高考数学利用相关点法巧解对称问题讲义.doc

利用相关点法巧解对称问题对称问题在高考试题中经常出现,常见的有中心和轴对称两种尽管试题年年翻新,情境不断变化,甚至不落俗套,但经研究可以发现,其解法的普遍规律还是可以归纳总结的笔者认为,图象对称的原始基础是图象上点与点之间的对称,因此,抓住对称点之间的数量关系及其内在联系,可将几何对称语言转化为代数坐标方程语言代数化地展开研究是解决对称问题的有效方法,亦简称相关点法下面通过一些实例加以说明一. 函数中的对称问题例1 (2001年高考)设是定义在R上的偶函数,其图象关于直线对称证明是周期函数证明:设(x,y)为图象上任意一点,则其关于的对称点可求得:,于是根据函数关系有:,又因为是定义在R上的偶函数,故有:,因此结合上式有:,故由知:是周期函数,例2 (1997年高考文)设是定义在R上的函数,则函数与的图象关于( )A. 直线对称 B. 直线对称C. 直线对称 D. 直线对称解:可设(x1,y)为上任意一点,则有;若(x2,y)为上一点,也有,一般地,由可知:,所以,即(x1,y)与(x2,y)关于直线对称,故选(D)评注:例1是一个函数图象本身内在对称问题,例2是两个函数图象之间的对称问题,尽管问题情境不同,但解法有相通之处,均可抓住对称点(即相关点)加以讨论二. 三角函数中的对称问题例3 (2003年高考江苏卷)已知函数是R上的偶函数,其图象关于点对称,且在区间上是单调函数,求的值解:由是偶函数,得即所以对任意x都成立,且,所以得依题设,所以解得,这时由的图象关于点M对称,可设P(x,y)是其图象上任意一点,P点关于的对称点可求得为:即有,(*)取x=0,得,所以,所以所以当时,上是减函数;当时,在上是减函数;当时,上不是单调函数;所以,综合得评注:本题是三角函数中含有中心对称问题,抓住对称点之间的中心对称关系,利用中点坐标公式求出对称点(或称相关点),寻求两相关点(对称点)之间的函数等量关系(见*)是解决问题的关键三. 解析几何中的对称问题例4 设曲线C的方程是,将C沿x轴y轴正向分别平行移动ts单位长度后得曲线C1(I)写出曲线C1的方程;(II)证明曲线C与C1关于点对称;(I)解:曲线C1的方程为:(II)证明:在曲线C上任取一点B1(x1,y1)设B2(x2,y2)是B1关于点A的对称点,则有:所以代入曲线C的方程,得x2和y2满足方程:可知点在曲线C1上反过来,同样可以证明,在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上因此,曲线C与C1关于点A对称例5 (1997年高考文)椭圆C与椭圆C1:关于直线对称,椭圆C的方程是( )A. B. C. D. 解:设(x,y)是椭圆C上任意一点,则其关于直线的对称点可求得为,该点在椭圆C1上,故其坐标适合椭圆C1的方程,将其代入有:,化简后知选A从以上几个方面的研究可以发现,相关点法是解决数学对称问题的有效方法,因为它抓住了图象对称的基本元素(即图象上点与点之间的一一对应的对称关系)和核心,并且将几何问题代数化的基本数学思想得到很好地体现运用此外,相关点法在解决几何中才被得以提出并加以运用于解决对称问题,这一点从例4,