是运用对称巧妙转化，利用“两点间线段最短”和“垂线段最短”求最值的过程。三、教学设计（一）创设情境，请你来试一试（原创）为响应党中央关于环保模范城市建设的号召，NB市计划开展煤气管道改造工程，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向不同的镇供气，请你来设计方案，怎样设计可以使所用的输气管线最短？问题1：如图1，若为A镇供气，泵站应建在燃气管道L上的何处，可使输气管线最短？问题2：如图2，要分别为燃气管道L两侧的A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？问题3：如图3，要分别为燃气管道L同侧的A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？问题1方案设计依据：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。问题2方案设计依据：两点之间线段最短。问题3方案设计依据：先用轴对称转化为问题2模型，再根据两点之间线段最短。设计意图：设置三个解决最短路径的问题情境，由简入难，层层深入，让学生动手做一做，使学生在解决的过程中，既要建立数学建模的基本解题思想，又在解题时回顾、总结最短径的三个基本模型。教学建议：把这个材料作为“先行组织者”，课前发给学生，让学生对三个方案进行设计，允许小组合作完成，让学生在进入课堂前就对本课学习的三个基本模型有较充分地思考，并在动手过程中复习了轴对称点的作法和两个基本的几何原理；课堂一开始就让小组代表对本小组所完成的方案设计在全班面前进行详细的阐述，然后教师作简要总结与点评，让学生养成对生活问题进行抽象和数学建模等几何化的习惯。（二）知史启智，引出课题小故事：“两线段之和最短”问题早在古罗马时代就有了。传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？如图3,这就是被称为“将军饮马”而广为流传的问题。“线段和求最小值”的基本数学模型，简称两点一线基本模型，也称将军饮马问题。即：若一个动点在直线上运动，一定能找到它到直线同侧两个定点距离之和最小的点。设计意图：通过历史小故事，让学生明白线段和最值的历史渊源，激发学生强烈的探索愿望，进一步强化将军饮马问题模型，即“两点一线求最小值”的基本数学模型，同时学会运用轴对称，将问题实现巧妙转化。教学建议：让学生自己读一读小故事，然后教师要对古代将军对数学问题的探究和思考表示赞赏，并希望学生在数学学习中发扬将军的钻研精神，并对将军饮马的数学本质作进一步的强化，特别是转化思想，即：求CA+CB最小，作A或B的轴对称点，巧转化，使两点在直线的异侧，再利用“两点间线段最短”来求最值。（三）赏析往届试题，迎接2013年中考赏析题1：如图4，在边长为2的正ABC中，P是高线AD上的一个动点，E是AC的中点，求PC+PE的最小值。赏析题2：如图5，已知正六边形ABCDEF的边长为1， M、N分别是AF和CD的中点，P是MN上的动点。 求PA+PB的最小值。赏析题3：如图6，梯形ABCD中，AD/BC，且BC=2， AB=AD=CD=1，M、N分别是AD、BC的中点，P是MN上的动点。求PA+PB的最小值。设计意图：让学生充分感知与轴对称图形载体结合所引发的求线段最小值问题，其解题的基本模式仍然是“将军饮马”问题：在一直线求一点P，使PA+PB最小，关键是：作一个点的轴对称点，巧转化，使两点在直线的异侧，再利用“两点间线段最短”来求最值。教学建议：以四人学习小组为单位，任选自己组喜欢的两小题进行赏析。赏析要求：（一）仔细阅读题目和观察图形，认真分析题意，考察问题是否属于“将军饮马”问题？（二）考察背景图形是否是轴对称图形，如果要解决问题，应如何利用图形的轴对称性？（三）小组赏析结束后，由各小组代表到台上就本组赏析题从以上两个方面一一赏析，最后教师对各题的赏析作点评、总结。（四）做一做：牛刀小试，初建信心设计意图：让学生明白求“两定点一线求线段和”关键是利用好问题载体的轴对称性，将问题转化为“两点间线段最短”，建立起巧求线段和最值的信心，获得解决该类型问题的成就感。教学建议：让学生先自主做一做，然后在学习小组内就思路与结果进行讨论，再让中等生到黑板上来板演、说明，最后教师作点评，要强调两点：一是本题背景图形正方形的轴对称性主要是利用对角线所在直线是正方形的一条对称轴，或者说角平分线所在直线是角的对称轴；二是作点D或点M的对称点都能实现转化。（五）例题精讲，无惧中考例1：（2009年孝感）在平面直角坐标系中，有A（3，2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =时，AC + BC的值最小。设计意图：本题的背景是在平面直角坐标系中，涉及到平面直角坐标系中关于x轴或y轴成轴对称的点的作法，借助其中的数量关系来求线段和的最小值，题目的意境非常好，涉及代数中的函数部分，是数形结合的好题目，对学生来说比较难，但是题目的转化手段仍然是作对称巧转化，有了课堂前部分题目的赏析和解答，对学生得出本题的解题思路应该不难。教学建议：首先是师生一起作出图形，然后让学生根据“将军饮马”模型，将问题巧妙转化；其次是以小组为单位解出本题，并请两位用不同解法（解析式法或相似）的学生到黑板板演；最后师生共同比较两种解法的优劣，强调本题仍是“两定点一线”的基本模型。例2：（2011年本溪）如图8，正方形ABCD的边长是4，DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为。设计意图：本题的背景是在平面直角坐标系中虽然仍是正方形，但是涉及到直线同旁的两点其中一个点是动点一个是定点的新问题；但是用的办法还是老办法：作对称巧转化。让学生在动中寻出不动或者说是不变的部分：点P运动的路径在AD上，AD是不变的。由此线段和最短就要借助“垂线段最短”的原理，从中提升学生解决实际问题的能力。教学建议：本题应让学生自主先尝试做，等学生碰到思路上的障碍后，教师再作即时的点拨，相信此时会让学生豁然开朗的突然开窍，由此带来课堂的一个小高潮。例3：（2012台州）如图9，菱形ABCD中，AB=2，A=120，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为。设计意图：本题三个都是动点，还是求线段和的最小值，处理的方法还是要将点放在线的异侧；进一步强化学生发现动点问题中“不变”的部分：动点所运动的线段均是不变的，同时用好菱形的轴对称性，实现问题的巧妙转化。教学建议：首先让学生动手试一试，教师适时启发：求线段和的最小值，只需将点在线的异侧，方法就是依然是找出它们的对称点，再看定点，但是发现3个全部是动点，没有定点，当没有定点的时候，我们就要去找定线，而BC,AD是平行线，平行线间垂线段最短，即平行线间的距离最短，这时我们只需求垂线段的长度即可，我们就可以找出它们和的最小值；然后教师在最后做一下解题示范，对已经会解的学生做适度表扬，以鼓励学生的积极性。例4：(两点两线型)如图10：在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，点F的坐标为。设计意图：本题的要实现成功转化需要理解两层意思：一是周长最值的转化为线段和最小值问题，因此还是要运用轴对称巧转化；二是涉及“两点两线”的最小值，为了能转化到“两点一线”这一基本模型，光靠轴对称显然还不行，还需通过平移来实现转化。本题进一步巧用“将军饮马”问题模型，从而拓展学生的解题思维、提升他们的解题技巧。教学建议：在大家解题前教师应作适当的启发：“求周长最小，首先考虑是有哪几条边构成，然后那些是定长，那些边要变的，然后对没有公共点的两条线段实现要通过平移等手段将问题转化为“两点一线”基本模型；然后让学生以小组合作下完成本题；教师最后点评时，还要对本题运用轴对称和平移，实现巧妙转化作一强调，并且对交点坐标的求法，还是要求学生能用两种方法，即根据函数或相似的方法来求出。（六）及时练习，适度变式达标题：1、（中考题改编）如图11，AB是O的直径，AB=4，OC是O的半径，OCAB，点D在AC上,弧AD=2弧CD，点P是半径OC上一个动点，那么AP+PD的最小值是。2、（2012 青岛）如图12，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm。变式题：3、（2012 湖北十堰）阅读材料：设点A关于x轴的对称点为A，则PA=PA，因此，求PAPB的最小值，只需求PAPB的最小值，而点A、B间的直线段距离最短，所以PAPB的最小值为线段AB的长度为此，构造直角三角形ACB，因为AC=3，CB=3，所以AB=32，即原式的最小值为32。根据以上阅读材料，解答下列问题：挑战题：4、（2009 浙江舟山）如图14，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线y=ax2上。（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；（2）平移抛物线y=ax2，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点。当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB最短，求此时抛物线的函数解析式；当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存