阶电路和二阶电路.ppt

,第四章 一阶电路和二阶电路,本章着重讨论一阶线性电路的 零输入响应 阶跃响应、冲激响应 对阶跃激励的全响应 关键是掌握三要素法,熟练地确定电路的初始值、稳态值,熟练求解一阶电路的时间常数并深刻理解其含义,了解二阶电路的时域求解方法，通过其特征根判断电路的工作状态,1. 概念比较多,本章难点：,2. 具有“强迫跳变”现象的电路的分析求解,3. 二阶电路的分析求解,预习知识：,1. 高数中一、二阶常系数微分方程的求解,2. 物理中电流与电荷连续性原理及磁通链连续性原理,4-1 一阶电路的零输入响应,zero input response，简称为：rzi,一. 一阶RC电路的零输入响应,t0，电路无输入激励, 仅靠电容元件的原始储 能维持。,t 0的电路,由换路定则：,t 0+的电路,特征方程为,特征根为,通解为,又称为电路的固有频率,代入初始条件得,零输入响应,或者,电流曲线,电路的时间常数(time constant),时间常数 愈小，放电过程进行得愈快，暂态过程需要的时间越短；反之， 愈大，放电过程进行得愈慢，暂态过程需要的时间越长。,(单位: s),在同一个电路中， 各电流、电压响应 的时间常数 相同,t0+后，各电流、电压响应的波形取决于r(0+)和,MATLAB作图,整个放电过程中电阻吸收的能量为,t0，电路中无激励源，电阻元件消耗的能量是电容元件的原（初）始储能。,工程一般认为换路后45，放电过程结束,例1. 图示电路在换路前已工作了很长时间，求换路后的零输入响应i(t)和uo(t),解： 1）,2）t 0的电路,3）求,4）各零输入响应的表达式,（t 0+）,二. 一阶RL电路的零输入响应,t 0+,特征方程为,特征根为,通解为,代入初始条件得零输入响应,电流曲线,整个放电过程中电阻吸收的能量为,t0+ ，电路中无激励源，电阻元件消耗的能量是电感元件的原（初）始储能。,例2. 在图示电路中，已知i(0+)=150 mA，求t 0+时的响应u(t)。,解法一见课本,解法二：,电感电流为,电感电压为,小结：,一阶电路零输入响应的一般表达式为：,例3. 图示电路在换路前已工作了很长时间，求换路后的uc(t) 、i(t)和u(t)。,解:1） t=0-时,2）由换路定则：,3）t0+ 时,RL电路的时间常数,RC电路的时间常数,图示电路在换路前已工作了很长时间，求换路后的零输入响应iL(t)、uC(t)和i(t),课堂练习,4-2 一阶电路的阶跃响应,阶跃响应(step response) ：,电路在阶跃电压或阶跃电流激励下的零状态响应,zero state response，简称为：rzs,单位阶跃函数,（零原始状态）,一. 一阶RC电路的阶跃响应,电容的充电过程,在t=0+时刻电容相当于短路,当t 0时,uc(0+)=0,一阶非齐次微分方程解的一般形式 ：,自由分量,强制分量,uct(t)为对应齐次微分方程的通解,ucf(t)的形式与输入激励相同，则为一常数，设：,其通解为：,将ucf(t)K带入上式得：,K=R,代入初始条件 uc(0+)=0 得：,B = R,电容电压的阶跃响应为,电容电压曲线,暂态分量,稳态分量（t）,当输入激励为常数或周期性函数时，自由分量就是暂态分量，强制分量就是稳态分量。否则不能这样划分。,电阻电流为,电容电流为,或者,电容电流和电阻电流曲线,例1. 已知uC(0-)=0 ，求uC(t) 和iC(t) 。,解：1） 求ucf (t),2） 求,3）,二. 一阶RL电路的阶跃响应,在t=0+时刻电感相当于开路,t 0,带入（*）式 得：,电感电流的阶跃响应为,电感电压的阶跃响应为,或,一阶电路阶跃响应中的电容电压和电感电流可表示为:,小结：,电路的其他响应根据KVL、KCL以及电容元件和电感元件的VCR关系计算。,其中rf 分别对应时间趋于无穷时（即电路再次处于稳定状态时）的电容电压和电感电流,例2. 在图示电路中，已知R1=8 ，R2=8 ，R3=6 ，L=1 H，求在单位阶跃电压激励下的阶跃响应i2 (t)与uL(t)。,解：1） 求i2f (t),2） 求,3) 电感电流的阶跃响应为,电感电压的阶跃响应为,电感电流波形,电感电压波形,例3. 图示RC并联电路的电流源的电流是一个矩形脉冲,求零状态响应uc(t)。,1）矩形脉冲电流的阶跃函数表达式,解法一,2）考虑在 作用下电容电压的阶跃响应,3）由于电路是线性电路，满足齐次性。 故在 作用下电容电压的阶跃响应为,4）根据线性电路的叠加原理，待求的零状态响应为,电容电压的波形,解法二：分段计算,1）在0t2s的时间区间，为零状态响应,2）在t 2s的时间区间，为零输入响应,电容电压的波形,例4. 已知iL(0-)=0，求零状态响应iL(t)和i(t) 。,例5. 开关作用闭合前电路已工作了很长时间，求t0+时的iL(t)和uC(t) 。,例4. 解：求电路的阶跃响应,1） 求iLf (t),2） 求,3） 求iL(t),例5. 解：,RC电路求零输入响应 RL电路求零状态响应,1）,2）,3）,4-3 一阶电路的冲激响应,冲激响应(impulse response) ：,电路在冲激电压或冲激电流激励下的零状态响应,单位冲激函数,一. 一阶RC电路的冲激响应,2. t = 0-0+，有冲激电流流过电容元件,电容相当于短路元件,1.,3. t 0时，(t)=0， 输入为零；已充电的电容对电阻放电,综合考虑所有时段，电容电压可表示为：,电容电压曲线,4. 讨论电容电流,综合考虑所有时段,解二,电容电流曲线,例1. 求uC(t) 和iC(t) 。,解： 1) uC(0-) =0,2),3) 求,4)电容电压的冲激响应,5) 电容电流的冲激响应,二. 一阶RL电路的冲激响应,电感相当于断路元件,1.,2. t = 0-0+，有冲激电压施加在电感两端,3. t 0时，(t)=0， 输入为零；电感对电阻放电,综合考虑所有时段，电感电流可表示为：,电感电流曲线,4. 讨论电感电压,综合考虑所有时段,电感电压曲线,例2.求图示电路的冲激响应iL(t)与uL(t)。,解： 1) iL(0-) =0,2),3) 求,4)电感电流的冲激响应为,5)电感电压的冲激响应为,三. 冲激响应与阶跃响应间的关系,求一阶电路的冲激响应的两种方法：,首先确定在冲激函数作用下电容电压或电感电流的初值（uC(0+)或iL(0+)）；然后求t0后的零输入响应。,将电路中的冲激激励函数 (t)换为阶跃激励函数(t)，求其阶跃响应，然后再将阶跃响应对时间求一阶导数得到冲激响应。 用该方法必须注意：（1）阶跃响应的时间定义域必须用 (t)表示，而且 (t)必须参与求导运算，否则会遗漏冲激响应中的冲激函数项。（2）所求的阶跃响应与要求的冲激响应必须是同一支路的电流（或电压）响应。,续例2.,解： 1) iLf=1A,2) 求时间常数,3)电感电流的阶跃响应为,4) 电感电压的阶跃响应为,其冲激响应为,其冲激响应为,课堂练习,设电路为零状态， us(t)分别取 和 ，试求两种情况激励情况下的uC(t) 和iC(t) 。,解： 1) 当,2) 当,思考题,请分析插头插入或拔出时的火花现象,4-4 一阶电路对阶跃激励的全响应,定义：由阶跃激励与原始储能 共同产生的响应,注意区分阶跃响应,例1. 已知uc(0) = U0 ，求开关闭合后的uC(t)、iR(t),解法一. 列写及求解微分方程,1）根据换路定则有： uC(0+)=uC(0) = U0,2）t0+有：,带入（*）式 得：,解法二. 零输入响应+零状态响应,1）由原始状态uc(0)=U0引起的零输入响应为：,2）由阶跃电流激励Is (t)引起的零状态响应为：,3）全响应为：,自由分量,强制分量,暂态分量,稳态分量,零输入响应,零状态响应,IsR U0,IsR U0,IsR U0,IsR U0,一阶电路对阶跃激励的全响应的一般表达式为：,全响应的初始值、稳态解和电路的时间常数，称为一阶线性电路全响应的三要素。求出初始值、稳态值和时间常数即可按上式直接写出全响应的函数式。这种方法就叫做三要素法。,零输入响应和零状态响应是全响应的特例,例2. 图示电路换路前已工作了很长的时间，求换路后各支路的电流。,解一: 1. 求i3(t),1) 求i3(0+),2) 求i3f,3) 求,4) 写出i3(t),2. 求i2(t),3. 求i1(t),解二,1) 求i1(0+) 、i2(0+)、 i3(0+),2) 求i1f、i2f、i3f,3) 求,4) 写出i1(t) 、i2(t)、i3(t),例3. 图示电路换路前已工作了很长的时间。试用三要素法求换路后u(t)、i(t)。,解：1）t=0-时,2）t=0+时,3）t=时,4) 求,5) 写出i (t),6) 写出u (t),课堂练习：P155 4-4-1 4-4-2（分别写出响应的暂态分量、稳态分量；零输入响应、零状态响应）,解：,4-4-2 求题下图所示电路中的电感电流 。,已知,解：,t0+,暂态分量:,稳态分量:,零输入响应:,零状态响应:,4,例4 下图所示电路中，电感电流iL(0-)=0。t=0时，开 关S1闭合，经过0.1s，再闭合开关S2。 试求电感电流iL(t)，并画波形图。,解：1. 当0+t0.1-s,由于iL(0-)=0， 故所求电感电流为零状态响应,2. 当t0.1+s,所求电感电流为全响应,例5. 在图示电路中，C1=2 F，C2=3 F，R=5 ，uc1(0)=10 V，uc2(0)=0，求开关S闭合后的uc1(t) 、ic1(t)、 uc2(t)和ic2(t)。,t = 0+时两电容并联 ，必有,根据节点电荷不变的原则可得,解：1）换路前t = 0 时 uc1(0)=10 V，uc2(0)=0,2）t = 时,3）求,4) 写出uC1 (t) 、uC1 (t),uC1 (t) 是非零状态,uC2 (t) 是零状态,5) 求iC1 (t) 、iC2 (t),电流ic2(t)中冲激部分的强度等于电容元件C2上电荷的跳变量 :,同理，电容元件C1上电荷的跳变量为:,t0时,例6. 图示电路在开关S断开前工作在稳定状态，试求开关断开后的电流iL2(t)和电压uL2(t)。,解：1）换路前t = 0 时,t = 0+ 时，两电感串联，必有,根据回路磁通链不变的原则可得,2）t = 时,3）求,4) 写出iL2 (t),电压uL2(t)中的冲激部分的强度等于电感元件L2中磁通链的跳变量:,5) 求uL2 (t),4-5 二阶动态电路分析,一、 RLC串联电路的冲激响应,当t 0时， (t) = 0，i(0) = 0，uc (0) = 0,当t = 0+ 时，有,电容电流为有限值，电容电压不跳变，即,电感相当于断路元件,当t 0时，(t) = 0，所求响应为零输入响应,特征方程为,特征根(即电路的自然频率)为,令,（1）当,s1、s2为不相等的负实根,（2）当,s1、s2为共轭复数根,s1、s2为相等的负实根,（3）当,1. 当s1、s2为不相等的负实根时，微分方程的通解为:,初始条件为,电容上的冲激响应电压为,冲激响应电流为,非振荡情形,过阻尼情形,(b) tm t tm阶段,(a) 0 t tm的阶段,(c) t tm阶段,2. 当s1、s2为共轭复数根时,代入微分方程的通解:,d、0、三者之间的关系可用直角三角形表示,初始条件为,振荡情形,欠阻尼情形,称为衰减常数， 或阻尼常数,d 称为阻尼振荡角频率,在R = 0的极限情况下， = 0，,uc (t)、i (t) 均变为等幅振荡或称为无阻尼振荡,3. 当s1、s2为相等的负实根时，微分方程的通解为:,代入初始条件,故,由于 = 0的情形界于 0的非振荡情形与 0的振荡情形之间，故称 = 0的情形为临界情形，或临界阻尼情形。,例1 如图所示电路，已知R=3，L=0.5H，C=0.25F， uC(0-)=2V, iL(0-)=1A，求电容电压和电感 电流的零输入响应。,解：将R，L，C的值代入计算出固有频率,二、RLC串联电路的零输入响应,则,带入初值：,uC(0+)= uC(0-)= 2V iL(0+)= iL(0+)= 1A,K1=6 K2=-4,最后得到电容电压和电感电流的零输入响应为,例2 如图所示电路，已知R=6，L=1H，C=0.04F， uC(0-)=3V, iL(0-)=0.28A，求电容电压和电感 电流的零输入响应。,解：将R，L，C的值代入计算出固有频率,则,带入初值：,uC(0+)= uC(0-)= 3V iL(0+)= iL(0+)= 0.28A,K1=3 K2=4,最后得到电容电压和电感电流的零输入响应为,例3、在RLC串联电路中，已知L=10mH，C=2F，信号源输出f=100Hz、幅值为5V的方波信号，分别绘制R=50、141、500时电容电压的波形，并说明电路分别处于何种状态？,链接MultiSIM程序,解：电路的临界电阻为,三、RLC并联电路的零输入响应,uc (0) = uc (0) = 0,当t 0 时，有,RLC串联 电路,过阻尼状态,临界阻尼状态,欠阻尼状态,4-6 卷积积分及零状态响应的卷积计算法,若已知某线性时不变电路的冲激响应h(t)，可求出 该电路对任意激励 f(t)的零状态响应r(t),激励无关，体现电路本身的特性,激励为冲激函数时,激励延时的冲激函数时,冲激函数的强度为f()时,一、卷积积分的导出,函数f(t)作用于电路的零输入响应的近似表达,准确表达,若被积函数中含有冲激函数，则积分下限应为0,卷积积分,卷积的交换律,二、卷积积分的物理意义,线性电路在任意时刻 t 对任意激励的零状态响应， 等于从激励函数开始作用的时刻（ ）到指定 时刻（ ）的区间内，无穷多个幅度不同并 依次连续出现的冲激响应的和。,利用卷积积分求任意输入的零状态响应仅适用于线性时不变电路,卷积积分不能积分到 t 时刻