《数学分析》第三章一元函数微分学.doc

第三章 一元函数微分学一、本章知识脉络框图极限罗尔中值定理罗比达法则泰勒公式柯西定理拉格朗日定理一元函数微分学导数微分导数和函数的性质连续连续函数的性质四个微分中值定理几何性质单调性、最值、极值、稳定点、凸（凹）性、拐点二、本章重点及难点微分学是数学分析的核心内容之一，导数是微分学的重要概念，用导数研究函数的性质是数学分析研究函数的一个特征.数学分析中的积分学、级数理论等也与导数有密切的联系.本章首先引入了函数导数与微分的概念；分析了可导性与连续性的联系；进而又讲述了导数的计算与高阶导数；最后介绍了几个比较重要的微分中值定理与导数的应用. 在学习过程中我们要注意导数与微分的概念及其实际意义；微分中值定理及其应用. 本章的重点与难点主要有以下几个方面：l 函数导数的概念、可导性与连续性的关系；费马定理、导函数的介值定理；导数的运算（复合函数、反函数的求导法则）；掌握参变量方程所确定的函数的导数；高阶导数的概念及其求法.l 微分（含高阶微分）概念的理解及其运算法则；函数连续性、可导性、可微性之间的关系.l 拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒定理及它们定理的应用推广；极值的三个充分条件及其证明过程；对函数凸性概念的理解及相关命题的证明；函数图象性态的列表表示法.三、本章的基本知识要点 （一）导数与微分 1. 设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作类似的，定义函数在点处的左导数与右导数：，右导数和左导数统称为单侧导数2. 设函数定义在点的某邻域内当给一个增量，时，相应地得到函数的增量为. 如果存在常数，使得能表示成则称函数在点可微，并称式中的第一项为在点的微分，记作 或 .由定义可见，函数的微分与增量仅相差一个关于的高阶无穷小量，由于是的线性函数，所以当时，也说微分是增量的线性主部容易看出，函数在点可导和可微是等价的.3. 导数与微分的基本性质. （1）（有限增量公式）若在点可导，则（）；（2）（可导的充要条件）若函数在点的某邻域内有定义，则存在与都存在，且=；（3）（可导与可微的关系）函数在点可导和可微是等价的；（4）（可微与连续性的关系）若在点可微，则在点必连续（反之不真）；（5）（导数的几何意义）导数的几何意义解释是曲线的斜率，即函数在点的导数是曲线在点的切线斜率若表示这条切线与轴正向的夹角，则从而意味着切线与轴正向的夹角为锐角；意味着切线与轴正向的夹角为钝角；示切线与轴平行；（6）（费马定理）设函数在点的某邻域内有定义，且在点可导若点为的极值点，则必有我们称满足方程的点为稳定点（7）（达布定理）若函数在上可导，且，为介于，之间任一实数，则至少存在一点，使得.4.求导（微分）法则.（1）（线性法则）（其中为常数）；（2）（乘积法则）；（3）（商法则）（其中）；（4）（复合函数求导法则）（也称链式法则）；（5）（反函数求导法则）；（6）（莱布尼茨法则）其中是组合系数.5. 若函数的导函数，在点可导，则称，在点的导数为在点的二阶导数，记作，即 同时称在点为二阶可导 利用数学归纳法可由的阶导函数定义的阶导函数(或简称阶导数)，二阶以及二阶以上的导数都称为高阶导数，函数在点处的阶导数记作 相应地，阶导函数记作: .这里亦写作为6. 一阶微分形式不变性：不管是自变量还是中间量，的一阶微分始终具有的形式. 7.基本初等函数的求导公式（1） (c为常数)；（2） (为任意实数)；（3）；（4） （5）；（6） （二）微分中值定理1.罗尔中值定理若函数满足如下条件： (i)在闭区间上连续；(ii)在开区间内可导；(iii)，则在内至少存在一点，使得 .罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线.注 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立.2. 拉格朗日()中值定理若函数满足如下条件：在闭区间上连续； 在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得 .显然，特别当时，本定理的结论即为罗尔定理的结论，这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形拉格郎日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点出的切线平行于曲线俩短点的连线，我们在证明中引入的辅助线函数，正是曲线与直线之差.定理的结论称为拉格朗日公式。拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式：注：拉格朗日公式无论对于，还是都成立，而则是介于与之间的某一定数，而（4）、（5）两式的特点，在于把中值点表示成了，使得不论为何值，总可为小于1的某一正数.拉格朗日中值定理有以下三个重要的推论：推论1 若函数在区间上可导，且，则为上一个常量函数推论2 若函数和g均在区间上可导，且，则在区间上与只相差某一常数，即 (c为某一常数)推论3 (导数极限定理) 设函数在点的某邻域U()内连续，在内可导，且极限存在，则在点可导，且 .3. 柯西中值定理设函数和满足(i)在上都连续； (ii)在()上都可导； (iii)不同时为零； (iv) 则存在使得 柯西中值定理有着与前两个中值定理相类似的几何意义4. 不定式极限的洛必达法则（1）（型不定式极限）若函数和满足： (i)； (ii)在点的某空心邻域内两者都可导，且； (A可为实数，也可为或，则 （2）（型不定式极限）若函数和g满足： (i) （ii）在某右邻域内两者都可导，且 （iii） (A可为实数，也可为)则（3）（其他类型不定式极限）不定式极限还有等类型它们一般均可化为型或型的极限.（三）泰勒公式 1. 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 若函数在点存在直到阶的导数，那么有其中称为函数在点处的泰勒(Taylor)多项式，的各项系数1，2，)称为泰勒系数 2. 带有拉格朗日型余项的泰勒公式若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得 也称为泰勒公式，它的余项为称为拉格朗日型余项所以此结论又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。时，即为拉格朗日中值公式 所以，泰勒定理可以看作拉格朗日中值定理的推广.当时，得到泰勒公式 此式也称为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式 3. 常见函数的麦克劳林公式(带有佩亚诺余项)（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（四）一元函数微分学应用1.稳定点设在区间I上有定义，如果存在，并且满足方程，则称为的稳定点或的驻点.注：函数的驻点对讨论函数的单调性、极值及最大（小）值起关键作用.2.凸函数及其特性设为定义在区间上的函数，若对上的任意两点和任意实数总有 ，则称为上的凸函数反之，如果总有 则称为的凹函数如果不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数易证：若为区间上的凸函数，则为区间上的凹函数故只需讨论凸性即可（凸函数的几何特性）为上的凸函数对于上的任意三点总有 .（可导函数凸性的等价命题）设为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价： 为I上凸函数； 为I上的增函数； 对I上的任意两点，有（二阶可导函数凸性的充要条件）设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸(凹)函数的充要条件是（凸函数的Jensen不等式）若为上凸函数，则对任意，有注：从几何直观解释，所谓凸函数就是指函数图像的切线在曲线的下方（局部地），或过函数图像上任意两点的割线在曲线的上方.函数凸性的讨论及应用举例见例题及训练题3. 拐点 拐点的定义：设曲线在点处有穿过曲线的切线且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点为曲线的拐点由定义可见，拐点正是凸和凹曲线的分界点（拐点存在的充分条件）设在可导，在某邻域内二阶可导若在和上的符号相反，则()为曲线的拐点（拐点存在的必要条件）若在二阶可导，则为曲线的拐点的必要条件是注：（）若()是曲线的一个拐点， 在的未必可导如：函数y=在=0的情况（）拐点概念的引入给描绘函数的额图像带来便利.4.单调性的判别函数单调性的判别准则设在区间I上可导,则在I上递增(减)的充要条件是 ().函数严格单调性判别的准则若函数在()内可导，则在()内严格递增(递减)的充要条件是： (i)对一切，有()； (ii)在()内的任何子区间上.注：若函数在区间I上可微，若，则在上严格递增(减).函数单调性讨论例题见例题及训练题.5.极值的判别及求法(极值的第一充分条件) 设在点连续，在某邻域 内可导。 (i) 若当时 ，当 时 ，则在点取得极小值.（ii）若当时，当时，则在点取得极大值(极值的第二充分条件) 设在的某邻域内一阶可导，在处二阶可导，且(i) 若，则在取得极大值(ii) 若，则在取得极小值(极值的第三充分条件) 设在的某邻域内存在直到1阶导函数，在处阶可导，且，则 (i)当为偶数时，在取极值，且取极大值，取极小值 （ii）当为奇数时，在处不取极值注：（）第一充分条件的证明那个利用函数的单调性、连续性及定义即得；第二、三充分条件的证明利用泰勒公式及极值的定义即得.（）求函数极值的一般步骤是：先确定稳定点与不存在的点，然后再利用极值的充分条件确定函数的极值（对于不存在的点智能利用第一充分条件）.函数极值的求法例题见例题及训练题.6.最大（小）值的求法若函数在闭区间上连续，则在上一定有最大、最小值 若函数的最大(小)值点在区间内，则必定是的极大(小)值点又若在可导，则还是一个稳定点所以我们只要比较在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到在上的最大值与最小值函数最值的求法例题见例题及训练题.7.微分法在不等式证明中的应用.应用见例题及训练题.四、基本例题解题点击【例1】讨论函数在区间上的可导性，其中是整数.【提示及点评】考查了函数可导性的判断方法.【解析】.,函数在可导，取，有 =.当时，有 当时，有 【例2】设函数在上有定义，在区间上，若对任意的都满足其中为常数. 写出在上的表达式； 问为何值时，在处可导.【提示及点评】利用导数的定义.【解】由题设，当时，则由知 .由导数定义及,有 令则所以当时，在处可导. 【例3】若，又在处可导，求.【提示及点评】利用导数的定义.【解析】而. 【知识扩展提示】此类题目见【训练题1】.【例4】求函数在上的最大值、最小值.【提示及点评】最值的求法：比较在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到在上的最大值与最小值【解析】由，令，得唯一驻点，且.又不存在的点为，而区间右端点上的函数值为，左端点的函数值为.比较这些值可知：函数在上的最大值、最小值分别为，【知识扩展提示】有关极值的应用见扩展题【例10】.【例5】设函数在内可导，且，,（）求；（）求的极限。【证明】（）=即 由 可得 故（）由解得当时，；时， 在处取极小值 故 【例6】设 讨论在处的导数？ 【提示及点评】本题考查左、右导数的定义【解析】是分段函数，且分别求其在处的左、右导数，因此在处左导数存在，右导数不存在. 【例7】设函数由方程所确定，求曲线在点（0，1）处的法线方程.【提示及点评】 根据隐函数求导法则以及导数的定义.【解析】由题设，将两边对x求导，得。 将代入原方程得,再将，代入，得，因此所求法线方程为 ，即【知识扩展提示】如何求曲线的切线方程见扩展例题的例题4.【例8】求函数的微分.【提示及点评】 利用微分的线性运算法则.【解析】= = 【知识扩展提示】可看出，一般应用微分运算法则求函数的微分比直接用公式更方便一些，不易出错，对一些比较复杂的函数更能显示出其优越性. 【例9】已知是周期为5的连续函数，它在的某邻域内满足关系式其中当时比高阶的无穷小，且在处可导，求曲线在处的切线方程.【解】这是个综合题.首先要对已知条件作无穷小分析，当时.若视,那么，由在点可导，便立即想到微分式 而当时，与是等价无穷小，故，于是 即 令得，等式两边用除后令，得 故.又因为，因此所求切线方程是 或.【例10】证明拉格朗日中值定理：如函数在上连续，在可导，则存在使得证明：若函数在处连续，在内可导，且则存在，且【证明】作辅助函数可验证满足：在闭区间上连续，在开区间内可导.由罗尔定理可得，在内至少有一点，使即故有,命题得证.任取则函数满足：在闭区间上连续，在开区间内可导，从而根据拉格朗日中值定理可得：存在使得又由于对上式两边取时的极限可得：由此可知，存在，且 【例11】证明，若函数在上连续，且，则在内至少存在一点c，使.【提示及点评】利用极限的保号性以及函数的零点定理.【证明】不妨设与，根据极限保号性，有即 或 即 或 于是，； ，。根据连续函数的零点定理，在内至少存在一点c，使. 【知识扩展】一般来说，证明连续函数在某点，使，经常应用连续函数的零点定理。为此要在此区间上找到两点与，使。根据已知条件，不妨设与。，即曲线在点右侧的切线斜率为正，又已知，则在点右侧存在点，使。，即曲线在点左侧的切线斜率也为正，又已知，则在点左侧存在点，使。于是应用连续函数的零点定理，证明了结论。【例12】设证明【证明】由题设所给待证不等式的结构形式，可引导辅助函数 则显然当时，即严格单调递减，所以当时因此当时，严格单调递增，即 ，从而,所以，证毕。【知识扩展提示】本题也可应用拉格朗日中值定理来证明。设，在上由拉格朗日中值定理知：存在一点,使得，.又设，则，当时，即严格单调递减，也即当时，。综上知，所以，即.【例13】设函数在有定义，且存在二阶导数，问取何值，函数存在二阶导数。【提示及点评】应用函数在连续，存在一阶导数与二阶导数的条件。【解析】有 即 即 即 于是， 。【例14】证明，函数在可导，有两个数列与，且，则【提示及点评】本题可用两种方法来证明，其一是用导数定义，其二是导数定义的一种变形.：往证能任意小.将改写为与已知条件相适应的形式.【证明】法一：，有，即。令,有， .令,有, .两式相减, 或 已知与, 有 .于是, .法二：已知函数在可导,且.根据海涅极限定理, , 与 . 令,有= 于是, ,即 .【知识扩展提示】从证明方法来说,证法一与证法二是相同的.证法一较为自然,而证法二有较高的技巧,主要表现在将改写为与函数在导数相适应的形式,即式,并用到 与 由此可见恒等变形的重要性.【例15】证明：若函数在内非负，存在三阶导数，且方程有两个相异的实根，则存在使.【提示及点评】设方程有两个相异的实根与，有，可证还存在，使.再应用洛尔定理,可证得结果.【证明】已知函数在内非负，而方程有两个相异的实根与，即,则与必是函数的局部极小点. 根据费尔马定理,有 .根据洛尔定理, 存在，使.根据洛尔定理, 存在与, 使 .再根据洛尔定理，存在, 使【例16】证明：若函数在上可导，且极限与都存在，则极限. 【提示及点评】本题可用良好总方法来证明（1）应用拉格朗日中值定理. （2）用反证法，应用拉格朗日定理，得到的结果与已知条件矛盾.【证明】法一：设, 则, 有, .已知极限存在, 则.于是,即极限.法二：假设.不妨设根据极限的保号性, 或.,根据拉格朗日定理,有 , 或 显然, 当时，不存在. 矛盾.【知识扩展提示】将题目做一下小的改动见扩展题【例13】.【例17】设函数在区间上存在二阶导数.函数在区间内是凹有【提示及点评】必要性用凹的定义充分性用泰勒公式.【证明】“” 且.已知函数在区间内是凹的，有 与 或 与 从而 即函数在区间内单调增加，于是，有“” 由泰勒公式，有，其中在与之间，已知有则即函数在区间内是凹.【例18】证明：若函数在内存在二阶导数，存在使则存在使 .【提示及点评】作辅助函数 （或）已知则可证最后应用连续函数的介值性.【证明】法一：作辅助函数 已知则在严格增加，即有有.于是，有 设与取函数在与上分别取中的一切值.根据应用连续函数的介值性，对存在与使 即 或 法二：作辅助函数 则而从而函数在取局部极小值.已知则在严格增加.于是，使 与 设根据连续函数的介值性，分别存在与使有 即 .【知识扩展提示】欲证存在使其几何意义就是在曲线上存在二点与，过此二点的直线斜率等于过曲线上一点的切线斜率.证法一，过曲线上一点的切线方程（线性函数）是 为此我们作辅助函数 它的几何意义是，曲线与切线方程在点纵坐标之差，是一条新的曲线.不难验证，即曲线在点的切线是轴，并证明于是，欲证的问题转化为存在使为此，取根据连续函数的介值性得到了证明.证法二与证法一类似，知识辅助函数的构造较证法一简单一些.【例19】证明：若函数在上连续，且非线性函数，在内可微，则存在，使 .【提示及点评】设通过点与的直线方程是,必存在一点,使,则通过点与的直线斜率和通过点与的直线斜率必有一个大于.再根据拉格朗日中值定理，可证得结果.【证明】通过点与的直线方程是 .有，.已知函数非线性函数，存在点，使.不妨设，.有.根据拉格朗日定理，存在与，有.当时，有，取.当时，有,取.于是，存在，使 .【知识扩展提示】还可以利用反正法来证明假设有.已知函数是非线性函数，存在，有 与 .或 与 ，即 即 .将此两式对应项相加，有 或 .与矛盾.【例20】若函数在区间上可导，且，则对任意个正数，在中存在个不同的数，使 .【提示及点评】如果是线性函数，即显然成立.如果不是线性函数，由已知条件和中值定理可知，存在使 与 .可见,存在个不同的正数且, 使 .最后应用达布定理. 【证明】如果是线性函数，则在中任取个不相同的数，有 如果不是线性函数，即，使，不妨设.有 或 或 于是，存在，使 与 .已知存在个不同的正数，且 ， , 使 . 根据达布定理，对每个，存在不同的，使 或 于是， .【知识扩展提示】 若是个正数，则存在个不同的，且使 .事实上 .取解得 .因为是固定的自然数，所以 和 ，于是，当充分大时， 使 . 五、扩展例题解题点击【例1】证明：若函数在点存在二阶导数，则 【提示及点评】应用洛比达法则，再用导数定义. 【证明】 【例2】设函数在内具有二阶导数，且,是的反函数. (1) 试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程：(2)求变换后的微分方程满足初始条件的解.【提示及点评】实质上是求反函数的一、二阶导数的问题.【解】(1)由反函数求导公式知 ，.代入原微分方程，便得常系数的二阶线性微分方程 (2)特征方程的两个根由于非齐次项不是特征根，则设的特解，代入求得,故，于是通解为 又由初始条件得所求初值问题的解为 【例3】次多项式称为埃尔米特（Hermite）多项式。证明埃尔米特多项式有下列性质：【提示及点评】高阶求导的方法（莱布尼茨公式）.【证明】 1）对埃尔米特多项式求导：其中 （用布莱尼兹公式） 于是 2）由式，有 对等式两端求导数， 由1）的结果，有 ，代入上式 ，即 3）在式中，代入1）的结果，有 即 【例4】证明：函数 在存在任意阶导数，且【提示及点评】用导数的定义和归纳法。【解析】当时， 其中是关于的次多项式（见下面知识扩展提示）。 用归纳法。假设，有 于是，函数在存在任意阶导数，且 【知识扩展提示】显然，函数在上是偶函数，且函数值，函数在上连续。当时，由与可知，其中是的3次多项式。，其中是的6次多项式。用归纳法可证，其中是的次多项式。事实上，设 ，其中是的次多项式。令，有，则于是，是的次多项式。【例5】设在区间上连续，在内可导，且试证：存在，使.对任意实数，必存在使.【证明】令，显然在上连续，在内可导，且 ,由连续函数的介值定理得到：存在，使,即，故.为证存在，使，只需证方程有解. 令，则由有，使又由题设知，,故由罗尔定理得到，存在，使，即 -解出 .【知识扩展提示】对于命题存在，使的中值等式的证法的关键是作辅助函数，使，然后再证明F满足罗尔定理，因而存在，使，即G作辅助函数，常用的就是凑导数法。（先将中值定等式的中值变为得G=0,再将G凑成某函数F的导数，即G=,则F就是要作的辅助函数，有时需要在G=0两端乘以相应的非零因子才行）。【例6】设具有一阶、二阶导数，,且,试证: .【提示及点评】在函数的极值点，因有，故常在处泰勒展开。【证明】为证，只需证内存在一点，使.显然在上连续.由闭区间上连续函数性质知，在上必有最大值.设在点处达到最大值，即 ,则必是的极大值点，因而. 将在处展成一阶泰勒公式，得到 ，其中在与之间.将分别代入上式得到 ，即 即.当时，；当时，【例7】设有连续二阶导数，计算极限 【提示及点评】连续使用三次洛比达法则，应用行列式求导公式.【证明】 【注】也可用如下解法 【例8】设,函数在上连续,在内可导，且, ，证明：必存在，使 ；必存在，使【证明】不妨设 ，则，.设，则.且，由零点定理知：必存在、，使显然在上满足罗尔定理的条件，故必存在，使，即 即在上连续,在内可导；在上也满足以上条件，且.由柯西定理知，必存在使 则 又由拉格朗日定理知，必存在使 【例9】（）讨论函数的单调性并求极值（）讨论方程的实根的个数【提示及点评】 【证明】（）， 令得，-0+/+/+0-/-y极小间断间断极大间断极小值y - ，极大值= （）在内，方程的实根个数，即曲线与的交点个数，因为，根据上表可知，时，方程有两个实根；，方程有三个实根；，方程有四个实根。【例10】设在上二阶可导，在内取最大值2，在内取得最小值.证明： （）必存在使； （）必存在使【提示及点评】 运用拉格朗日中值定理、左右导数的定义.【证明】（）设在处取得最大值，则由拉格朗日中值定理有 即 又，故（） 在处取得最大值且可导，则 ， .设在处取得最小值，则. 则 （在与之间） 即 【例11】（2001年数学一）设，讨论在点可导的充要条件： A.存在 B. 存在C. 存在 D. 存在【提示及点评】利用导数定义及可导的充要条件.【解析】由题设已知，则由导数定义，在点处可导的充要条件是极限存在且有限，设，关于选项A，因为只能确定存在，无法确定存在，因而A不一定成立. 关于选项B, 因而B正确. 关于选项C,由存在不能确定是否存在，因此C也被排除掉.关于选项D, 由存在不能肯定存在，所以也就无法推出存在.综上，选B.【例12】证明，若函数可导，则【提示及点评】是利用阶行列式的定义，展成项的代数和.【证明】法一：其中是数集置换集。是置换符号。若是偶置换，；若是奇置换，。由和与乘积的导数公式，有 【知识扩展提示】本题还可以利用导数的定义来证明. 先求 然后再求即可.【例13】若函数在区间内可导, 且则【提示及点评】作辅助函数，.对函数与应用柯西中值定理.【证明】令，显然，已知，即.,根据柯西中值定理,有 .或，. 已知，即与.于是，,即.【知识扩展提示】本题证明引入的辅助函数与有很高的技巧.目的是为了找到与之间的关系，利用了指数函数的特性，即 与.再根据柯西中值定理，得到式，从而得到欲证的结果.例如，同法可证:若函数在上连续，在上可导，且，则对任意,存在，使. 【例14】证明：球体积的相对误差约是它的直径相对误差的三倍。【提示及点评】用公式。【解析】设球的直径是，其绝对误差是。已知球的体积.,即得绝对误差球体积的相对误差即球体积的相对误差约是它的直径的相对误差的三倍。【例15】（1996年数学二）设函数 写出的反函数的表达式； 是否有间断点、不可导点？若有，指出这些点.【提示及点评】【解析】由题设，为分段函数，因此应在不同的区间段上分别求相应的反函数，即的两个分段点为分别讨论它们的性质，当因此在处连续，当且因此在处也连续，除此之外，在所有点上都是连续的，所以在上无间断点.关于可导性，当时，当时，其中时不可导；当时，又 因而点处不可导， 即点处可导. 综上不可导点为和【例16】若函数在上连续,在内可导,且,则在内存在三点，有 【提示及点评】应用柯西中值定理. 分别选取注意【证明】取有 ，取有 或 .取有 或 于是,在内存在三点，有【例17】证明：若函数在上存在二阶导数，且，则存在使【提示及点评】设将在展成泰勒公式.令与再分别讨论，与的两种情况.【证明】设且 将在展成泰勒公式（到二阶导数）.，在与之间.令与分别有 或 与 或 .当时，有当时，有于是，存在使【知识扩展提示】凡是已知函数在高阶导数研究函数的性态，一般都要应用泰勒公式.例如，此例以及例18和例19的证明.这也是这类问题的一般规律.究竟将函数在哪一点展成泰勒公式，视问题的要求和具体情况而定.例如，此例是将函数在展成泰勒公式.这是因为，而，由泰勒公式（展到二阶导数），能解得二阶导数.从而能达到证明的目的.例如，同法可证： 若函数在上存在二阶导数，且则存在使 若函数在上存在三阶导数，且则存在使【例18】证明：若函数在上存在二阶导数，且则存在内存在一点，使 .【提示及点评 】将分别在点和点展成泰勒公式，到二阶导数两式作差.【证明】将分别在点和点展成泰勒公式，并注意有 . .令 即 .【例19】证明：若函数在上存在连续三阶导数，且有 则函数是二次多项式.【提示及点评】只须证明（见例1）.为此，对任意，将函数与展成泰勒公式（到三阶导数）.然后计算处理.【证明】将函数在展成泰勒公式，有 将函数在展成泰劳公式，有 将上述结果带入等式之中，有 或 =即 当时，有与由三阶导数的连续性，有 即 这个等式成立即是二次多项式.【例20】函数在区间上是凹函数 在上是单调增加的.【提示及点评】必要性与充要性都有凹的定义.【证明】“” 函数在区间上是凹的，即分一下三中情况： 当时，有 或 当时，有 或 即 当时，有 于是，函数是单调增加函数. “” 已知函数是单调增加函数，即，且，有 当时，有 当时，有， 当时，有即函数在上是凹的.【例21】证明：若函数在区间上是凹得，即与有 则对函数在存在右导数与左导数，有，且函数在上连续.【提示及点评】应用上述例题证明，函数在存在左右导数，从而证明函数在上连续.【证明】 ，且.我们可知是单调递增的，即 因为函数是单调增加，且有上界，所以当时，有 同理，有 于是，由式，有 因为函数在存在左右导数，所以函数在连续，即函数在连续.【例22】证明：若函数在内可导，且存在唯一一个使 则函数在内是严格凹或严格凸.【提示及点评】用反证法.假设结论不成立，则曲线上存在三点位于一条直线上，应用拉格朗日中值定理，得到矛盾.【证明】假设函数在内既非严格凹也非严格凸，即存在且对应曲线上三点，有 与 或 即三点，位于一条直线上.根据拉格朗日定理，有 = = . 与只存在唯一一个使矛盾.【例23】证明不等式 其中【提示及点评】应用求极值证明不等式.【证明】讨论函数在上的最大值.令 解得唯一一个稳定点当时，当时，于是，函数在有局部极大值.不难证明，函数在有局部极大值 就是函数在上的最大值，即有 令（当时，欲证的不等式显然成立），有 即 【例24】证明不等式 ，其中称为赫尔德不等式.【提示】应用上述例题的结论.【证明】设代入例8的不等式中，有 将个不等式左右两端分别相加，有 即 特别是，当时，得到的不等式称为柯西施瓦兹不等式.六、训练题提示点评【训练题1】设 计算. 【提示及点评】 已知，有 【训练题2】若函数在点可导，讨论函数在点的可导性。【提示及点评】 设（1）若，已知在点连续，有（2）若，同法，有 （3）若，仅当时，函数在点可导。总之，当且时，函数在点不可导，除此之外，函数在点都可导。【训练题3】设 试讨论在处的连续性.【提示及点评】题设要求讨论在处的连续性，则应由导数定义求出及，再加以比较.【解】由已知，当时. 当时，则 因此，在处是连续的.【训练题4】试证明方程有且仅有两个实根，并且是一正、一负.【证明】利于零点存在定理及导数的性质.令，有，所以在与内，各至少有一实根，故当，而，故在内，无实根.，可见在内，所以在内至多有两个实根，而前面已证至少有两个实根.故有且仅有两个实根，且一正一负.【训练题5】设函数由参数确定，其中是初值问题的解，求【提示及点评】由满足，可得等式两边积分得即又则，所以，则又则 【训练题6】求.【提示及点评】这是“”型未公式，利用洛必达法则.=， 故 原式=.【训练题7】证明：若函数在上存在二阶导数，且， ，则，.【提示及点评】利用拉格朗日中值定理.存在,使. 已知， ，则 在内严格减少. 因为, 所以 故 即， .【训练题8】证明：若函数在R上存在任意阶导数，且 ，, ，有，又 ，有 ，则 .【提示及点评】因为函数在点0连续,所以 函数在满足洛尔定理的条件, 存在 使因为函数在点0连续, 所以 同法可证,. ,将展成马克劳林公式,有.= 从而, 已知 , 即 . 于是, 有 . 【训练题9】设函数在区间上是凹的. 证明：（1）若，则 , ,有 即函数在内连续.（2）若，在右连续或在左连续，则函数在可导【提示及点评】（1）任意，函数在上是凹的，则，且 ，有 .我们可以利用所学知识点证明下述不等式 , 即 . (*)取, 于是,.（2）由（*）式知，当 时，有 . 从而，