[理学]解析几何_第3章常见的曲面.ppt

2019/5/3,空间解析几何,第3章 常见的曲面,本章主要内容,柱面 2 锥面 3 旋转曲面 4 曲线与曲面的参数方程 5 椭球面 6 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面） 7 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面） 8 二次直纹面 9 作图,五种典型的 二次曲面,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,曲面的实例：,3.1 柱面,观察柱面的形成过程:,定义3.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,母线,准线,柱面举例：,抛物柱面,平面,抛物柱面方程：,平面方程：,从柱面方程看柱面的特征：,（其他类推）,实 例,椭圆柱面，,双曲柱面 ，,抛物柱面，,母线/ 轴,母线/ 轴,母线/ 轴,1. 椭圆柱面,2. 双曲柱面,如何建立柱面方程,已知准线方程 母线方向,例1,已知准线方程 母线方向,例2,已知圆柱面的轴 和圆柱面上一点（1，-2，1），求圆柱面方程,解法一：由准线和母线求圆柱面方程,解法二：根据圆柱面的特殊性质求方程,空间曲线的射影柱面,空间曲线 如何求射影柱面？ 消去z，得F(x,y)=0，即对xOy坐标面射影的射影柱面 。 如何求射影曲线 如何利用空间曲线的射影柱面来表达空间曲线？ 任两个射影柱面组成的方程组即为原空间曲线,定义3.2.1 通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面.,这些直线都叫做锥面的母线.,那个定点叫做锥面的顶点.,锥面的方程是一个三元方程.,特别当顶点在坐标原点时：,3.2 锥面,n次齐次方程,F(x,y,z)= 0,的图形是以原点为顶点的锥面；,方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次方程：,准线,顶点,F(x,y,z)= 0.,反之，以原点为顶点的锥面的方程是n次齐次方程,锥面是直纹面,锥面的准线不唯一，和一切母线都相交的每一条曲线都可以作为它的准线.,请同学们自己用截痕法 研究其形状.,椭圆锥面,如何建立锥面方程,已知锥面准线 已知锥面顶点,例1,已知圆锥的准线方程 顶点在原点,例2,已知圆锥面的顶点为(1,2,3) 轴垂直于平面2x+2y-z+1=0 母线与轴成30度角 求圆锥面方程,解法一：由准线和顶点求圆锥面方程,解法二：根据圆锥面的特殊性质求方程,解,圆锥面方程,或,定义3.3.1 以一条曲线绕其一条定直线旋转一周所产生的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面.,这条定直线叫旋转曲面的旋转轴,这条曲线叫旋转曲面的母线,3.3 旋转曲面,2019/5/3,如何建立旋转曲面方程？ 已知轴和母线 轴：方向和线上一点P0 母线：方程 旋转曲面方程满足（3.3.1）,曲线 C,C,绕 z轴,曲线 C,C,绕z轴,.,曲线 C,旋转一周得旋转曲面 S,C,S,M,N,z,P,y,z,o,绕 z轴,.,f (y1, z1)=0,M(x,y,z),., S,曲线 C,旋转一周得旋转曲面 S,C,S,M,N,z,P,.,绕 z轴,.,.,f (y1, z1)=0,M(x,y,z),f (y1, z1)=0,f (y1, z1)=0,., S,建立旋转曲面的方程：,如图,将 代入,得方程,方程,例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转双叶双曲面,旋转单叶双曲面,旋转椭球面,旋转抛物面,几种 特殊旋转曲面,1 双叶旋转曲面 2 单叶旋转曲面 3 旋转锥面 4 旋转抛物面 5 环面,x,0,1 双叶旋转双曲面,绕 x 轴一周,x,0,.,绕 x 轴一周,1 双叶旋转双曲面,x,0,.,1 双叶旋转双曲面,.,绕 x 轴一周,a,2 单叶旋转双曲面,上题双曲线,绕 y 轴一周,a,.,上题双曲线,绕 y 轴一周,2 单叶旋转双曲面,a,.,.,.,2 单叶旋转双曲面,上题双曲线,绕 y 轴一周,3 旋转锥面,两条相交直线,绕 x 轴一周,.,两条相交直线,绕 x 轴一周,3 旋转锥面,.,两条相交直线,绕 x 轴一周,得旋转锥面,.,3 旋转锥面,o,4 旋转抛物面,抛物线,绕 z 轴一周,o,.,抛物线,绕 z 轴一周,4 旋转抛物面,y,.,o,x,z,生活中见过这个曲面吗？,.,4 旋转抛物面,抛物线,绕 z 轴一周,得旋转抛物面,卫星接收装置,例,.,5环面,r,R,绕 y轴 旋转所成曲面,5环面,绕 y轴 旋转所成曲面,.,5环面,绕 y轴 旋转所成曲面,环面方程,.,生活中见过这个曲面吗？,.,.,救生圈,.,5 环面,2019/5/3,空间曲线的参数方程,空间曲线的参数方程,3.4.1 空间曲线的参数方程,2019/5/3,动点从A点出发，经过t时间，运动到M点,螺旋线的参数方程,取时间t为参数，,解,2019/5/3,螺旋线的参数方程还可以写为,螺旋线的重要性质：,上升的高度与转过的角度成正比 即,上升的高度,螺距,2019/5/3,有一质点，沿着已知圆锥面的一条直母线自圆锥的顶点起，作等速直线运动，另一方面这一条母线在圆锥面上，过圆锥的定点绕圆锥的轴（旋转轴）作等速的转动，这时质点在圆锥面上的轨迹叫做圆锥螺线，请建立圆锥螺线方程。,练习,2019/5/3,曲线又常常表现为一个动点运动的轨迹，即动点的位置随着时间t改变的规律，记为 设平面上取定的标架为 ，矢量就可以用它的分量来表达，记为 或 例4 已知直线l通过定点M0(x0,y0)，并且它与非零矢量v=X,Y共线，求直线l的方程。 例5 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上的一点P的轨迹。,平面曲线的参数方程,2019/5/3,例6 已知大圆半径为a，小圆半径为b，设大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，动圆周上某一定点P的轨迹叫做内旋轮线（或称内摆线），求内旋轮线的方程。 平面曲线的普通方程和参数方程的转换 例7 把椭圆的普通方程改写为参数方程 将参数方程转化为普通方程,练习：,1. 一动点M到A(3,0)的距离恒等于它到点B(-6,0)的距离的一半，求此动点M的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形。 2. 有一长度为2a(a0)的线段，它的两端点分别在x轴正半轴与y轴的正半轴上移动，求此线段中点的轨迹。 3. 当一圆沿着一个定圆的外部做无滑动地滚动时，动圆上一点的轨迹叫做外旋轮线，如果用a与b分别表示定圆与动圆的半径，试导出其参数方程。,2019/5/3,球坐标,2019/5/3,3.4.2 空间曲面的参数方程,二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面,相应地平面被称为一次曲面,讨论二次曲面形状的截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,二次曲面,3.5.1 椭球面,截痕法,用z = h截曲面,用y = m截曲面,用x = n截曲面,a,b,c,椭球面,椭球面的方程,椭球面与三个坐标面的交线：,椭球面,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面 的交线为椭圆,同理与平面 和 的交线也是椭圆.,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,旋转椭球面与椭球面的区别：,方程可写为,与平面 的交线为圆.,球面,截面上圆的方程,方程可写为,单叶双曲面,一、单叶双曲面,3.5.2 双曲面,与平面 的交线为椭圆.,当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点的双曲线.,实轴与 轴相合，虚轴与 轴相合.,单叶双曲面图形,（3）用坐标面 ，与曲面相截,均可得双曲线.,二、双叶双曲面,双叶双曲面,单叶：,双叶：,.,.,.,在平面上，双曲线有渐进线。 相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 有渐进锥面。