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西安石油大学教案 第 1 次课 2 学时章节7.3 曲面及其方程 (P310318)讲授主要内容曲面方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。重点难点重点:常用二次曲面的方程及其图形. 难点:以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。要求掌握知识点和分析方法曲面方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路: 从曲面方程的一般概念入手,围绕空间解析几何中关于曲面研究的两个基本问题展开讨论.讲清如何将曲面上点满足的几何关系表达成解析式,得出曲面的方程,及如何由已知方程讨论其图形在几何上的性态. 本次课程除了给出各种曲面的一般形式,应突出在多元微分学中常用的几种曲面:球面,柱面及其旋转抛物面和各种柱面.在讲授时应把抽象的几何图形与现实生活中的事物联系起来.教学方法和辅助手段:本节教学采用多媒体教学同时结合一些实物.把抽象的几何图形具体化.难点突破:本节的难点是旋转曲面和柱面方程的建立.在建立方程时,一定要抓住哪些量在变,哪些量没变,变化的量之间的关系如何挖掘,从而找出问题的突破口,在解决问题时尽量结合直观的几何图形.作业布置高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编)主要参考资料1. 高等数学重点难点100讲，西安石油大学数学教研室编，陕西科学技术出版社2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社备注西安石油大学教案 第 2 次课 2 学时章节7.4 空间曲线及其方程 (P319324)讲授主要内容空间曲线的一般方程、参数方程及其空间曲线在坐标面上的投影.重点难点重点: 空间曲线的一般方程、参数方程的建立.难点: 空间曲线在坐标面上的投影.要求掌握知识点和分析方法会表示空间曲线的参数方程和一般方程,会求空间曲线在坐标面上的投影.教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路: 三元函数在空间中表示一曲面,如果两个曲面能够相交,则可以利用面面相交的形式来表示空间曲线,由此引出空间曲线的一般式方程.二对于曲线的一般式方程,其中含有两个方程,三个未知数,如果把其中一个变量看作常数,则方程组转化为二元方程组,则可以用此变量把另外两个变量表示出来.从而引出空间曲线的参数式.教学方法和辅助手段:本节讲授在老师的引导下,启发学生,运用合情推理的教学方法发现问题和解决问题.难点突破: 空间曲线在坐标面上的投影是本节的难点.要求在面上的投影,关键求出投影柱面 (即消去变量),然后与方程即可. 作业布置高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编)主要参考资料1. 高等数学重点难点100讲，西安石油大学数学教研室编，陕西科学技术出版社2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社备注西安石油大学教案 第 3 次课 2 学时章节7.5-7.6 平面及其方程 直线及其方程(P325335)讲授主要内容平面和直线方程的概念及其求法，面面、线线、及其线面间的相互关系.重点难点重点: 平面和直线方程的求法，面面、线线、及其线面间的相互关系.难点: 平面束方程、点到面的距离及其点到线的距离公式的推导.要求掌握知识点和分析方法掌握平面和直线方程的求法.教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路:首先通过提问过空间一点且与一条直线垂直的平面是否存在这一具体问题,引出空间平面的点法式方程.紧接着对点法式进行变形得出一般式方程,引导学生分析常见的几个特殊平面及其面面间的夹角.最后介绍空间直线的一般式方程、对称式方程、参数方程及其线面、线线之间的位置关系.教学方法和辅助:本节采用讲授的教学方法,同时结合一些实物,把研究问题具体化.难点突破:平面与直线的关键是定点与定方向的问题,一个点和一个法向量就唯一确定了一个平面,一个点和一个方向向量确定了一条空间直线.对具有明显几何特性的平面与直线问题,就要从点和向量着手,借助向量工具求出平面的法向量与直线的方向向量.而对于面面、线线、及其线面间的位置关系问题可以转变为向量与向量间的位置关系.作业布置高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编)主要参考资料1. 高等数学重点难点100讲，西安石油大学数学教研室编，陕西科学技术出版社2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社备注西安石油大学教案 第 4 次课 2 学时章节习题课讲授主要内容平面的各种方程,直线的各种方程,平面与平面,平面与直线,直线与直线之间的位置关系及线面之间的夹角.重点难点重点: 平面与直线方程的建立.难点: 平面束方程、点到面的距离及其点到线的距离公式的推导.要求掌握知识点和分析方法平面的各种方程,直线的各种方程,平面与平面,平面与直线,直线与直线之间的位置关系及其线面之间的夹角.教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路:首先讲解本章的知识结构,重点难点,给出系统知识结构图表.紧接着根据学生作业中反映的问题,有针对性的讲解典型例子,所选例子尽量能够一题多解.为了达到分层次教学的目的,最后列举出几个综合性的典例.教学方法和辅助手段:系统讲授重点和难点,结合实例进行复习.难点突破:本节的难点是平面束方程的应用,首先定位,如果所求平面经过一条直线,那么一般可用平面束方程来求解.设那么经过L的所有平面可以表示成.对于点到面,点到线之间的距离,可以借助与平面图形把抽象的问题具体化.作业布置高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编)主要参考资料1. 高等数学重点难点100讲，西安石油大学数学教研室编，陕西科学技术出版社2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社备注西安石油大学教案 第 5 次课 2 学时章节8.1 多元函数的基本概念 (P111)讲授主要内容多元函数的基本概念,二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质.重点难点重点: 二元函数极限与连续性的概念及其相互间的关系.难点: 二元函数极限的概念.要求掌握知识点和分析方法多元函数的基本概念,二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质.教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路:首先讲解平面点集、维空间的基本概念,分清与点集有不同关系的各种点及集中重要的平面点集的性质、相互关系和区别.紧接着主要以二元函数为主,讲解其概念、定义域和它在空间所表示的曲面.最后与一元函数做比较,找出多元函数与一元函数有关概念的相同点与不同点.教学方法和辅助手段:本节采用类比教学法.难点突破:本节的难点是极限的概念,可建立一个如下的类比表:自变量(动点) :;定点 :;动、定点间距离:;函数值:;函数值与常数接近程度;极限定义对于任意存在,当时,有,对于任意存在,当时,有.作业布置高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编)主要参考资料1. 高等数学重点难点100讲，西安石油大学数学教研室编，陕西科学技术出版社2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社备注西安石油大学教案 第 6 次课 2 学时章节8.2 偏导数 8.3 全微分 (P1222)讲授主要内容偏导数和全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，一阶全微分形式的不变性。重点难点重点: 偏导数和全微分的概念及其求法,全微分与偏导数间的关系.难点: 分段函数偏导数和全微分的求法.要求掌握知识点和分析方法偏导数和全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，一阶全微分形式的不变性。教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路:首先提问:问题(1)哪些内容与导数和全微分有关; 问题(2)一元函数的导数和微分如何定义?问题(3)能给二元函数可导与可微分的定义吗?建构活动:;,可导一定连续,可微一定连续等.;,;,.解决问题:解决偏导数和全微分的系统问题.教学方法和辅助手段:建构教学法和类比教学法.难点突破: 本节的难点，是对多元函数可微性的讨论，判别可微性首先验证函数的偏导数是否存在，如果偏导数存在，还需验证当时是否极限为0。作业布置高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编)主要参考资料1. 高等数学重点难点100讲，西安石油大学数学教研室编，陕西科学技术出版社2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社备注西安石油大学教案 第 7 次课 2 学时章节8.4 多元复合函数的求导法则 (P2530)讲授主要内容复合函数一阶偏导数的求法，复合函数的二阶偏导数的求法。重点难点重点: 复合函数一阶和二阶偏导数的求法.难点: 抽象复合函数一阶和二阶偏导数的求法。要求掌握知识点和分析方法复合函数一阶偏导数的求法，复合函数的二阶偏导数的求法。教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路:首先提出问题(1)一元复合函数(其中间变量是一元函数)的求导法则.(2)可否推广到多元复合函数的情形?(3)多元函数有哪些复合类型,紧接着类推出中间变量为一元函数、多元函数、既有一元又有多元函数情形下的公式.教学方法和辅助手段:类比的教学方法并结合形象的语言和树型图.难点突破:，本节的求导法则是本节的一个重点，求导的关键是先分析函数、中间变量、自变量之间的关系，把握清楚每一层次的函数关系，并使用准确的求导记号。抽象函数的求导是本节的一个难点，应注意求导以后仍然保留着中间变量和自变量，求导时应注明中间变量的记号，而且可以用中间变量的次序来记函数关于这个中间变量的下标，这样简洁又不易出错。在处理问题的过程中，应划出树形图帮助理解，把抽象的问题形象化，具体化，从而培养学生数形结合的思想。作业布置高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编)主要参考资料1. 高等数学重点难点100讲，西安石油大学数学教研室编，陕西科学技术出版社2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社备注西安石油大学教案 第 8 次课 2 学时章节习题课讲授主要内容偏导数和全微分的求法, 复合函数一阶与二阶偏导数的求法。偏导数与连续之间的关系.重点难点重点: 偏导数和全微分的求法,偏导数、连续、可微三者间的关系.难点: 抽象复合函数一阶与二阶偏导数的求法.要求掌握知识点和分析方法偏导数和全微分的求法, 复合函数一阶与二阶偏导数的求法。偏导数与连续之间的关系.教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路: 首先处理学生作业种出现的问题,紧接着把本节分为以下几个专题进行讲解.(1)基本概念:可微、偏导数存在、连续、偏导数连续、极限这5着间的关系及其与一元函数这5着间的联系与区别.(结合典型例子,注重反例教学)(2)抽象复合函数的二阶偏导数的求法.教学方法和辅助手段:本节采用专题讲授的方法结合与一元函数类比的教学方法.难点突破:例题选择应由具体到抽象,由易渐难.包括中间变量为一元函数、中间变量为多元函数、中间变量既有一元函数又有多元函数的情形,以及利用微分形式不变性,先求微分再求偏导的例子.求抽象复合函数的高阶偏导数时,强调在求了一阶偏导数后的表达式仍是一个抽象的复合函数,其具有与原来函数相同的中间变量.同时注意符号的规范.作业布置高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编)主要参考资料1. 高等数学重点难点100讲，西安石油大学数学教研室编，陕西科学技术出版社2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社备注西安石油大学教案 第 9 次课 2 学时章节8.5 隐函数的求导公式 (P3237)讲授主要内容隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。重点难点重点: 求隐含数的偏导数.难点: 隐函数的高阶偏导数和由方程所确定的隐含数的偏导数. 要求掌握知识点和分析方法隐函数(一个方程确定的隐函数)的偏导数.教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路:首先复习隐函数、显函数的概念,注意区分,这三着间的不同含义.紧接着讲授隐函数存在定理,注意其条件,就是为了保证的单值性.而在具体求隐函数的导数时,一般不必验证上述条件是否满足.最后介绍由方程组所确定的隐函数组的导数,为下一节做准备.教学方法和辅助手段:讲授的教学方法.难点突破: 隐函数的求导方法有三种(公式法、对等式两边分别求导法、全微分法).本节的难点是隐函数的高阶导数的求法求导时只需把仍看做的多元函数,对于方程组决定的隐函数求导问题.重点讲解直接对方程两边求导,再解关于偏导数的方程组的方法,在求导时一定搞清何者为函数,何者为变量.注意三个变量联立的情形,为下次课程做准备.作业布置高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编)主要参考资料1. 高等数学重点难点100讲，西安石油大学数学教研室编，陕西科学技术出版社2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社备注西安石油大学教案 第 10 次课 2 学时章节8.6 微分法在几何上的应用 (P3845)讲授主要内容曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的方程。重点难点重点：曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的方程。难点:如何灵活寻找满足特别空间位置条件的平面与直线.要求掌握知识点和分析方法曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的方程。教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路:首先提问平面上曲线的切线是割线的极限位置,同理,对于空间曲线可否采用同样的方法,对于空间曲面在某点处是否存在切平面和法线?从而引出本节的内容.紧接着在数形结合的基础上完成公式的推导.教学方法和辅助手段:讲授与启发式教学相结合的授课方法.难点突破:曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线问题。关键是要抓住确定平面与直线的两个要素:点与方向.在讲解时,需要结合解析几何中平面与直线的各种位置关系来确定满足所求条件的点,并在该点求出相应的平面或直线.关于由一般式方程表示的空间曲线的切向量,应结合空间直线的一般式方程的切向量确定的方法.无须死记公式.作业布置高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编)主要参考资料1. 高等数学重点难点100讲，西安石油大学数学教研室编，陕西科学技术出版社2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社备注西安石油大学教案 第 11 次课 2 学时章节8.7 方向导数与梯度 (P4551)讲授主要内容方向导数与梯度的概念及其计算方法.重点难点重点:方向导数与梯度的关系及其计算.难点:方向导数和偏导数的联系和区别及其可微与方向导数间的关系.要求掌握知识点和分析方法方向导数与梯度的概念及其计算方法教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路:首先提出问题,偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率,那么函数沿着任一指定方向的变化率如何体现?紧接着得出方向导数的概念. 应结合图象讲明二元函数方向导数的定义式与可微间的关系,并导出计算公式, 再探讨n元函数方向导数的定义和计算公式.使用计算公式时,应首先搞清楚哪个函数、哪个点、沿何方向的方向导数.最后引出梯度的概念、算方法及与方向导数之间的关系.教学方法和辅助手段:本节采用讲授的教学方法.难点突破:首先明确方向导数为函数沿一指定方向的变化率.是场论的重要概念.函数可微是函数存在方向导数的充分条件,但不是必要条件.偏导数并不是某一方向的方向导数.方向导数是沿着射线方向定义的,所以对平行反向的两个方向求出的方向导数相差一个符号.作业布置高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编)主要参考资料1. 高等数学重点难点100讲，西安石油大学数学教研室编，陕西科学技术出版社2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社备注西安石油大学教案 第 12 次课 2 学时章节8.8 多元函数极值及其求法 (P5261)讲授主要内容多元函数极值与条件极值的概念，多元函数的极值的求法。求条件极值的拉格朗日乘数法，一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 重点难点重点:多元函数的极值的求法。求条件极值的拉格朗日乘数法.难点:多元函数的极值的应用.要求掌握知识点和分析方法多元函数极值与条件极值的概念，多元函数的极值的求法。求条件极值的拉格朗日乘数法.教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路: 首先引导学生回忆一元函数的极值、驻点的概念,类推对于二元函数有关极值、驻点的概念. 紧接着引导学生回忆一元函数极值的必要条件,充分条件.类推二元函数极值的必要条件是:在取到极值且,存在,则有,最后引导学生回忆一元函数极值的求法及与最值间的关系,类推二元函数极值的求法及与最值间的关系.同时介绍条件极值的拉格朗日乘数法.教学方法和辅助手段:本节采用类比的教学方法.难点突破:讨论二元函数极值概念时.应结合几何图形.本节的重点与难点是应用题.首先必须根据题中的条件建立极值函数,这是学生感到困难的地方,仔细审题,分析题意将极值问题数学化,并列出变量的约束条件,然后对极值函数作数学讨论,作出解答.作业布置高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编)主要参考资料1. 高等数学重点难点100讲，西安石油大学数学教研室编，陕西科学技术出版社2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社备注西安石油大学教案 第 13 次课 2 学时章节习题课讲授主要内容隐函数的偏导数。曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程。多元函数极值格朗日乘数法.与条件极值的概念，求条件极值的拉格朗日乘数法.重点难点重点:方向导数与梯度的计算,多元函数的极值的。难点:有界闭区域上二元函数极值的求法.要求掌握知识点和分析方法隐函数的偏导数。曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的方程。多元函数极值与条件极值的概念，求条件极值的拉格朗日乘数法.教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路: 首先列出本部分的重点和难点,容易出错的地方和易混的概念.在此基础上列举出来几个综合性的题目,从不同角度进行分析,拓宽学生的思维能力.紧接着总结出求极值、隐函数与复合函数综合例子等命题的解题步骤.教学方法和辅助手段:本节采用实例教学法,同时结合一题多解的方法.难点突破:本节的难点是有界闭区域上二元函数极值的求法.对于此问题,除掉全部的极值之外,还应当加上区域边界点上的函数值一起进行比较,其中最大者(或最小者)就是二元函数在该区域上的最大值(或最小值).一般首先找出区域内的驻点、奇点的函数值和边界上的极值加以比较,而对于边界上的极值的求法,可以转化为一元函数的极值来处理.作业布置高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编)主要参考资料1. 高等数学重点难点100讲，西安石油大学数学教研室编，陕西科学技术出版社2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社备注西安石油大学教案 第 14 次课 2 学时章节9.1 二重积分的概念与性质 (P7478)讲授主要内容二重积分的概念及性质.重点难点重点:二重积分的概念及性质.难点:二重积分的性质.要求掌握知识点和分析方法二重积分的概念及性质.教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路: 与一元函数的定积分类似,二重积分是一种特殊和式的极限,首先从曲顶柱体的体积这一具体问题出发,把研究对象分割,及把积分区域D进行分割,从而可使在每一小块上近似于一个常数,并以每一小块上任一点的值作为函数在该小块上的值,做特殊的和,并利用极限工具从而过度到对一般函数的二重积分,并给出其几何意义.紧接着利用一元函数的性质来类推二元函数的相关性质.教学方法和辅助手段:本节采用类比与讲授结合的教学方法,并结合有关实物.难点突破:从培养学生分析问题的能力出发,以具体的实际问题为背景.从特殊到一般,抓住事物的本质.本节的难点是二元函数的性质,在讲解时应结合其几何意义进行解释和说明.作业布置高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编)主要参考资料1. 高等数学重点难点100讲，西安石油大学数学教研室编，陕西科学技术出版社2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社备注西安石油大学教案 第 15 次课 2 学时章节9.2 二重积分的计算方法 (P7990)讲授主要内容二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标).重点难点重点:二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标).难点:二重积分次序的交换,对称性简化二重积分.要求掌握知识点和分析方法二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标). 教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路:首先借助平行截面面积为已知的立体的体积,在直角坐标系中利用二重积分的几何意义来讨论积分区域为的特殊(型)二重积分的计算问题.在由特殊到一般.同理得出积分区域为(型)的二重积分的计算公式.紧接着对于积分区域为圆形、扇形或圆环形等;被积函数为的函数时选用极坐标系,得出极坐标系下二重积分的计算.教学方法和辅助手段:本节采用启发式教学方法,并结合直观的几何图形.难点突破:确定积分次序是计算二重积分的关键步骤,总的原则还是兼顾积分区域和被积函数的特征全面考虑,一般应避免分区积分和对某个变量不可先积分的情形出现.还要使计算方便而简单.为了达到简化积分运算的目的,在计算时应考虑积分区域的对称性和被积函数的奇偶性,从而体现对称性在积分学中的作用与地位. 作业布置高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编)主要参考资料1. 高等数学重点难点100讲，西安石油大学数学教研室编，陕西科学技术出版社2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社备注西安石油大学教案 第 16 次课 2 学时章节8.2 三重积分 (P99105)讲授主要内容三重积分概念及性质三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。重点难点重点:三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。难点:化三重积分为三次积分.要求掌握知识点和分析方法三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路:首先定积分及二重积分作为和的极限的概念,可以自然推广到三重积分.并具有与二重积分类似的性质.紧接着根据二重积分计算的主导思想是化为两个累次积分, 类推出三重积分计算的主导思想是化为三个定积分的计算.注意在不同的坐标系下,体积元形式的不同.教学方法和辅助手段:本节采用类比的教学方法,并结合几何的直观图形.难点突破:计算三重积分的一个难点就是化三重积分为三次积分式,关键是三次积分限的确定,而这完全依赖积分区域的特点,由此根据积分区域的特点,可以建立三中不同的坐标系,特别注意三中坐标系下的体积元的不同.直角坐标系下有两中转化的方法(先一后二法,先二后一法).而柱面坐标可以看做是平面上的极坐标加上轴构成的.因此只须把直角坐标系下的先一后二法用柱面坐标表示出来就可以了.对于积分区域是球域或被积函数有的函数选用球面坐标计算是比较方便的.作业布置高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编)主要参考资料1. 高等数学重点难点100讲，西安石油大学数学教研室编，陕西科学技术出版社2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社备注西安石油大学教案 第 17 次课 2 学时章节9.4 重积分的应用 (P107116)讲授主要内容重积分在几何及其物理等方面的应用.重点难点重点:重积分在几何方面的应用.难点:重积分中的元素法及其应用.要求掌握知识点和分析方法重积分在几何及其物理等方面的应用.教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路:首先引导学生回忆定积分的元素法,把此方法类推到重积分中,利用重积分的元素法来讨论重积分在几何、物理上的一些其他应用.紧接着通过微元法得出空间曲面的面积微元,平面薄片的质心坐标、平面薄片的的转动惯量微元.从而得出空间曲面的面积公式、平面薄片的质心坐标公式、平面薄片的的转动惯量公式.教学方法和辅助手段:本节采用发现教学法并结合类比教学法.难点突破:在区域内任取一个直径很小的子区域时,可以求出相应的部分量的近似值; .其中点在内这个表示式就是所求量的积分元素.以为被积表达式,在区域上积分,就是所求量的积分表达式.作业布置高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编)主要参考资料1. 高等数学重点难点100讲，西安石油大学数学教研室编，陕西科学技术出版社2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社备注西安石油大学教案 第 18 次课 2 学时章节习题课讲授主要内容二重积分的计算方法；三重积分的计算方法.重点难点重点:二重积分的概念和性质；二重积分的计算方法；三重积分的概念及计算方法.难点:二重积分的计算方法；三重积分的计算方法.要求掌握知识点和分析方法二重积分的概念和性质；二重积分的计算方法；二重积分的应用；三重积分的概念及计算方法.教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路:首先图表列出直角坐标系和极坐标系二重积分的积分表达式(面积元、适用类型、转化的方法).紧接着用图表列出三重积分不同坐标系中的表达式和相应的积分表达式(体积元、区域、对象、计算公式).最后介绍对称性在简化重积分中的应用.教学方法和辅助手段:本节采用类比的教学方法,并结合图表进行对比.难点突破:本节的难点是二重和三重积分的计算,关键是画出区域的图形.根据被积函数和积分域选取适当的坐标系和累次积分的次序,并将区域用相应的双边(三边)不等式表示.当积分区域关于坐标轴(坐标面)对称时,可考虑被积函数的奇偶性和积分区域的对称性来简化重积分的运算.作业布置高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编)主要参考资料1. 高等数学重点难点100讲，西安石油大学数学教研室编，陕西科学技术出版社2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社备注西安石油大学教案 第 19 次课 2 学时章节10.1对弧长的曲线积分 (P126131)讲授主要内容对弧长的曲线积分的概念、性质及其物理意义, 对弧长的曲线积分的计算.重点难点重点:对弧长的曲线积分的概念、性质及计算.难点:对弧长的曲线积分的计算.要求掌握知识点和分析方法对弧长的曲线积分的概念、性质及其计算.教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路:首先介绍本章的研究内容.作为积分范围的进一步推广.本章将把积分的概念推广到一段曲线或一片曲面的情形(曲线积分和曲面的积分)并阐明这两种积分的一些基本内容.紧接着通过实际生活中非均匀曲线构件的质量这一具体问题的研究,把研究对象采取分割、近似求和、取极限.转化为一种特殊类型的和式的极限,从而由这种和式极限抽象出对弧长的曲线积分的概念.最后解决其计算问题.教学方法和辅助手段:本节采用讲授并结合类比的教学方法.难点突破:对弧长的曲线积分的计算最终转化为定积分的运算,核心问题是曲线的参数方程的表示及其参量的取值范围,根据所给曲线的特点,建立起曲线的不同方程(参数方程、直角坐标方程、极坐标方程).由于小弧段的长度总是正的,从而对弧长的曲线积分化为定积分时,下限一定小于上限.若曲线关于坐标轴对称时,可考虑利用被积函数的奇偶性和积分曲线的对称性来简化运算.作业布置主要参考资料1. 高等数学重点难点100讲，西安石油大学数学教研室编，陕西科学技术出版社2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社备注西安石油大学教案 第 20次课 2 学时章节10.2对坐标的曲线积分 (P132141)讲授主要内容对坐标的曲线积分的概念、性质、计算方法及其两类曲线积分相互间的关系.重点难点重点:对坐标的曲线积分的计算方法.难点:利用对称性简化对坐标的曲线积分的计算.要求掌握知识点和分析方法对坐标的曲线积分的概念、性质、计算方法及其两类曲线积分相互间关系.教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路:首先通过实际生活中变力沿着曲线作的功这一具体问题的研究,把研究对象采取分割、近似求和、取极限.转化为一种特殊类型的和式的极限,从而由这种和式极限抽象出对坐标的曲线积分的概念.紧接着讲授其计算.作为简化积分的一种方法,引出对称性的应用.特别强调对称性在对坐标的曲线积分中与以前所将的规律恰恰相反.最后引导学生建立这两类曲线积分之间的联系与区别.教学方法和辅助手段:本节采用类比的教学方法(第一二型曲线积分做以比较).难点突破: 采用与第一型曲线积分对比,从而把坐标的曲线积分的计算最终转化为定积分的运算,核心问题是曲线的参数方程的表示及其参量的取值范围,由于对坐标的曲线积分与方向有关,所以对弧坐标的曲线积分化为定积分时,下限不一定小于上限. 若曲线关于坐标轴对称时,可考虑利用被积函数的奇偶性和积分曲线的对称性来简化运算.此时对称性的有关结论和公式与以前的恰恰相反.作业布置高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编)主要参考资料1. 高等数学重点难点100讲，西安石油大学数学教研室编，陕西科学技术出版社2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社备注西安石油大学教案 第 21 次课 2 学时章节10.3格林(Green)公式及其应用 (P142152)讲授主要内容格林(Green)公式及平面曲线积分与路径无关的条件.重点难点重点: 格林(Green)公式难点: 格林(Green)公式及平面曲线积分与路径无关的条件.要求掌握知识点和分析方法格林(Green)公式及平面曲线积分与路径无关的条件.教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路:首先提出问题,在一元函数积分学中,牛顿莱布尼茨公式把在上的积分转化为它的一个原函数在区间端点处的增量.则可否把平面有向闭曲线上的曲线积分转化为此闭曲线所围成区域上的二重积分?从而引出讲授的主题.教学方法和辅助手段:本节采用发现教学法.难点突破: 从(1)引子:牛顿莱布尼茨公式(2)探索发现:从以上公式的推广开始: 函数: 一元函数二元函数;积分范围:区间区域;形式类比: ;,;,在师生共同探讨下完成定理的证明.作业布置高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编)主要参考资料1. 高等数学重点难点100讲，西安石油大学数学教研室编，陕西科学技术出版社2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社备注西安石油大学教案 第 22 次课 2 学时章节习题课讲授主要内容两类曲线积分的概念、性质及相互间关系，两类曲线积分的计算方法；格林(Green)公式及平面曲线积分与路径无关的条件.重点难点重点:两类曲线积分的计算方法.难点:格林(Green)公式及平面曲线积分与路径无关的条件.要求掌握知识点和分析方法两类曲线积分的概念、性质及相互间关系，两类曲线积分的计算方法；格林(Green)公式及平面曲线积分与路径无关的条件.教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路: 首先将第一型曲线积分和第二型曲线积分类似的对象通过图表进行对比研究,(概念、性质、计算的方法、对称性的理论等).紧接着通过典型例子如:计算曲线积分,其中弧是由至的曲线启发学生从不同的角度分析这个问题,本题目可以用7中方法,(选为参数),用格林(Green)公式;曲线积分与路径无关等.拓宽学生的思维能力.教学方法和辅助手段:本节采用类比的教学方法同时结合启发式教学.难点突破:本节的难点是对坐标的曲线积分不满足格林(Green)公式时,分两种情形,其一不闭合时,可以做辅助线构成闭合,要注意所做辅助线的方向.其二是闭合的,但偏导数不连续,则可以以此点为心,做一圆域或椭圆域等,挖去此点,然后再应用格林(Green)公式.作业布置高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编)主要参考资料1. 高等数学重点难点100讲，西安石油大学数学教研室编，陕西科学技术出版社2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社备注西安石油大学教案 第 23 次课 2 学时章节10.4对面积的曲面积分 (P154158)讲授主要内容对面积的曲面积分的概念、性质及其计算.重点难点重点: 对面积的曲面积分的计算.难点: 对面积的曲面积分的计算.要求掌握知识点和分析方法对面积的曲面积分的概念、性质及其计算.教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路: 首先给出均匀平面的质量的计算公式,紧接着提出问题,若平面是非均匀的,它的质量又如何合计算呢?启发学生利用以前处理此类形问题的方法来解决.最后把研究对象转化为某一中特殊类型的极限,从而抽象出对面积的曲面积分的概念.采用类比的方法得出相关性质.紧接着有定义得出相应的计算公式,即把对面积的曲面积分化为二重积分.教学方法和辅助手段:本节采用启发式教学的方法.难点突破:本节的难点是对面积的曲面积分的计算.关键是找出空间曲面在某个面上的投影区域及其空间曲面所对应的面积元.在应用公式计算时,注意曲面积分与曲线积分一样,积分区域是由积分变量的等式给出的,因而可将的方程直接代入被积表达式.同时结合积分曲面的对称性和被积函数的奇偶性来简化计算.作业布置高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编)主要参考资料1. 高等数学重点难点100讲，西安石油大学数学教研室编，陕西科学技术出版社2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社备注西安石油大学教案 第 24 次课 2 学时章节10.4对坐标的曲面积分 (P154158)讲授主要内容对坐标的曲面积分的概念、性质及其计算;两类曲面积分的相互间的关系.重点难点重点:对坐标的曲面积分的计算.难点:对坐标的曲面积分的计算和利用对称性简化对坐标的曲面积分.要求掌握知识点和分析方法对坐标的曲面积分的概念、性质及其计算; 两类曲面积分的相互间的关系.教授思路，采用的教学方法和 辅助手段，板书设计，重点如何突出，难点如何解决，师生互动等思路:首先通过探讨不可压缩流体单位时间内流向指定侧的流体的质量这一实际问题出发,引进对坐标的曲面积分的概念.采用类比的方法得到相关的性质.然后按照对坐标的曲面积分的定义,把对坐标的曲面积分化为二重积分,强调学生注意曲面的侧.注意曲面积分与曲线积分一样,积分区域是由积分变量的等式给出的,因此可以代入到被积函数中简化积分.最后介绍给学生一种利用对称性简化对坐标的曲面积分的方法.培养学生的探索能力和善于总结的能力.教学方法和辅助手段:本节采用启发式教学方法同时结合类比的教学方法.难点突破:本节的难点是对坐标的曲面积分的计算,计算的方法是转化为某一面上的二重积分,关键是从已知曲面的侧定出投影是正还是负,主要依据是已知曲面的侧与坐标轴正向的夹角.当积分曲面具有对称性时,可考虑被积函数的奇偶性来简化对坐标的曲面积分运算.注意区分第二类曲面积分的对称性规则与重积分的对称性规则有截然不同之处,作业布置高等数学标准化作业 ( 西安石油大学数学教研室编)主要参考资料1. 高等数学重点难点100