《高中数学立体几何》doc版.doc

第十四章 立体几何第一节 简单几何体A组1下列命题中，不正确的是_棱长都相等的长方体是正方体有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体解析：由平行六面体、正方体的定义知正确；对于，相邻两侧面垂直于底面，则侧棱垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，因而正确；对于，若两侧面平行且垂直于底面，则不一定是直棱柱答案：2(2009年高考全国卷改编)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图的平面图形，则标“”的面的方位是_解析：将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“”的方位为北答案：北3(2009年高考安徽卷)对于四面体ABCD，下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD三条高线的交点；若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；任何三个面的面积之和都大于 第四个面的面积；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点解析：中的四面体如果对棱垂直，则垂足是BCD的三条高线的交点；中如果AB与CD垂直，则两条高的垂足重合答案：4下列三个命题，其中正确的有_个用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台解析：中的平面不一定与底面平行，可用反例图去验证答案：05下面命题正确的有_个长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱过圆锥侧面上一点有无数条母线三棱锥的每个面都可以作为底面圆锥的轴截面(过轴所作的截面)是等腰三角形解析：错，正确错在绕一条直线，应该是绕长方形的一条边所在的直线；两点确定一条直线，圆锥的母线必过圆锥的顶点，因此过圆锥侧面上一点只有一条母线答案：26.如图所示，长方体的长、宽、高分别为4 cm,3 cm,5 cm，一只蚂蚁从A到C1点沿着表面爬行的最短距离是多少？解：长方体ABCDA1B1C1D1的表面可如下图三种方法展开后，A、C1两点间的距离分别为：3，4，三者比较得是从点A沿表面到C1的最短距离，最短距离是 cm.B组1(2009年高考安徽卷)对于四面体ABCD，下列命题正确的是_相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD三条高线的交点；若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点解析：中的四面体如果对棱垂直，则垂足是BCD的三条高线的交点；中如果AB与CD垂直，则两条高的垂足重合答案：2下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥其中，真命题的编号是_(写出所有真命题的编号)解析：对于，设四面体为DABC，过棱锥顶点D作底面的垂线DE，过E分别作AB，BC，CA边的垂线，其垂足依次为F，G，H，连结DF，DG，DH，则DFE，DGE，DHE分别为各侧面与底面所成的角，所以DFEDGEDHE，于是有FEEGEH，DFDGDH，故E为ABC的内心，又因ABC为等边三角形，所以F，G，H为各边的中点，所以AFDBFDBGDCGDAHD，故DADBDC，故棱锥为正三棱锥所以为真命题对于，侧面为等腰三角形，不一定就是侧棱为两腰，所以为假命题对于，面积相等，不一定侧棱就相等，只要满足斜高相等即可，所以为假命题对于，由侧棱与底面所成的角相等，可以得出侧棱相等，又结合知底面应为正三角形，所以为真命题综上，为真命题答案：3.关于如图所示几何体的正确说法为_ 这是一个六面体这是一个四棱台这是一个四棱柱这是一个四棱柱和三棱柱的组合体这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱答案：4(2009年高考安徽卷)对于四面体ABCD，下列命题正确的是_ 相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD三条高线的交点；若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点解析：中的四面体如果对棱垂直，则垂足是BCD的三条高线的交点；中如果AB与CD垂直，则两条高的垂足重合答案：5给出以下命题：底面是矩形的四棱柱是长方体；直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的几何体叫做圆锥；四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形其中说法正确的是_解析：命题不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱是斜四棱柱；命题不是真命题，直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周形成的几何体叫做圆锥，如果绕着它的斜边旋转一周，形成的几何体则是两个具有共同底面的圆锥；命题是真命题，如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，则可以得到四个侧面都是直角三角形故填.答案：6下列结论正确的是 各个面都是三角形的几何体是三棱锥以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：错误如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥错误如图(2)(3)所示，若ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥错误若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长正确答案：7过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60，则该截面的面积是_解析：设截面的圆心为O，由题意得：OAO60，OA1，S12.答案：8如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是_等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：如图，SA=SB=SC=SD，SAO=SBO=SCO=SDO，即等腰四棱锥腰与底面所成的角相等，正确；等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角相等或互补不一定成立；如图，由SA=SB=SC=SD得OA=OB=OC=OD，即等腰四棱锥的底面四边形存在外接圆，正确；等腰四棱锥各顶点在同一个球面上，正确故选.答案：9(2008年高考江西卷)如图(1)，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P(图(2) 有下列四个命题：A正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是：_(写出所有真命题的代号)解析：设正四棱柱底面边长为b，高为h1，正四棱锥高为h2，则原题图(1)中水的体积为b2h2b2h2b2h2，图(2)中水的体积为b2h1b2h2b2(h1h2)，所以b2h2b2(h1h2)，所以h1h2，故A错误，D正确对于B，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点，故B正确对于C，假设C正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为b2h2b2h2，矛盾，故C不正确答案：BD10一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h3，求h1h2h3的值解：选依题意，四棱锥为正四棱锥，三棱锥为正三棱锥，且棱长均相等，设为a，h2h3，h1 a，h2 a，故h1h2h322.11一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上已知正三棱柱的底面边长为2，求该三角形的斜边长解：如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为正三角形，边长为2，DEF为等腰直角三角形，DF为斜边，设DF长为x，则DEEFx，作DGBB1，HGCC1，EICC1，则EG，FI，FHFIHIFIEG2，在RtDHF中，DF2DH2FH2，即x24(2)2，解得x2.即该三角形的斜边长为2.12(2009年高考辽宁卷改编)如果把地球看成一个球体，求地球上北纬60纬线长和赤道线长的比值解：设地球的半径为R，那么对应的赤道线的大圆的半径为R，而对应的北纬60纬线所在的小圆的半径为R，那么它们对应的长度之比为RR.即所求比值为.第二节 空间图形的基本关系与公理A组1以下四个命题中，正确命题的个数是_不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面解析：正确，可以用反证法证明；从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；不正确，共面不具有传递性；不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上答案：12给出下列四个命题：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；两条直线可以确定一个平面；若M，M，l，则Ml；空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内其中真命题的个数为_解析：根据平面的基本性质知正确答案：13(2009年高考湖南卷改编)平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为_解析：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件答案：54正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是_解析：边长是正方体棱长的倍的正六边形答案：正六边形5(原创题)已知直线m、n及平面，其中mn，那么平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集其中正确的是_解析：如图1，当直线m或直线n在平面内且m、n所在平面与垂直时不可能有符合题意的点；如图2，直线m、n到已知平面的距离相等且两直线所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图3，直线m、n所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线答案：(1)(2)(4)6如图，已知平面、，且l.设梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)证明：梯形ABCD中，ADBC，AB，CD是梯形ABCD的两腰，AB，CD必定相交于一点如图，设ABCD=M.又AB，CD，M，且M，M.又=l，Ml，即AB，CD，l共点B组1有以下三个命题：平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；直线l在平面内，可以用符号“l”表示；若平面内的一条直线a与平面内的一条直线b相交，则与相交，其中所有正确命题的序号是_解析：表示线与面的关系用“”或“”表示，故错误答案：2(2010年黄冈调研)下列命题中正确的是_若ABC在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P、Q、R，则P、Q、R三点共线；若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；空间中不共面的五个点一定能确定10个平面解析：在中，因为P、Q、R三点既在平面ABC上，又在平面上，所以这三点必在平面ABC与的交线上，即P、Q、R三点共线，故正确；在中，因为ab，所以a与b确定一个平面，而l上有A、B两点在该平面上，所以l，即a、b、l三线共面于；同理a、c、l三线也共面，不妨设为，而、有两条公共的直线a、l，与重合，即这些直线共面，故正确；在中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故错答案：3对于空间三条直线，有下列四个条件：三条直线两两相交且不共点三条直线两两平行三条直线共点有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交其中使三条直线共面的充分条件有：_.解析：易知中的三条直线一定共面，中两条直线平行可确定一个平面，第三条直线和这两条直线相交于两点，则第三条直线也在这个平面内，故三条直线共面答案：4(2008年高考浙江卷改编)对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面，使得_a，ba，b a，ba，b解析：不相交的直线a、b的位置有两种：平行或异面当a、b异面时，不存在平面满足、；又只有当ab时才成立答案：5正方体AC1中，E、F分别是线段C1D、BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是_解析：直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交答案：相交6(2010年湖南郴州调研)设，是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：若，l，则l；若l，l，则；若l上有两点到的距离相等，则l；若，则.其中正确命题的序号是_解析：错误，l可能在平面内；正确，l，l，nlnn，则；错误，直线可能与平面相交；正确故填.答案：7(2009年高考广东卷改编)给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是_解析：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故不对；由平面与平面垂直的判定定理可知正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，相交也可以异面，故不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故正确答案：8(2009年高考宁夏、海南卷改编)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF，则下列结论中错误的是_ACBEEF平面ABCD三棱锥ABEF的体积为定值异面直线AE，BF所成的角为定值解析：AC平面BB1D1D，又BE平面BB1D1D，ACBE.故正确B1D1平面ABCD，又E、F在直线D1B1上运动，EF平面ABCD.故正确中由于点B到直线B1D1的距离不变，故BEF的面积为定值又点A到平面BEF的距离为，故VABEF为定值当点E在D1处，F为D1B1的中点时，建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(1,0,1)，F.A(0，1,1)，B(，1)，AB.又|，|，cosA，B，AE与BF成30角当E为D1B1中点，F在B1处时，此时E，F(0,1,1)，A，B(0,0,1)，AB1，|A| ，cosA，B .故错答案：9.(2008年高考陕西卷改编)如图，=l，A，B，A、B到l的距离分别是a和b，AB与、所成的角分别是和，AB在、内的射影分别是m和n.若ab，则与的大小关系为_，m与n的大小关系为_.解析：AB与成的角为ABC，AB与成的角为BAD，sin sinABC，sinsinBAD.ab，sinsin.n.答案：mn10如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，ACBDP，A1C1EFQ，若A1C交平面DBFE于R点，试确定R点的位置解：在正方体AC1中，连结PQ，QA1C1，Q平面A1C1CA.又QEF，Q平面BDEF，即Q是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点，同理，P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公共点平面A1C1CA平面BDEFPQ.又A1C平面BDEFR，RA1C，R平面A1C1CA，R平面BDEF.R是A1C与PQ的交点如图11如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O为平面BCC1B1的中心(1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q(只写作法，不必证明)；(2)求PQ的长解：(1)连结ON，由ONAD知，AD与ON确定一个平面.又O、C、M三点确定一个平面(如图所示)三个平面，和ABCD两两相交，有三条交线OP、CM、DA，其中交线DA与交线CM不平行且共面DA与CM必相交，记交点为Q，OQ是与的交线连结OQ与AN交于P，与CM交于Q，故直线OPQ即为所求作的直线(2)在RtAPQ中，易知AQ1，又易知APQ OPN，2，AN，AP，PQ.12(2008年高考四川卷)如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(3)设ABBE，证明：平面ADE平面CDE.解：(1)证明：由题设知，FGGA，FHHD，所以GH綊AD.又BC綊AD，故GH綊BC.所以四边形BCHG是平行四边形(2)C、D、F、E四点共面理由如下：由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EFBG.由(1)知BGCH，所以EFCH，故EC、FH共面又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面(3)证明：连结EG.由ABBE，BE綊AG及BAG90知ABEG是正方形，故BGEA.由题设知，FA、AD、AB两两垂直，故AD平面FABE，因此EA是ED在平面FABE内的射影根据三垂线定理，BGED.又EDEAE，所以BG平面ADE.由(1)知，CHBG，所以CH平面ADE.由(2)知F平面CDE，故CH平面CDE，得平面ADE平面CDE.第三节 平行关系A组1已知m、n是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题中的真命题是_如果m，n，mn，那么如果m，n，那么mn如果m，n，且m，n共面，那么mn如果mn，m，n，那么解析：m，n，m，n没有公共点又m，n共面，所以mn.答案：2已知m、n是不同的直线，、是不重合的平面，给出下列命题：若m，则m平行于平面内的无数条直线；若，m，n，则mn；若m，n，mn，则；若，m，则m.其中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)解析：中，m，nmn或m，n异面，所以错误而其它命题都正确答案：3(2010年苏北四市调研)给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面、的四个命题：若m，lA，点Am, 则l与m不共面；若m、l是异面直线，l，m，且nl，nm，则n；若l，m，则lm；若l，m，lmA，l，m，则.其中为真命题的是_解析：中若l，m，lm或l，m异面，所以错误而其它命题都正确答案：4(2009年高考福建卷改编)设m，n是平面内的两条不同直线；l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是_m且l1ml1且nl2 m且n m且nl2解析：ml1，且nl2，又l1与l2是平面内的两条相交直线，而当时不一定推出ml1且nl2，可能异面答案： 5(原创题)直线a平面，内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有_条答案：1或06如图，ABCD为直角梯形，CCDA90，AD2BC2CD，P为平面ABCD外一点，且PBBD.(1)求证：PABD；(2)若PC与CD不垂直，求证：PAPD；(3)若直线l过点P，且直线l直线BC，试在直线l上找一点E，使得直线PC平面EBD.解：(1)证明：ABCD为直角梯形，ADABBD，ABBD，PBBD，ABPBB，AB，PB平面PAB，BD平面PAB，PA平面PAB，PABD.(2)证明：假设PAPD，取AD中点N，连结PN，BN，则PNAD，BNAD，AD平面PNB，得PBAD，又PBBD，得PB平面ABCD，PBCD.又BCCD，CD平面PBC，CDPC，与已知条件PC与CD不垂直矛盾PAPD.(3)在l上取一点E，使PEBC，连结BE，DE，PEBC，四边形BCPE是平行四边形，PCBE，PC平面EBD，BE平面EBD，PC平面EBD.B组1已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是_若，则 若mn，m，n，则若mn，m，则n 若n，n，则解析：错，两平面也可相交；错，不符合面面平行的判定定理条件，需两平面内有两条相交直线互相平行；错，直线n不一定在平面内；由空间想象知垂直于同一直线的两平面平行，命题正确答案：2已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列4个命题：若mn，n，则m；若mn，m，n，则n；若，m，n，则mn；若m，n是异面直线，m，n，m，则n.其中正确的命题有_解析：对于，m有可能也在上，因此命题不成立；对于，过直线n作垂直于m的平面，由m，n可知与平行，于是必有n与平行，因此命题成立；对于，由条件易知m平行于或在上，n平行于或在上，因此必有mn；对于，取正方体中两异面的棱及分别经过此两棱的不平行的正方体的两个面即可判断命题不成立综上可知正确答案：3已知m，n是平面外的两条直线，且mn，则“m”是“n”的_条件解析：由于直线m，n在平面外，且mn，故若m，则必有n，反之也成立答案：充要4设l1，l2是两条直线，是两个平面，A为一点，下列命题中正确的命题是_若l1，l2A，则l1与l2必为异面直线若，l1，则l1l1，l2，l1，l2，则若l1，l2l1，则l2或l2解析：错，两直线可相交于点A；错，不符合面面垂直的性质定理的条件；错，不符合面面平行的判定定理条件；正确，空间想象即可答案：5(2010年广东深圳模拟)若a不平行于平面，且a，则下列结论成立的是_内的所有直线与a异面内与a平行的直线不存在内存在唯一的直线与a平行内的直线与a都相交解析：由题设知，a和相交，设aP，如图，在内过点P的直线与a共面，错；在内不过点P的直线与a异面，错；(反证)假设内直线ba，a，a，与已知矛盾，错答案：6设m、n是异面直线，则(1)一定存在平面，使m且n；(2)一定存在平面，使m且n；(3)一定存在平面，使m、n到的距离相等；(4)一定存在无数对平面与，使m，n，且.上述4个命题中正确命题的序号为_解析：(1)成立；(2)不成立，m、n不一定垂直；(3)过m、n公垂线段中点分别作m、n的平行线所确定平面到m、n距离就相等，(3)正确；满足条件的平面只有一对，(4)错答案：(1)(3)7如图，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ_.答案：a8下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB面MNP的图形的序号是_(写出所有符合要求的图形序号)解析：面AB面MNP，AB面MNP.若下底面中心为O，易知NOAB，NO面MNP，AB与面MNP不平行易知ABMP，AB面MNP.易知存在一直线MCAB，且MC平面MNP，AB与面MNP不平行答案：9如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC中点点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件_时，有MN平面B1BDD1.答案：MFH10如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1，AB1，AD2，E为BC的中点，点M为棱AA1的中点(1)证明：DE平面A1AE；(2)证明：BM平面A1ED.证明：(1)在AED中，AEDE，AD2，AEDE.A1A平面ABCD，A1ADE，DE平面A1AE.(2) 设AD的中点为N，连结MN、BN.在A1AD中，AMMA1，ANND，MNA1D，BEND且BEND，四边形BEDN是平行四边形，BNED，平面BMN平面A1ED，BM平面A1ED.11(2010年扬州调研)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AB，BC的中点(1)求证：平面B1MN平面BB1D1D；(2)若在棱DD1上有一点P，使BD1平面PMN，求线段DP与PD1的比解：(1)证明：连结AC，则ACBD ，又M，N分别是AB，BC的中点，MNAC，MNBD.ABCDA1B1C1D1是正方体，BB1平面ABCD，MN平面ABCD，BB1MN，BDBB1B，MN平面BB1D1D，MN平面B1MN，平面B1MN平面BB1D1D.(2)设MN与BD的交点是Q，连结PQ，PM，PNBD1平面PMN，BD1平面BB1D1D，平面BB1D1D平面PMNPQ，BD1PQ，DPPD1DQQB31.12如图，四边形ABCD为矩形，BC平面ABE，F为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证：AEBE；(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点求证：MN平面DAE.证明：(1)因为BC平面ABE，AE平面ABE，所以AEBC，又BF平面ACE，AE平面ACE，所以AEBF，又BFBCB，所以AE平面BCE，又BE平面BCE，所以AEBE.(2)取DE的中点P，连结PA，PN，因为点N为线段CE的中点所以PNDC，且PNDC，又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，所以AMDC，且AMDC，所以PNAM，且PNAM，故四边形AMNP是平行四边形，所以MNAP，而AP平面DAE，MN平面DAE，所以MN平面DAE.第四节 垂直关系A组1(2010年宁波十校联考)设b、c表示两条直线，表示两个平面，则下列命题是真命题的是_若b，c，则bc若b，bc，则c若c，则c 若c，c，则解析：中，b，c亦可能异面；中，也可能是c；中，c与的关系还可能是斜交、平行或c；中，由面面垂直的判定定理可知正确答案：2(2010年青岛质检)已知直线l平面，直线m平面，下面有三个命题：lm；lm；lm.则真命题的个数为_解析：对于，由直线l平面，得l，又直线m平面，故lm，故正确；对于，由条件不一定得到lm，还有l与m垂直和异面的情况，故错误；对于，显然正确故正确命题的个数为2.答案：2个3(2009年高考山东卷改编)已知、表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“ ”是“m ”的_条件解析：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面内的一条直线，m，则，反过来则不一定所以“”是“m”的必要不充分条件答案：必要不充分4(2009年高考浙江卷)如图，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足设AKt，则t的取值范围是_解析：如图，过D作DGAF，垂足为G，连结GK，平面ABD平面ABC，又DKAB，DK平面ABC，DKAF.AF平面DKG，AFGK.容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分点t的取值范围是(，1)答案：(，1)5(原创题)已知a、b为两条不同的直线，、为两个不同的平面，且a，b，则下列命题中假命题的有_若ab，则；若，则ab；若a、b相交，则、相交；若、相交，则a，b相交解析：若、相交，则a、b既可以是相交直线，也可以是异面直线答案：6(2009年高考山东卷)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，E，E1分别是棱AD，AA1的中点(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1平面FCC1；(2)证明：平面D1AC平面BB1C1C.证明：(1)法一：取A1B1的中点为F1，连结FF1，C1F1.由于FF1BB1CC1，所以F1平面FCC1.因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连结A1D，F1C，由于A1F1綊D1C1綊CD，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1DF1C.又EE1A1D，得EE1F1C.而EE1平面FCC1，F1C平面FCC1，故EE1平面FCC1.法二：因为F为AB的中点，CD2，AB4，ABCD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以ADFC.又CC1DD1，FCCC1C，FC平面FCC1，CC1平面FCC1，ADDD1D，AD平面ADD1A1，DD1平面ADD1A1.所以平面ADD1A1平面FCC1.又EE1平面ADD1A1，所以EE1平面FCC1.(2)连结AC，在FBC中，FCBCFB，又F为AB的中点，所以AFFCFB.因此ACB90，即ACBC.又ACCC1，且CC1BCC，所以AC平面BB1C1C.而AC平面D1AC，故平面D1AC平面BB1C1C.B组1设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出ab的是_a，b， a，b，a，b， a，b，解析：由，b b，又a，故ab.答案：2设，为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是_若m，n，mn，则若n，n，m，则m若m，n，mn，则若，n，mn，则m解析：由n，n可得，又因m，所以m.答案：3设m，n是两条不同的直线， ，是两个不同的平面，则下列命题正确的是m，n，mn ，m，n mn，m，n mn ，m，nmn解析：错，不符合面面垂直的判断定理的条件；由空间想象易知命题正确；错，两直线可平行；错，由面面垂直的性质定理可知只有当直线n在平面内时命题才成立答案：4已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面，则下列命题中正确的是_若m，n，则mn若m，n，则mn若m，n，则mn若m，n，则mn解析：易知正确而中且mm或m，又n，容易知道m，n的位置关系不定，因此错误而中分别平行于两平行平面的直线的位置关系不定，因此错误而中因为不对，此项也不对综上可知正确答案：5设a，b，c表示三条直线，表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是_c，若c，则b，c是a在内的射影，若bc，则abb，若b，则b，c，若c，则bc解析：当b，若，则未必有b.答案：6已知二面角l的大小为30，m、n为异面直线，m平面，n平面，则m、n所成的角为_解析：m，n，m、n所成的夹角与二面角l所成的角相等或互补二面角l为30，异面直线m、n所成的角为30.答案：307如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线_上解析：由ACAB，ACBC1，AC平面ABC1，AC平面ABC，平面ABC1平面ABC，C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上答案：AB8(2010年江苏昆山模拟)在矩形ABCD中，AB3，AD4，P在AD上运动，设ABP，将ABP沿BP折起，使得平面ABP垂直于平面BPDC，AC长最小时的值为_解析：过A作AHBP于H，连CH，AH平面BCDP.在RtABH中，AH3sin，BH3cos.在BHC中，CH2(3cos)242243coscos(90)，在RtACH中，AC22512sin2，45时，AC长最小答案：459在正四棱锥PABCD中，PAAB，M是BC的中点，G是PAD的重心，则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有_条解析：设正四棱锥的底面边长为a，则侧棱长为a.由PMBC，PMa，连结PG并延长与AD相交于N点，则PNa，MNABa，PM2PN2MN2，PMPN，又PMAD，PM面PAD，在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直答案：无数10如图，在三棱锥SABC中，OAOB，O为BC中点，SO平面ABC，E为SC中点，F为AB中点(1)求证：OE平面SAB；(2)求证：平面SOF平面SAB.证明：(1)取AC的中点G，连结OG，EG，OGAB，EGAS，EGOGG，SAABA，平面EGO平面SAB，OE平面OEGOE平面SAB(2)SO平面ABC，SOOB，SOOA，又OAOB，SA2SO2OA2，SB2SO2OB2，SASB，又F为AB中点，SFAB，SOAB，SFSOS，AB平面SOF，AB平面SAB，平面SOF平面SAB.11在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点(1)求证：CE平面C1E1F；(2)求证：平面C1E1F平面CEF.证明：(1)取CC1的中点G，连结B1G交C1F于点F1，连结E1F1，A1G，FG，F是BB1的中点，BCC1B1是矩形，四边形FGC1B1也是矩形，FC1与B1G相互平分，即F1是B1G的中点又E1是A1B1的中点，A1GE1F1.又在长方体中，AA1綊CC1，E，G分别为AA1，CC1的中点，A1E綊CG，四边形A1ECG是平行四边形，A1GCE，E1F1CE.CE平面C1E1F，E1F1平面C1E1F，CE平面C1E1F.(2)长方形BCC1B1中，BB12BC，F是BB1的中点，BCF、B1C1F都是等腰直角三角形，BFCB1FC145，CFC1180454590，C1FCF.E，F分别是矩形ABB1A1的边AA1，BB1的中点，EFAB.又AB平面BCC1B1，又C1F平面BCC1B1，ABC1F，EFC1F.又CFEFF，C1F平面CEF.C1F平面C1E1F，平面C1E1F平面CEF.12(2010年江苏淮安模拟)如图，已知空间四边形ABCD中，BCAC，ADBD，E是AB的中点求证：(1)AB平面CDE；(2)平面CDE平面ABC；(3)若G为ADC的重心，试在线段AE上确定一点F，使得GF平面CDE.证明：(1)CEAB，同理，DEAB，又CEDEE，AB平面CDE.(2)由(1)知AB平面CDE，又AB平面ABC，平面CDE平面ABC.(3)连结AG并延长交CD于H，连结EH，则，在AE上取点F使得，则GFEH，第五节 简单几何体的面积和体积A组1(2010年东北四校联考)已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，2，则其外接球的表面积为_解析：设外接球半径为r，则(2r)212()2228，故r22.S球4r28.答案：82(2009年高考上海卷)若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_解析：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体VShR2h222.答案：3(2010年南京调研)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点若截面BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为_解析：设A