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中学数学密卷-压轴题库中考数学密卷-压轴题汇编(1)26、（2011重庆）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=23，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边EFG，使EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧设运动的时间为t秒（t0）（1）当等边EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形。专题：代数几何综合题；动点型；分类讨论。分析：（1）当边FG恰好经过点C时，CFB=60，BF=3t，在RtCBF中，解直角三角形可求t的值；（2）按照等边EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0t1，1t3，3t4，4t6四种情况，分别写出函数关系式；（3）存在当AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值解答：解：（1）当边FG恰好经过点C时，CFB=60，BF=3t，在RtCBF中，BC=23，tanCFB=BCBF，即tan60=23BF，解得BF=2，即3t=2，t=1，当边FG恰好经过点C时，t=1；（2）当0t1时，S=23t+43；当1t3时，S=32t2+33t+732；当3t4时，S=43t+203；当4t6时，S=3t2123t+363；（3）存在理由如下：在RtABC中，tanCAB=BCAB=33，CAB=30，又HEO=60，HAE=AHE=30，AE=HE=3t或t3，1）当AH=AO=3时，（如图），过点E作EMAH于M，则AM=12AH=32，在RtAME中，cosMAEAMAE，即cos30=32AE，AE=3，即3t=3或t3=3，t=33或t=3+3，2）当HA=HO时，（如图）则HOA=HAO=30，又HEO=60，EHO=90，EO=2HE=2AE，又AE+EO=3，AE+2AE=3，AE=1，即3t=1或t3=1，t=2或t=4；3）当OH=OA时，（如图），则OHA=OAH=30，HOB=60=HEB，点E和点O重合，AE=3，即3t=3或t3=3，t=6（舍去）或t=0；综上所述，存在5个这样的t值，使AOH是等腰三角形，即t=33或t=3+3或t=2或t=2或t=0点评：本题考查了特殊三角形、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的有关知识关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论26、（2011潼南县）如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D（1）求b，c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）由ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，可得A（1，0）B（4，5），然后利用待定系数法即可求得b，c的值；（2）由直线AB经过点A（1，0），B（4，5），即可求得直线AB的解析式，又由二次函数y=x22x3，设点E（t，t+1），则可得点F的坐标，则可求得EF的最大值，求得点E的坐标；（3）顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD，可求出点F的坐标（32，154），点D的坐标为（1，4）由S四边形EBFD=SBEF+SDEF即可求得；过点E作aEF交抛物线于点P，设点P（m，m22m3），可得m22m2=52，即可求得点P的坐标，又由过点F作bEF交抛物线于P3，设P3（n，n22n3），可得n22n2=154，求得点P的坐标，则可得使EFP是以EF为直角边的直角三角形的P的坐标解答：解：（1）由已知得：A（1，0），B（4，5），二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（4，5），&1b+c=0&16+4b+c=5，解得：b=2，c=3；（2）如图：直线AB经过点A（1，0），B（4，5），直线AB的解析式为：y=x+1，二次函数y=x22x3，设点E（t，t+1），则F（t，t22t3），EF=（t+1）（t22t3）=（t32）2+254，当t=32时，EF的最大值为254，点E的坐标为（32，52）；（3）如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD可求出点F的坐标（32，154），点D的坐标为（1，4）S四边形EBFD=SBEF+SDEF=12254（432）+12254（321）=758；如图：）过点E作aEF交抛物线于点P，设点P（m，m22m3）则有：m22m2=52，解得：m1=2262，m2=2+262，P1（2262，52），P2（2+262，52），）过点F作bEF交抛物线于P3，设P3（n，n22n3）则有：n22n2=154，解得：n1=12，n2=32（与点F重合，舍去），P3（12，154），综上所述：所有点P的坐标：P1（2262，52），P2（2+262，52），P3（12，154）能使EFP组成以EF为直角边的直角三角形点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识此题综合性很强，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用24、（2011綦江县）如图，等边ABC中，AO是BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边CDE，连接BE（1）求证：ACDBCE；（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理。分析：（1）由ABC与DCE是等边三角形，可得AC=BC，DC=EC，ACB=DCE=60，又由ACD+DCB=ECB+DCB=60，即可证得ACD=BCE，所以根据SAS即可证得ACDBCE；（2）首先过点C作CHBQ于H，由等边三角形的性质，即可求得DAC=30，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长解答：解：（1）ABC与DCE是等边三角形，AC=BC，DC=EC，ACB=DCE=60，ACD+DCB=ECB+DCB=60，ACD=BCE，ACDBCE（SAS）；（2）过点C作CHBQ于H，ABC是等边三角形，AO是角平分线，DAC=30，ACDBCE，QBC=DAC=30，CH=12BC=128=4，PC=CQ=5，CH=4，PH=QH=3，PQ=6点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形、等边三角形以及直角三角形的性质等知识此题综合性较强，但难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用26、（2011江津区）在“五个重庆”建设中，为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形ABCD是矩形，分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628米，设矩形的边长AB=y米，BC=x米（注：取 =3.14）（1）试用含x的代数式表示y；（2）现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428 元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元；设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由？若该工程在政府投入1千万元的基础上，又增加企业募捐资金64.82万元，但要求矩形的边BC的长不超过AB长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方案，若不能，请说明理由考点：二次函数的应用。专题：工程问题。分析：（1）把组合图形惊醒分割拼凑，利用圆的周长计算公式解答整理即可；（2）利用组合图形的特点，算出种植花草和铺设鹅卵石各自的面积，进一步求得该工程的总造价即可解答；利用配方法求得最小值进行验证即可得出结论；建立不等式与一元二次方程，求出答案结合实际即可解决问题解答：解：（1）由题意得，y+x=628，3.14y+3.14x=628，y+x=200则y=200x；（2）W=428xy+400（y2）2+400（x2）2，=428x（200x）+4003.14（200x）24+4003.14x24，=200x240000x+12560000；仅靠政府投入的1千万不能完成该工程的建设任务理由如下，由知W=200（x100）2+1.056107107，所以不能；由题意可知：x23y即x23（200x）解之得x80，0x80，又题意得：W=200（x100）2+1.056107=107+6.482105，整理得（x100）2=441，解得x1=79，x2=121（不合题意舍去），只能取x=79，则y=20079=121；所以设计方案是：AB长为121米，BC长为79米，再分别以各边为直径向外作半圆点评：此题利用基本数量关系和组合图形的面积列出二次函数，运用配方法求得最值，进一步结合不等式与一元二次方程解决实际问题24（2011湖南邵阳）如图（十一）所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(，0)，点C(0，3)，点B是x轴上一点(位于点A的右侧)，以AB为直径的圆恰好经过点C（1）求ACB的度数；（2）已知抛物线yax2bx3经过A、B两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC上是否存在点D，使BOD为等腰三角形若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由【解题思路】：(1) 以AB为直径的圆恰好经过点C ACB=(2) AOCABC A(，0)，点C(0，3)， B(4,0) 把 A、B、C三点坐标代入得 (3)1）OD=OB , D在OB 的中垂线上，过D作DHOB,垂足是H 则H 是OB 中点。DH= D 2) BD=BO 过D作DGOB,垂足是G OG:OB=CD:CB DG:OC=1:5 OG:4=1:5 DG:3=1:5 OG= DG= D(,)【点评】：本题考察了相似、勾股定理、抛物线的解析式求解等知识，运用平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似构建比例式，求解点到坐标轴的距离，进而得出相应的坐标。难度中等24、（2011湖北荆州）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）若P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y= 14x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1（1）求B点坐标；（2）求证：ME是P的切线；（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此轴称轴上不与N点重合的一动点，求ACQ周长的最小值；若FQ=t，SACQ=S，直接写出S与t之间的函数关系式考点：二次函数综合题分析：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，由正方形CDEF的面积为1，可得CD=CF=1，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，由PB=PE，根据勾股定理即可求得n的值，继而求得B的坐标；（2）由（1）知A（0，2），C（2，0），即可求得抛物线的解析式，然后求得FM的长，则可得PEFEMF，则可证得PEM=90，即ME是P的切线；（3）如图乙，延长AB交抛物线于A，连CA交对称轴x=3于Q，连AQ，则有AQ=AQ，ACQ周长的最小值为AC+AC的长，利用勾股定理即可求得ACQ周长的最小值；分别当Q点在F点上方时，当Q点在线段FN上时，当Q点在N点下方时去分析即可求得答案解答：解：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，正方形CDEF的面积为1，CD=CF=1，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，BC=2PC=2n，而PB=PE，PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2，PE2=PF2+EF2=（n+1）2+1，5n2=（n+1）2+1，解得：n=1或n= 12（舍去），BC=OC=2，B点坐标为（2，2）；（2）如图甲，由（1）知A（0，2），C（2，0），A，C在抛物线上， c=2144+2b+c=0，解得： c=2b=32，抛物线的解析式为：y= 14x2 32x+2= 14（x3）2 14，抛物线的对称轴为x=3，即EF所在直线，C与G关于直线x=3对称，CF=FG=1，MF= 12FG= 12，在RtPEF与RtEMF中，EFM=EFP， FMEF=121=12， EFPF=12， FMEF=EFPF，PEFEMF，EPF=FEM，PEM=PEF+FEM=PEF+EPF=90，ME是P的切线；（3）如图乙，延长AB交抛物线于A，连CA交对称轴x=3于Q，连AQ，则有AQ=AQ，ACQ周长的最小值为AC+AC的长，A与A关于直线x=3对称，A（0，2），A（6，2），AC=（62）2+22=2 5，而AC=22+22=2 2，ACQ周长的最小值为2 2+2 5；当Q点在F点上方时，S=t+1，当Q点在线段FN上时，S=1t，当Q点在N点下方时，S=t1点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，圆的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识此题综合性很强，题目难度较大，解题的关键是方程思想、分类讨论与数形结合思想的应用26、（2011襄阳）如图，在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10，以AB为直径的O与y轴正半轴交于点C，连接BC，ACCD是O的切线，AD丄CD于点D，tanCAD=12，抛物线y=ax2+bx+c过A，B，C三点（1）求证：CAD=CAB；（2）求抛物线的解析式；判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）连接OC，由CD是O的切线，可得OCCD，则可证得OCAD，又由OA=OC，则可证得CAD=CAB；（2）首先证得CAOBCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OAOB，又由tanCAO=tanCAD=12，则可求得CO，AO，BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；首先证得FOCFAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F的坐标，求得直线DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；（3）根据题意分别从PABC与PBAC去分析求解即可求得答案，小心不要漏解解答：（1）证明：连接OC，CD是O的切线，OCCD，ADCD，OCAD，OCA=CAD，OA=OC，CAB=OCA，CAD=CAB；（2）AB是O的直径，ACB=90，OCAB，CAB=OCB，CAOBCO，OCOA=OBOC，即OC2=OAOB，tanCAO=tanCAD=12，AO=2CO，又AB=10，OC2=2CO（102CO），CO0，CO=4，AO=8，BO=2，A（8，0），B（2，0），C（0，4），抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点，c=4，由题意得：&4a+2b+4=0&64a8b+4=0，解得：&a=14&b=32，抛物线的解析式为：y=14x232x+4；设直线DC交x轴于点F，AOCADC，AD=AO=8，OCAD，FOCFAD，OFAF=OCAD，8（BF+5）=5（BF+10），BF=103，F（163，0）；设直线DC的解析式为y=kx+m，则&m=4&163k+m=0，解得：&k=34&m=4，直线DC的解析式为y=34x+4，由y=14x232x+4=14（x+3）2+254得顶点E的坐标为（3，254），将E（3，254）代入直线DC的解析式y=34x+4中，右边=34（3）+4=254=左边，抛物线顶点E在直线CD上；（3）存在，P1（10，6），P2（10，36）点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，点与函数的关系，直角梯形等知识此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用24、（2011江汉区）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（3，0）、B（1，0），过顶点C作CHx轴于点H（1）直接填写：a=1，b=2，顶点C的坐标为（1，4）；（2）在y轴上是否存在点D，使得ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQAC于点Q，当PCQ与ACH相似时，求点P的坐标考点：二次函数综合题。分析：（1）将A（3，0）、B（1，0），代入y=ax2+bx+3求出即可，再利用平方法求出顶点坐标即可；（2）首先证明CEDDOA，得出y轴上存在点D（0，3）或（0，1），即可得出ACD是以AC为斜边的直角三角形（3）首先求出直线CM的解析式为y=k1x+b1，再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标，再利用若点P在对称轴左侧（如图），只能是PCQACH，得PCQ=ACH得出答案即可解答：解：（1）a=1，b=2，顶点C的坐标为（1，4）；（2）假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CEy轴于点E由CDA=90得，1+2=90又2+3=90，3=1又CED=DOA=90，CEDDOA，CEED=DOAO设D（0，c），则14c=c3变形得c24c+3=0，解之得c1=3，c2=1综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），使ACD是以AC为斜边的直角三角形（3）若点P在对称轴右侧（如图），只能是PCQCAH，得QCP=CAH延长CP交x轴于M，AM=CM，AM2=CM2设M（m，0），则（m+3）2=42+（m+1）2，m=2，即M（2，0）设直线CM的解析式为y=k1x+b1，则&k1+b1=4&2k1+b1=0，解之得k1=43，b1=83直线CM的解析式y=43x+83联立&y=43x+83&y=x22x+3，解之得&x=13&y=209或&x=1&y=4（舍去）P（13，209）若点P在对称轴左侧（如图），只能是PCQACH，得PCQ=ACH过A作CA的垂线交PC于点F，作FNx轴于点N由CFACAH得CAAF=CHAH=2，由FNAAHC得FNAH=NAHC=AFCA=12AN=2，FN=1，点F坐标为（5，1）设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则&k2+b2=4&5k2+b2=1，解之得k2=34，b2=194直线CF的解析式y=34x+194联立&y=34x+194&y=x22x+3，解之得&x=74&y=5516或&x=1&y=4（舍去）P（74，5516）满足条件的点P坐标为（13，209）或（74，5516）点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握24（2011湖北黄冈鄂州，24，14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kxb与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x10，x20）求b的值求x1x2的值分别过M、N作直线l：y=1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断M1FN1的形状，并证明你的结论对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由FMNN1M1F1Oyxl第24题图【解题思路】第（1）问，将F（0，1）代入y=kxb即可得b值。要将坐标转化为方程组的解，将方程组变形得关于x的一元二次方程，再利用根与系数的关系得=4（3）要结合条件并利用（2）中的结论得到F1M1F1N1=x1x2=4，结合（1）中的结论得F F1=2，再把两个结论结合得到F1M1F1N1=F1F2判定直角三角形相似，再利用直角三角形的相似性质，就可得到M1FN1=M1FF1F1FN1=FN1F1F1FN1=90，所以M1FN1是直角三角形（4）表示线段长利用坐标所在的函数关系，将函数式相加减表示距离。运用梯形中位线的性质，来证明。【答案】解：b=1显然和是方程组的两组解，解方程组消元得，依据“根与系数关系”得=4FMNN1M1F1Oyxl第24题解答用图PQM1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，则F1M1F1N1=x1x2=4，而F F1=2，所以F1M1F1N1=F1F2，另有M1F1F=FF1N1=90，易证RtM1FF1RtN1FF1，得M1FF1=FN1F1，故M1FN1=M1FF1F1FN1=FN1F1F1FN1=90，所以M1FN1是直角三角形存在，该直线为y=1理由如下：直线y=1即为直线M1N1如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为,计算知NN1=， NF=，得NN1=NF同理MM1=MF那么MN=MM1NN1，作梯形MM1N1N的中位线PQ，由中位线性质知PQ=（MM1NN1）=MN，即圆心到直线y=1的距离等于圆的半径，所以y=1总与该圆相切22 【点评】：此题第（1）问，很简单就是代入求值，确定函数的系数。（2）结合问题将一次、二次函数组合转化为一元二次方程，利用“根与系数”的关系求解。（3）直角三角形的判定涉及直角三角形相似的判定和性质的运用。（4）用函数的加减来求距离，梯形中位线。此题综合性很强，考查学生数形结合的思想，综合了代数、几何中的重点知识要学生有很好的综合技能才可解决。难度较大24、（2011宜昌）已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n相交于两点，这两点的坐标分别是（0，12）和（mb，m2mb+n），其中 a，b，c，m，n为实数，且 a，m不为 0（1）求c的值；（2）设抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点是（x1，0）和（x2，0），求x1x2的值；（3）当1x1时，设抛物线y=ax2+bx+c上与x轴距离最大的点为P（x0，y0），求这时|y0丨的最小值考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）把点（0，12）代入抛物线可以求出c的值（2）把点（0，12）代入直线得n=12，然后把点（mb，m2mb+n）代入抛物线，整理后可确定a的值，把a，c的值代入抛物线，当y=0时可以求出x1x2的值（3）抛物线y=x2+bx12的顶点（b2，12b24），当b0时，x=1时y的值大；当b0时，x=1时y的值大然后比较x=1，x=1以及抛物线顶点的纵坐标的绝对值，确定|y0|的最小值解答：解：（1）把点（0，12）代入抛物线，得：c=12；（2）把点（0，12）代入直线得：n=12把点（mb，m2mb+n）代入抛物线，得：a（mb）2+b（mb）+c=m2mb+nc=n=12，a（mb）2+b（mb）=m2mb，am22abm+ab2+bmb2m2+mb=0（a1）m2（a1）2bm+（a1）b2=0（a1）（m22bm+b2）=0（a1）（mb）2=0a=1，当mb=0时，抛物线与直线的两个交点就是一个点，所以mb把a=1，c=12代入抛物线有：y=x2+bx12，当y=0时，x2+bx12=0，x1x2=12；（3）y=x2+bx12，顶点（b2，12b24）当b0时，x=1时，y=12b，比较12b与12+b24的大小，得到：4b0时，12b12+b24，所以当b=0时，|y0|的最小值为12b4时，12b12+b24，所以当b=4时，|y0|的最小值为92当b0时，x=1时，y=12+b，比较12+b与12+b24的大小，得到：0b4时，12+b12+b24，所以当b=0时，|y0|的最小值为12b4时，12+b12+b24，所以当b=4时，|y0|的最小值为92故|y0|的最小值为12或92点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据抛物线上的点确定c的值（2）结合一元二次方程的解确定x1x2的值（3）在x的取值范围内确定|y0|的最小值25、（2011滨州）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）（3）为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）考点：二次函数的应用。分析：（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，可设抛物线的函数解析式为y=ax2，又由点A在抛物线上，即可求得此抛物线的函数解析式；（2）延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，连接BD交OC于点P，则点P即为所求；（3）首先根据题意求得点B与D的坐标，设直线BD的函数解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线BD的函数解析式，把x=0代入y=x+4，即可求得点P的坐标解答：解：（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y=ax2，由题意知点A的坐标为（4，8）点A在抛物线上，8=a42，解得a=12，所求抛物线的函数解析式为：y=12x2；（2）找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，则点A、D关于OC对称连接BD交OC于点P，则点P即为所求（3）由题意知点B的横坐标为2，点B在抛物线上，点B的坐标为（2，2），又点A的坐标为（4，8），点D的坐标为（4，8），设直线BD的函数解析式为y=kx+b，&2k+b=2&4k+b=8，解得：k=1，b=4直线BD的函数解析式为y=x+4，把x=0代入y=x+4，得点P的坐标为（0，4），两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米点评：此题考查了二次函数的实际应用问题解此题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数解题23、（2011德州）在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数y=23x（x0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A（1）如图1，P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由（2）如图2，P运动到与x轴相交，设交点为B，C当四边形ABCP是菱形时：求出点A，B，C的坐标在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使MBP的面积是菱形ABCP面积的12若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由考点：二次函数综合题。分析：（1）四边形OKPA是正方形当P分别与两坐标轴相切时，PAy轴，PKx轴，x轴y轴，且PA=PK，可判断结论；（2）连接PB，设点P（x，23x），过点P作PGBC于G，则半径PB=PC，由菱形的性质得PC=BC，可知PBC为等边三角形，在RtPBG中，PBG=60，PB=PA=x，PG=23x，利用sinPBG=PGPB，列方程求x即可；求直线PB的解析式，利用过A点或C点且平行于PB的直线解析式与抛物线解析式联立，列方程组求满足条件的M点坐标即可解答：（1）四边形OKPA是正方形证明：P分别与两坐标轴相切，PAOA，PKOKPAO=OKP=90又AOK=90，PAO=OKP=AOK=90四边形OKPA是矩形又OA=OK，四边形OKPA是正方形（2分）（2）连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为23x过点P作PGBC于G四边形ABCP为菱形，BC=PA=PB=PCPBC为等边三角形在RtPBG中，PBG=60，PB=PA=x，PG=23xsinPBG=PGPB，即32=23xx解之得：x=2（负值舍去）PG=3，PA=BC=2（4分）易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，OB=OGBG=1，OC=OG+GC=3A（0，3），B（1，0）C（3，0）（6分）设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c据题意得：&a+b+c=0&9a+3b+c=0&c=3解之得：a=33，b=433，c=3二次函数关系式为：y=33x2433x+3（9分）解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得：&u+v=0&2u+v=3解之得：u=3，v=33直线BP的解析式为：y=3x33过点A作直线AMPB，则可得直线AM的解析式为：y=3x+3解方程组：&y=3x+3&y=33x2433x+3得：&x1=0&y1=3；&x2=7&y2=83过点C作直线CMPB，则可设直线CM的解析式为：y=3x+t0=33+tt=33直线CM的解析式为：y=3x33解方程组：&y=3x33&y=33x2433x+3得：&x1=3&y1=0；&x2=4&y2=3综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，3），（3，0），（4，3），（7，83）（12分）解法二：SPAB=SPBC=12SPABC，A（0，3），C（3，0）显然满足条件延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA又AMBC，SPBM=SPBA=12SPABC点M的纵坐标为3又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4点M（4，3）符合要求点（7，83）的求法同解法一综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，3），（3，0），（4，3），（7，83）（12分）解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA又AMBC，SPBM=SPBA=12SPABC点M的纵坐标为3即33x2433x+3=3解得：x1=0（舍），x2=4点M的坐标为（4，3）点（7，83）的求法同解法一综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，3），（3，0），（4，3），（7，83）（12分）点评：本题考查了二次函数的综合运用关键是由菱形、圆的性质，形数结合解题28、（2011泰安）某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件（1）当售价定为30元时，一个月可获利多少元？（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？考点：二次函数的应用。专题：销售问题。分析：（1）当售价定为30元时，可知每一件赚10元钱，再有售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件可计算出一个月可获利多少元；（2）设售价为每件x元时，一个月的获利为y元，得到y与x的二次函数关系式求出函数的最大值即可解答：解：（1）获利：（3020）1055（3025）=800；（2）设售价为每件x元时，一个月的获利为y元，由题意，得y=（x20）1055（x25）=5x2+330x4600=5（x33）2+845，当x=33时，y的最大值为845，故当售价定为33元时，一个月的利润最大，最大利润是845元点评：本题主要考查了二次函数的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法29、（2011泰安）已知：在ABC中，AC=BC，ACB=90，点D是AB的中点，点E是AB边上一点（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形。专题：证明题。分析：（1）首先根据点D是AB中点，ACB=90，可得出ACD=BCD=45，判断出AECCGB，即可得出AE=CG，（2）根据垂直的定义得出CMA+MCH=90，BEC+MCH=90，再根据AC=BC，ACM=CBE=45，得出BCECAM，进而证明出BE=CM解答：解：（1）证明：点D是AB中点，AC=BC，ACB=90，CDAB，ACD=BCD=45，CAD=CBD=45，CAE=BCG，又BFCE，CBG+BCF=90，又ACE+BCF=90，ACE=CBG，AECCGB，AE=CG，（2）BE=CM，证明：CHHM，CDED，CMA+MCH=90，BEC+MCH=90，CMA=BEC，又AC=BC，ACM=CBE=45，BCECAM，BE=CM点评：本题主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等的性质，难度适中26、（2011临沂）如图，已知抛物线经过A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）由于抛物线经过A（2，0），B（3，3）及原点O，待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等以及对角线互相平方，可以求出点D的坐标；（3）根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标解答：解（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a0），且过A（2，0），B（3，3），O（0，0）可得&4a2b+c=0&9a3b+c=3&c=0，解得&a=1&b=2&c=0故抛物线的解析式为y=x2+2x；（2）当AE为边时，A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，DE=AO=2，则D在x轴下方不可能，D在x轴上方且DE=2，则D1（1，3），D2（3，3）；当AO为对角线时，则DE与AO互相平方，因为点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为1，由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（1，1）故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（3，3），C（1，1）；（3）存在，如上图：B（3，3），C（1，1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，BO2+CO2=BC2BOC是直角三角形假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与BOC相似，设P（x，y），由题意知x0，y0，且y=x2+2x，若AMPBOC，则AMBO=PMCO，即 x+2=3（x2+2x）得：x1=13，x2=2（舍去）当x=13时，y=79，即P（13，79）若PMABOC，则AMCO=PMBO，即：x2+2x=3（x+2）得