[经济学]第6章 根轨迹法.ppt

第6章 根轨迹法,吉林大学仪器科学与电气工程学院 随阳轶,连续与离散控制系统,主要内容,基本概念 绘制根轨迹图的基本规则 绘制根轨迹图 参数根轨迹 开环零极点对根轨迹的影响 利用根轨迹法进行系统性能分析 利用根轨迹法校正 系列设计举例,6.1基本概念,美国人W.R.EVANS于1948年提出根轨迹法。它利用图解法而不是代数法求解控制系统的闭环特征方程的根即闭环极点。 当控制系统的某一参数变化时，根据已知的开环传递函数的极点和零点，利用几条简单规则，绘制闭环系统的特征根的轨迹。 根轨迹法的最重要的价值在于它的图解思想、控制系统整体感及隐藏在绘制规则背后的规律，使控制工程师能够对控制系统有深入的理解。,根轨迹和根轨迹图,根轨迹：特征方程的根（闭环极点）随参数变化的运动轨迹。 根轨迹图：根轨迹的图像。 根轨迹法：根据根轨迹图对系统进行分析和综合的一种近似方法。 标准根轨迹图：以根轨迹系数k为参数，以开环传递函数为依据所绘制的根轨迹图。 参数根轨迹图：以k以外的参数（如时间常数T）绘制的根轨迹图 。,模条件和角条件,设控制系统的开环传递函数为G(s)，则其特征方程为： 1+ G(s)=0 ，则G(s)= -1=ej(2l+1),模条件,角条件,根轨迹图,角条件和模条件是根轨迹法的理论依据。,点在根轨迹上的充要条件是满足相角条件。,对于标准形式的开环传递函数，当k由0连续变化至+时，满足模条件和角条件的所有点的图像称为该系统的根轨迹图。,k和开环放大系数K不是一个概念。,k和K的关系,开环传递函数为时间常数表达形式：,则有：,6.2绘制根轨迹图的基本规则,规则一：根轨迹的分支 规则二：根轨迹的连续性和对称性 规则三：根轨迹的起点和终点 规则四：根轨迹的渐近线 规则五：实轴上的根轨迹 规则六：根轨迹与实轴的交点 规则七：根轨迹的出射角与入射角 规则八：根轨迹与虚轴的交点及临界值kc 规则九：根轨迹系数k的求取,规则一：根轨迹的分支,根轨迹在s平面上的分支数等于控制系统特征方程式的阶次，即等于闭环极点数目，也等于开环极点数目。,规则二：连续性和对称性,连续性：由于k从0连续变化时，特征方程式根的变化也必然是连续的，故根轨迹必然是连续的。 对称性：因为闭环特征方程式的根只有实根和复根两种，实根位于实轴上，复根必共轭，因此根轨迹对称于实轴。,规则三：根轨迹的起点和终点,根轨迹的一个分支一定起始于某个开环极点而终止于某个开环零点。,证明：设闭环控制系统的特征方程为,当根轨迹增益k=0时，有,可见，闭环特征方程的根就是开环极点，所以根轨迹起于开环极点。,规则三证明（续）,将特征方程改写为如下形式,当根轨迹增益k=时，有,所以根轨迹终于开环零点。,一般系统总有nm，只有s时原式0，故在无穷远处为零点。,规则四：根轨迹的渐近线,根轨迹的渐近线是当开环零点数目m小于开环极点数n时，确定(n-m)条根轨迹沿什么方向趋于s平面的无穷远处。渐近线是指向无穷远处的射线。,渐近线与实轴的交点：,渐近线与实轴正方向的夹角：,根轨迹的渐近线（续）,只要系统的n-m相同，其夹角是相同的，只是不同的系统不同。下面给出常见情况的渐近线形式。,规则五：实轴上的根轨迹,如果实轴上有开环零点或极点，则要研究根轨迹在实轴上的情况，称为实轴上的根轨迹。,实轴上的奇点将整个实轴分割成若干段，每段作一个开区间，记为 (a,b)（包括实轴上无穷远点），则：,区间(a,b)右侧实轴上奇点总数若为奇数则该区间在根轨迹上。若为偶数，则该区间上无闭环极点。,证明规则五,s0 是实轴上的任意测试点；是开环零点到s0的相角；是开环极点到s0的相角，所有角度都是以水平线开始，逆时针方向测得的。,实轴上根轨迹举例,例6.1某负反馈系统实轴上的开环零、极点如图所示，试确定其实轴上的根轨迹。,解：注意原点处为两个开环极点。,(P1,+),(P2, P1),(Z1, P2),(P4, Z1),(-, P4),规则六：根轨迹与实轴的交点,如果某区间是实轴上的根轨迹，则有三种运动情况： 如果两端点为同性奇点，又分为两种情况。 同为开环极点，两个分支在k=0时分别从两个端点出发，然后相向运动。他们只能在某一点相遇且自此分开进入复平面去找零点，故称该点为分离点。 第二种情况是同为开环零点，一定有一个会合点。 如果两端点为异性奇点。 如果没有与实轴的交点，则它为一个完整的分支，即起始于开环极点，沿实轴运动直至该零点。 如果存在会合点，那么一定要有一个分离点也存在。,求根轨迹分离（会合）点的方法,方法一：,方法二：,例6.2已知开环传递函数，求其与实轴的交点。,解：依据G(s)将开环零、极点画于S平面如图,例6.2（续1）,根据方法一得：,解得,舍去不在根轨迹上的点,根据方法二得：,解得相同结果,根轨迹与实轴交点举例二,例6.3已知开环传递函数，求其与实轴的交点。,解：使用方法一，有,解得：,规则七：出射角与入射角,出射角：根轨迹离开开环复极点处的切线方向与实轴正方向的夹角。,入射角：根轨迹进入开环复零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。,入射角与出射角的计算方法,设Ph为复平面上任意开环极点，则其出射角,设Zh为复平面上的任意零点，则其入射角,先异后同再反相！,入射角与出射角的计算举例,例6.4已知开环传递函数，求出射角和入射角。,解：由G(s)知：,由于存在复极点P3，P4故应求出射角。由于存在复零点Z2，Z3故应求入射角。,入射角与出射角的举例（续1）,入射角与出射角的举例（续2）,规则八：与虚轴的交点及临界值kc,根轨迹与虚轴的交点是为了研究是否有不稳定的情况发生。与虚轴有交点就说明当k值变化到这个值(称为临界k值，记为kc)时将有一对共轭虚闭环极点存在，将产生等幅振荡。,求与虚轴交点有两种方法：,方法一：令s=j，带入系统特征方程,与虚轴交点求法（续）,方法二：利用劳斯表，令相应行所有元素值为0解得kc值，代入辅助方程求得w值。,例6.5负反馈系统开环传递函数如下，求根轨迹与虚轴的交点及kc 。,解：由G(s)知系统特征方程为,与虚轴交点求法举例一（续1）,解得,方法二：劳斯判定法,34.45-4.73k,1,7.46,k,4.73,5.46,6.31,k,k,令34.454.73kc=0,kc=7.28 带入辅助方程,6.31s2+7.28=0,s=j1.07 =j,与虚轴交点求法举例二,例6.6负反馈系统开环传递函数如下，求根轨迹与虚轴的交点及kc 。,解：令s=j带入系统特征方程,由(1)得,由(2)得,由于k由0+，故根轨迹与虚轴无交点。,规则九：根轨迹系数k的求取,设sl是根轨迹上的点，则对应的k值记为,例6.7负反馈系统开环传递函数如下，复平面上点 是闭环极点吗？若是其对应k值为何？,根轨迹系数k的求取举例,解：画零极点分布图,求s1与开环零极点的幅角代数和,满足角条件，故s1在根轨迹上，则k为：,6.3绘制根轨迹图,获取系统的开环传递函数； 将开环零、极点绘于S平面； 确定实轴上的根轨迹； 确定有无与实轴交点，有则求出； 确定渐近线条数及渐近线交点，渐近线与实轴夹角并绘出渐近线； 确定是否需要求取出射角和入射角，需要则求出； 求与虚轴交点及kc； 画出根轨迹各分支图； 需要求出的k值给予求取。,绘制根轨迹图举例,例6.8负反馈系统开环传递函数如下，绘制其根轨迹图。,解：按照下述步骤绘制根轨迹,1. 确定开环零、极点：P1=0，P2=2.73，P3,4=1j,2. 确定实轴上的根轨迹：(2.73，0),3. 确定与实轴交点：有一个分离点,绘制根轨迹图举例（续1）,解得分离点为d=1.3，对应k值为kd=2.03,4. 确定根轨迹的渐近线：四条,绘制根轨迹图举例（续2）,5. 确定是否需要求出/入射角：有出射角为,6.确定根轨迹与虚轴的交点：,解得：w=1.07 kc=7.28,绘制根轨迹图举例（续3）,6.4参数根轨迹,定义：负反馈系统除k以外的变量作为参变量所做的根轨迹图称为参数根轨迹。 绘制规则：在绘制参数根轨迹之前，仿照根轨迹的标准形式将要求参数提至k的位置，获得关于参数的标准开环传递函数，则常规根轨迹的所有绘制法则，均适用于参数根轨迹的绘制。,参数根轨迹举例一,例6.9开环传递函数为 研究T变化对系统闭环极点的影响,解：本题就是绘制T的参数根轨迹图。,关键是仿照根轨迹标准型,故等效的开环传递函数为,参数根轨迹举例一（续1）,1. 确定开环零、极点：,2. 确定实轴上的根轨迹：(，10 ),3. 确定与实轴交点：无,4. 确定根轨迹的渐近线：1条,5. 确定是否需要求出/入射角：出射角,参数根轨迹举例一（续2）,6. 确定根轨迹与虚轴的交点：,解得Tc=-1/6故无交点。,当K不变时，改变开环极点P=-1/T的位置同样会改变闭环极点的分布位置。,6.5开环零极点对根轨迹的影响,6.5.1开环零点对根轨迹的影响,1.对实轴上根轨迹的影响,校正中一般增加实开环零点，对于含有积分环节的系统，增加的零点不允许是正值，因为必有一个分支会位于正实轴上，系统不稳定。故增加的开环零点是负实的。,开环零点对根轨迹的影响（续1）,2.对渐近线的影响,增加一个开环零点则使渐近线减少一条，张角增大，根轨迹右半面若有分支将向虚轴方向被吸引。,增加的开环零点若沿实轴由向移动，渐近线的交点将由向运动。,因此合理地选择开环零点位置将使与虚轴交点所对应的k值增大，甚至与虚轴无交点。即增大系统稳定的允许参数k的变化范围。,开环零点对根轨迹的影响（续2）,3.对复平面上闭环极点的影响,必然改变复平面上所有闭环极点的位置，它使原有闭环极点增加了一个相角,若复平面上某点和原系统开环零、极点差某个正角度不满足相角条件，则可以增加一个开环零点刚好与该点所形成的幅角等于这一角度，则它就成为新系统的闭环极点。超前校正就是利用此思路。,开环零点对根轨迹的影响（续3）,4.对出射角和入射角的影响,增加一个负实开环零点，对于复平面上开环极点的出射角影响规律为：,开环零点对根轨迹的影响举例,例6.10开环传递函数为 增加一个开环零点Zc，讨论其对根轨迹的影响。,解：由于含有积分环节，故必需使Zc0。,该系统是有条件稳定的，当kc04时系统稳定。负实轴是一个分支。,开环零点的影响举例（续1）,增加一个开环零点Zc，则新系统开环传递为,(1)实轴上的根轨迹变为(Zc，0),(2)渐近线由三条变为两条，张角由60变为90，渐近线的交点移动由Zc的位置所决定，若Zc向左移动，则交点将右移。,(3) Zc将对复平面上的两个分支产生影响。,开环零点的影响举例（续2）,若与虚轴有交点应有|Zc|20得|Zc|2，这说明Zc位于-20之间闭环极点将全部位于S平面的左半平面，而位于2左侧则必有分支位于S平面右半平面。,若|Zc|21则有|Zc|3，这说明若Zc位于-3-2之间，临界k值将增大，若在-3左侧则临界k值将变小，系统稳定范围减小。,开环零点的影响举例（续3）,6.5.2开环极点对根轨迹的影响,增加负实开环极点将使渐近线条数增加，张角减小，一般这不利于系统稳定范围。 开环极点对出、入射角、渐近线交点，实轴上的根轨迹、复平面上的根轨迹、与虚轴交点等都将产生影响。 同样附加开环极点也可以使复平面上的某些点成为新系统的闭环极点，只要其角条件仅差某个负角度。,开环极点对根轨迹的影响举例,例6.11开环传递函数为 若要使闭环极点为s1=2j2，应如何处置？,解：做其根轨迹图。,s1不在原系统根轨迹上，因而不能通过调节k值而使s1成为闭环极点。,开环极点影响举例（续）,它与角条件相差18.43，因此增加一个开环极点Pc，使 即可,解得Pc8,新系统开环传递函数为,6.5.3附加开环零极点的影响,设系统开环传递函数为,现增加一个负实开环零点Zc和一个负实开环极点Pc，则新系统的开环传递函数为,附加开环零极点的影响（续1）,可见未改变原有系统的无差度，但其误差系数会发生变化。增加的系数kf为：,约定：如果不附加开环零点或极点则Zc=1及Pc=1。,附加开环零极点的影响（续2）,只增加负实开环零点，稳态误差较原系统变化1/|Zc|倍。只增加负实开环极点，稳态误差较原系统变化|Pc|倍。若附加一对开环零点和极点，则稳态误差改变|Pc|/|Zc|倍。,偶极子即为相距甚近的一对开环零点和开环极点。若二者间距离是到其余奇点距离的十分之一以下则视为偶极子。显然偶极子设置于接近原点位置是最适宜的，它们具有较小的间距，却可获得较大的比值。,6.6利用根轨迹法进行性能分析,根据根轨迹图，可以进行直观的时域分析。 可以确定系统的阶数。 可以确定无差度。 可以直观地确定系统稳定的条件。 可以直观地确定参数k的变化，闭环极点的位置变化区域及位置，从而确定其、n值，进而对系统动态性能进行分析。 可以直观地看到是否具有闭环主导极点。,根轨迹法确定误差系数,设系统开环零点为Zi(i=1,2,m)，非零值开环极点Pj(j=1,2,n-v)，则有：,根轨迹法性能分析举例一,例6.12开环传递函数为 试分析放大倍数K对系统的影响，计算K=5时的指标。,解：写成标准型并作根轨迹图,分析如下：,无论k1取何值，系统都稳定。分离点d1对应k1=1 (K=0.5)。当K由00.5变化，系统具有两个不等的负实闭环极点，无超调。,根轨迹法性能分析举例一（续1）,当K=0.5时，具有重闭环极点s1=s2=-1，此时=1，为临界阻尼。,当K由0.5变化时，系统具有二共轭复极点，随着k值增大， 减小，系统暂态振荡加剧。该系统是一个二阶振荡系统。,当K=5时，由k1=10，则由原点做半径为 的圆交渐近线于s1，即为闭环极点，并可求得s1=-1+j3。则有：,根轨迹法性能分析举例一（续2）,代入相关公式得：,系统为I型，Kv=5,根轨迹法性能分析举例二,例6.13开环传递函数为 分析该系统并说明=0.5时的系统动态性能。,解：作根轨迹图,d1=-0.422，对应k1=0.347。当k0.347时系统是无振荡的，当0.347k6时，系统具有二阶振荡，当k6时，系统是不稳定的。,根轨迹法性能分析举例二（续1）,在欠阻尼情况下，系统的一对共轭复极点是主导极点，因为另一闭环极点至原点距离是共轭极点至原点距离的5倍以上。,当=0.5时，有=60，做 =60与根轨迹曲线交点s1即为闭环复极点。,对应k值为ks1=1.06，附加闭环极点s2=-2.34,根据主导二阶近似公式得到相应指标。,6.7利用根轨迹法校正,1.超前校正,2.滞后校正,3.超前滞后校正,6.7.2串联超前校正,假设原系统对于所需要的增益值是不稳定的，或虽然稳定，但其暂态响应指标满足不了要求，则可考虑采用串联超前校正。 用根轨迹法设计串联超前校正装置的一般步骤为： 1.根据给定的性能指标求出相应的一对期望闭环主导极点； 2.绘制未校正系统的根轨迹图。如根轨迹不通过期望的闭环主导极点，则表明通过调整增益不能满足性能指标的要求，需加校正装置；,设计串联超前校正的步骤（续）,3.如未校正系统的根轨迹位于期望闭环主导极点的右侧，则可引入串联超前校正，使根轨迹向左移动。加入校正装置后，应使期望闭环主导极点sl位于根轨迹上，即由根轨迹方程的相角条件知，有下式成立,4.校验，重新绘制加入校正装置后的根轨迹图，检验是否满足性能指标的要求。若还不能满足要求，则应重新确定校正装置的零、极点。,串联超前校正举例,例6.14原有系统开环传递函数为 要求校正后系统的性能指标，p16，ts4s(2误差带)。试设计串联校正装置。,解：由给定指标求出,相应的期望闭环主导极点,绘制未校正系统的根轨迹,串联超前校正举例（续1）,根轨迹位于期望闭环主导极点的右侧，引入串联超前校正。则超前角为：,有一开环极点位于期望闭环主导极点垂线下的负实轴上(p=-1)，如令校正装置的零点靠近它的左右，选zc=-1.2，则有利确保sl的主导作用,串联超前校正举例（续2）,串联超前校正的一般形式,又有zc=-1.2，经作图，可得pc=-4.95,超前校正网络的传递函数为,系统的开环传递函数变为,新的根轨迹如下图,串联超前校正举例（续3）,将 代入新的根迹方程的幅值条件，可得sl点对应的k值,经校正后，闭环传递函数,偶极子的动态影响可以忽略，另一个非主导极点的影响也可以忽略。,6.7.3串联滞后校正,当系统有较为满意的暂态响应，但稳态性能有待提高时，常采用串联滞后校正。 稳态性能主要是指系统的稳态增益，亦即开环增益。串入滞后校正后，可使系统的开环增益提高 倍 为避免显著影响原系统暂态性能，同时又大幅度提高开环增益，把零极点放到坐标原点附件，并使它们之间的距离很近。,串联滞后校正零极点设置原理,