平面解析几何综合分析（一）.doc

平面解析几何综合分析（一）【例题精选】：例1：已知四点，若点A关于点M的对称点是B，点B关于点N的对称点是点C，点C关于点E的对称点是A，求A点的坐标。解：设由中点坐标公式：解得例2：求点关于直线的对称点的坐标。分析：这是求点关于直线对称点问题，由前面提供的方法求出。解：设P点关于直线l：的对称点为则P、的中点为直线P、的斜率为，直线l的斜率为。P点关于直线l的对称点为例3：求点P（4，0）关于直线的对称点的坐标。解：设P点关于直线l：的对称点为则有解得：关于直线l：的对称点为例4：平面上有两点，且这两点关于直线l：对称，求a，b。解：根据已知条件可知：，且线段AB的中点在直线l上。（1）式整理为：（2）式整理为：解得例5：求直线l：关于点对称的直线方程。分析：由对称的性质知直线l与直线关于点对称，则l/，又l上任一点关于P点的对称一定在直线上，这样由待定系数法便可求出直线的方程。另一种考虑方法是：/l又有P点到两直线的距离相等，所以可以由点到直线的距离公式求出直线的方程。解法一：设直线l：关于点P（1，1）对称的直线为l：又/l设直线方程为在l1上取一点，M点关于中点的对称点为必定在直线上，则即有：，直线的方程为：解法二：设直线的方程为：到直线l与直线的距离相等。由点到直线的距离公式得：解得为直线l，故而为解。直线的方程为：例6：已知直线l：，直线，求直线l1关于直线l对称的直线l2的方程。分析：如图，此题解法较多：从轴对称的定义可以得知直线l1上的任意一点关于直线l的对称点必在直线l2上。利用两直线的到角公式可以得到：直线l1到直线l的角等于直线l到l2的角的关系式，解出直线l2的斜率，由点斜式得到直线l2的方程。解法一：设则直线l1与直线l交于点在直线l1上取一点，P点关于直线l的对称点为由前面所讲二点关于直线的对称点的方法，求出的坐标如下：解得过M点、点的直线就是直线l2：l2：即为所求的直线方程。解法二：设点是直线上任一点，则P点关于直线l的对称点必在直线l1上，利用求点关于直线对称点的方法得到方程组： 解得： 又P1点在直线l1上化简为：这即是直线的方程。解法三：设直线的斜率分别为，由直线的到角公式得知：即：解得：又由点斜式得直线l2的方程是：小结：此题给出三种解法，其中解法二实际上是解法一的简化。例7：（1）在直线l：上求一点P，使它到两点的距离之和为最小。（2）在直线l：上求一点P，使它到两点的距离之差的绝对值最大。解：（1）设B点关于直线l：的对称点为 则 解得 直线方程为 即 解得( 2, 1 )设为直线上另一点 点为所求。解（2）设B点关于直线l的对称点为， 则 解得 直线的方程为： 即 解得： 设Q为直线l上另一点 则 点为所求例：光线从A（0，1）点射到直线上一点（1，1）后被l反射。求反射光线所在直线的方程。分析：由光的反射定律知，如图A点关于直线l的对称点在反射线上。解：设设A点关于直线l的对称点为则解得反射线的方程为：即：小结：由几何方法得知，入射点线上的点关于反射面这里为直线的对称点必在光的反射线上，同理，光的反射线上的点关于反射面（直线）的对称点必在入射线上，因此只要通过求出点关于直线的对称点便可灵活的得到入射线方程或反射线方程或入射点等。例：光线从点A（3，2）射到直线上，其反射线经过点，求：（1）反射线方程；（2）入射点N的坐标；（3）入射线方程。解：（1）设A点关于直线l：的对称点为 则 解得 过的直线为： 即为反射线方程（2）解得 入射点（3）入射线就是过A、N两点的直线 即 入射线方程为例：光线从点射出，经过x轴上的B点，在x轴上反射交y轴于C点，再经C点从y轴上反射经过点。求AB、BC、CD所在直线的方程。并求x轴、y轴上两反射点的坐标。分析：由前面例子已经知道：从A点发出的光线经x轴反射，其A点关于x轴的对称点点在反射线所在的直线上，其反射线与y轴的交点就是C点。即直线BC成为y轴的入射线，依题，其反射线经D点。则D点关于y轴的对称点点必在入射线所在的直线上，就是直线BC上，故而只需求出A点关于x轴的对称点点及D点关于y轴的对称点点，再由两点式求出直线的方程便可。解：A点关于x轴对称点为，D点关于y轴的对称点由两点式求出直线方程即直线与x轴交点就是直线与y轴交点就是入射线AB与直线B关于x轴对称直线AB的方程为 直线BC的方程是直线CD与直线C关于y轴对称又直线C方程是直线CD的方程是在x轴上反射点在y轴上反射点小结：以