泰安2019版中考数学基础知识过关第五章四边形第20讲矩形、菱形、正方形精练.docx

第20讲矩形、菱形、正方形A组基础题组一、选择题1.(2017聊城)如图,ABC中,DEBC,EFAB,要判定四边形DBFE是菱形,还需要添加的条件是()A.AB=ACB.AD=BDC.BEACD.BE平分ABC2.(2018威海)矩形ABCD与CEFG如图放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连接AF,取AF的中点H,连接GH,若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH=()A.1B.C.D.3.(2017陕西)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.若点E是边CD的中点,连接AE,过点B作BFAE交AE于点F,则BF的长为()A.B.C.D.4.(2017江西)如图,任意四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,对于四边形EFGH的形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中的是()A.当E,F,G,H是各边中点,且AC=BD时,四边形EFGH为菱形B.当E,F,G,H是各边中点,且ACBD时,四边形EFGH为矩形C.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH可以为平行四边形D.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH不可能为菱形5.(2017东营)如图,在ABCD中,用直尺和圆规作BAD的平分线AG交BC于点E.若BF=8,AB=5,则AE的长为()A.5B.6C.8D.126.(2017东营)如图,在正方形ABCD中,BPC是等边三角形,BP,CP的延长线分别交AD于点E,F,连接BD,DP,BD与CF相交于点H,给出下列结论:BE=2AE;DFPBPH;PFDPDB;DP2=PHPC.其中正确的是()A.B.C.D.二、填空题7.如图,E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点,AB=6,BC=8,则四边形EFGH的面积是.8.(2018青岛)已知正方形ABCD的边长为5,点E、F分别在AD、DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为.9.(2017兰州)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:ABAD,且AB=AD;AB=BD,且ABBD;OB=OC,且OBOC;AB=AD,且AC=BD.其中正确的序号是.三、解答题10.(2018潍坊)如图,点M是正方形ABCD边CD上一点,连接AM,作DEAM于点E,BFAM于点F,连接BE.(1)求证:AE=BF;(2)已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求EBF的正弦值.11.(2017滨州)如图,在ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B,F为圆心,大于BF的相同长度为半径画弧,两弧交于点P;连接AP并延长交BC于点E,连接EF,则所得四边形ABEF是菱形.(1)根据以上尺规作图的过程,求证:四边形ABEF是菱形;(2)若菱形ABEF的周长为16,AE=4,求C的大小.B组提升题组一、选择题1.(2017广东深圳)如图,正方形ABCD的边长是3,BP=CQ,连接AQ,DP交于点O,并分别与边CD,BC交于点F,E,连接AE,下列结论:AQDP;OA2=OEOP;SAOD=S四边形OECF;当BP=1时,tanOAE=.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.42.(2018天津)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是()A.ABB.DEC.BDD.AF二、填空题3.(2017湖北黄冈)已知:如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则BED=度.4.(2017天津)如图,正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点F,G分别在边BC,CD上,P为AE的中点,连接PG,则PG的长为.三、解答题5.(2017枣庄)已知正方形ABCD,P为射线AB上的一点,以BP为边作正方形BPEF,使点F在线段CB的延长线上,连接EA,EC.(1)如图1,若点P为线段AB的延长线上,求证:EA=EC;(2)如图2,若点P在线段AB的中点,连接AC,判断ACE的形状,并说明理由;(3)如图3,若点P在线段AB上,连接AC,当EP平分AEC时,设AB=a,BP=b,求ab及AEC的度数.6.(2018山西)综合与实践问题情境:在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AB延长线上一点,且BE=AB,连接DE,交BC于点M,以DE为边在DE的左下方作正方形DEFG,连接AM.试判断线段AM与DE的位置关系.探究展示:勤奋小组发现,AM垂直平分DE,并展示了如下的证明方法:图1证明:BE=AB,AE=2AB.AD=2AB,AD=AE.四边形ABCD是矩形,ADBC.=.(依据1)BE=AB,=1.EM=DM.即AM是ADE的DE边上的中线,又AD=AE,AMDE.(依据2)AM垂直平分DE.反思交流:(1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么?试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上,请直接回答,不必证明;(2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2,连接CE,以CE为边在CE的左下方作正方形CEFG,发现点G在线段BC的垂直平分线上,请你给出证明;探索发现:(3)如图3,连接CE,以CE为边在CE的右上方作正方形CEFG,可以发现点C,点B都在线段AE的垂直平分线上,除此之外,请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边,你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上,请写出一个你发现的结论,并加以证明.图2图3与四边形有关的证明与计算培优训练一、选择题1.(2018宁波)如图,ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连接OE.若ABC=60,BAC=80,则1的度数为()A.50B.40C.30D.202.(2018凉州)如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把ADE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置,若四边形AECF的面积为25,DE=2,则AE的长为()A.5B.C.7D.3.(2018黔南)如图,在ABCD中,已知AC=4 cm,若ACD的周长为13 cm,则ABCD的周长为()A.26 cmB.24 cmC.20 cmD.18 cm4.(2018孝感)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=10,BD=24,则菱形ABCD的周长为()A.52B.48C.40D.205.(2018宜昌)如图,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线AC上的两点,EGAB,EIAD,FHAB,FJAD,垂足分别为G,I,H,J,则图中阴影部分的面积等于()A.1B.C.D.6.(2018湘潭)如图,已知点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是()A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形7.(2018南通)正方形ABCD的边长AB=2,E为AB的中点,F为BC的中点,AF分别与DE、BD相交于点M、N,则MN的长为()A.B.-1C.D.二、填空题8.(2018连云港)如图,E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,连接AC、HE、EC、GA、GF,已知AGGF,AC=,则AB的长为.9.(2018宁波)如图,在菱形ABCD中,AB=2,B是锐角,AEBC于点E,M是AB中点,连接MD,ME.若EMD=90,则cos B的值为.10.(2018菏泽)若正多边形的每一个内角为135,则这个正多边形的边数是.11.(2018四川成都)如图,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:分别以点A和C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;作直线MN交CD于点E.若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为.12.(2018兰州)如图,M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点,满足AM=BN,连接AC交BN于点E,连接DE交AM于点F,连接CF,若正方形的边长为6,则线段CF的最小值是.13.(2018襄阳)如图,将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠,点A的对应点为点P,连接AP交BC于点E.若BE=,则AP的长为.三、解答题14.(2018济宁)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,连接DF,过点E作EHDF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.(1)猜想DG与CF的数量关系,并证明你的结论;(2)过点H作MNCD,分别交AD,BC于点M,N.若正方形ABCD的边长为10,点P是MN上一点,求PDC周长的最小值.15.(2018北京)如图,在四边形ABCD中,ABDC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分BAD,过点C作CEAB交AB的延长线于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AB=,BD=2,求OE的长.16.(2018北京)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EHDE交DG的延长线于点H,连接BH.(1)求证:GF=GC;(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.第20讲矩形、菱形、正方形A组基础题组一、选择题1.D当BE平分ABC时,四边形DBFE是菱形.理由:DEBC,DEB=EBC,EBC=EBD,EBD=DEB,BD=DE.DEBC,EFAB,四边形DBFE是平行四边形,BD=DE,四边形DBFE是菱形.其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形,故选D.2.C如图,延长GH交AD于点P,四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形,ADC=ADG=CGF=90,AD=BC=2,GF=CE=1,ADGF,GFH=PAH,又H是AF的中点,AH=FH,在APH和FGH中,APHFGH(ASA),AP=GF=1,PH=GH=PG,PD=AD-AP=1,CG=2,CD=1,DG=1,则GH=PG=.故选C.3.B如图,连接BE.四边形ABCD是矩形,AB=CD=2,BC=AD=3,D=90,E是边CD的中点,DE=1.在RtADE中,AE=,SABE=S矩形ABCD=3=AEBF,BF=.4.D连接AC,BD.当E,F,G,H是各边中点时,由三角形中位线定理可得EFAC且EF=AC,GHAC且GH=AC,EFGH且EF=GH,四边形EFGH为平行四边形.当AC=BD时,EF=AC,EH=BD,EF=EH,平行四边形EFGH为菱形,选项A正确;当ACBD时,EFAC,EHBD,EFEH,平行四边形EFGH为矩形,选项B正确;当E,F,G,H不是各边中点时,若=,则GHAC,EFAC,GHEF.=,EF=GH,四边形EFGH为平行四边形,选项C正确;当E,F,G,H不是各边中点,且=时,四边形EFGH为平行四边形,若=,BD=2AC,则=,=,即=,=,即EF=EH,四边形EFGH为菱形,选项D错误.故选D.5.B连接EF,AE与BF交于点O.四边形ABCD是平行四边形,AB=AF,四边形ABEF是菱形,AEBF,OB=BF=4,OA=AE.AB=5,在RtAOB中,AO=3,AE=2AO=6.故选B.6.CBPC是等边三角形,BP=PC=BC,PBC=PCB=BPC=60.在正方形ABCD中,AB=BC=CD,A=ABC=BCD=90,ABE=DCF=30,BE=2AE,故正确;PC=CD,PCD=30,PDC=75,FDP=15.DBA=45,PBD=15,FDP=PBD,DFP=BPC=60,DFPBPH,故正确;FDP=PBD=15,ADB=45,PDB=30,而DFP=60,PFDPDB,PFD与PDB不会相似,故错误;PDH=PCD=30,DPH=DPC,DPHCPD,=,DP2=PHPC,故正确.故选C.二、填空题7.答案24解析E,F,G,H分别是矩形ABCD各边的中点,AB=6,BC=8,AH=DH=BF=CF=4,AE=BE=DG=CG=3.在AEH与DGH中,AEHDGH(SAS).同理可得AEHDGHCGFBEF,S四边形EFGH=S矩形ABCD-4SAEH=68-434=48-24=24.故答案为24.8.答案解析四边形ABCD是正方形,BAD=D=90,AB=AD.又AE=DF,ABEDAF,ABE=DAF.ABE+AEB=180-BAE=180-90=90,DAF+AEB=90,AGE=BGF=90.在RtBGF中,点H为BF的中点,GH=BF.在RtBFC中,BC=5,CF=CD-DF=5-2=3,根据勾股定理得BF=,GH=.9.答案解析四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,四边形ABCD是菱形,又ABAD,四边形ABCD是正方形,正确;四边形ABCD是平行四边形,AB=BD,ABBD,平行四边形ABCD不可能是正方形,错误;四边形ABCD是平行四边形,OB=OC,AC=BD,四边形ABCD是矩形,又OBOC,即对角线互相垂直,平行四边形ABCD是正方形,正确;四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,四边形ABCD是菱形,又AC=BD,四边形ABCD是矩形,平行四边形ABCD是正方形,正确;故答案为.三、解答题10.解析(1)证明:BAF+DAE=90,ADE+DAE=90,BAF=ADE,在RtDEA和RtAFB中,RtDEARtAFB,AE=BF.(2)设AE=x(x0),则BF=x,四边形ABED的面积为24,DE=AF=2,S四边形ABED=SABE+SAED=x2+2x=24,解得x1=6,x2=-8(舍),EF=AE-AF=6-2=4,在RtEFB中,BE=2,sinEBF=.11.解析(1)证明:在AEB和AEF中,AEBAEF,EAB=EAF,ADBC,EAF=AEB=EAB,BE=AB=AF.AFBE,四边形ABEF是平行四边形,AB=BE,四边形ABEF是菱形.(2)如图,连接BF,交AE于点G.菱形ABEF的周长为16,AE=4,AB=BE=EF=AF=4,AG=AE=2,BAF=2BAE,AEBF.在RtABG中,AGB=90,cosBAG=,BAG=30,BAF=2BAE=60.四边形ABCD是平行四边形,C=BAF=60.B组提升题组一、选择题1.C四边形ABCD是正方形,AD=BC,DAB=ABC=90,BP=CQ,AP=BQ,在DAP与ABQ中,DAPABQ,P=Q,Q+QAB=90,P+QAB=90,AOP=90,AQDP,故正确;DOA=AOP=90,ADO+P=ADO+DAO=90,DAO=P,DAOAPO,=,AO2=ODOP.AEAB,AEAD,ODOE,OA2OEOP,故错误;在CQF与BPE中,CQFBPE,CF=BE,DF=CE.在ADF与DCE中,ADFDCE,SADF-SDOF=SDCE-SDOF,即SAOD=S四边形OECF,故正确;BP=1,AB=3,AP=4.EBPDAP,=,BE=,QE=.QOEPAD,=,QO=,OE=.AQ=5,AO=AQ-QO=5-QO=,tanOAE=,故正确,故选C.2.D在正方形ABCD中,连接CE、PC.点A与点C关于直线BD对称,AP=CP,AP+EP的最小值为EC.E,F分别为AD,BC的中点,DE=BF=AD.AB=CD,ABF=ADC=90,ABFCDE.AF=CE.故选D.二、填空题3.答案45解析四边形ABCD是正方形,AB=AD,BAD=90.ADE是等边三角形,AD=AE,DAE=AED=60.BAE=BAD+DAE=90+60=150,AB=AE,AEB=ABE=(180-BAE)2=15,BED=AED-AEB=60-15=45.4.答案解析延长GE交AB于点O,作PHOE于点H.则PHAB.P是AE的中点,PH是AOE的中位线,PH=OA=(3-1)=1.在RtAOE中,OAE=45,AOE是等腰直角三角形,即OA=OE=2,同理PHE中,HE=PH=1.HG=HE+EG=1+1=2.在RtPHG中,PG=.二、解答题5.证明(1)四边形ABCD和四边形BPEF是正方形,AB=BC,BP=BF,AP=CF,在APE和CFE中,APECFE,EA=EC.(2)ACE是直角三角形,理由如下:如题图2,P为AB的中点,PA=PB,PB=PE,PA=PE,PAE=45,又BAC=45,CAE=90,即ACE是直角三角形.(3)设CE交AB于点G,EP平分AEC,EPAG,AP=PG=a-b,BG=a-(2a-2b)=2b-a,PECF,=,即=,解得a=b,ab=1.作GHAC于点H,CAB=45,HG=AG=(2b-2b)=(2-)b,又BG=2b-a=(2-)b,GH=GB,又GHAC,GBBC,HCG=BCG,PECF,PEG=BCG,AEC=ACB=45.6.解析(1)依据1:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例).依据2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”).点A在线段GF的垂直平分线上.(2)证明:过点G作GHBC于点H.四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,CBE=ABC=GHC=90.1+2=90.四边形CEFG为正方形,CG=CE,GCE=90.1+3=90,2=3.GHCCBE.HC=BE.四边形ABCD是矩形,AD=BC.AD=2AB,BE=AB,BC=2BE=2HC,HC=BH.GH垂直平分BC.点G在BC的垂直平分线上.(3)点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上).证法一:过点F作FMBC于点M,过点E作ENFM于点N.BMN=ENM=ENF=90.四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,CBE=ABC=90.四边形BENM为矩形.BM=EN,BEN=90.1+2=90.四边形CEFG为正方形,EF=EC,CEF=90.2+3=90.1=3.CBE=ENF=90,ENFEBC.NE=BE.BM=BE.四边形ABCD是矩形,AD=BC.AD=2AB,AB=BE,BC=2BM.BM=MC.FM垂直平分BC,点F在BC边的垂直平分线上.证法二:过F作FNBE交BE的延长线于点N,连接FB,FC.四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,CBE=ABC=N=90.1+3=90.四边形CEFG为正方形,EC=EF,CEF=90.1+2=90,2=3.ENFCBE.NF=BE,NE=BC.四边形ABCD是矩形,AD=BC.AD=2AB,BE=AB,设BE=a,则BC=EN=2a,NF=a.BF=a,CE=a,CF=CE=a.BF=CF.点F在BC边的垂直平分线上.与四边形有关的证明与计算培优训练一、选择题1.BABC=60,BAC=80,ACB=40,又四边形ABCD是平行四边形,且E为DC的中点,ADBCOE,1=ACB=40,故答案为B.2.DABF是由ADE旋转得到的,SABF=SADE,S正方形ABCD=S四边形AECF=25,AD=5.DE=2,且ADE为直角三角形.AE=,故选D.3.DAC=4 cm,ADC的周长为13 cm,AD+DC=13-4=9(cm).又四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,AD=BC,平行四边形的周长为2(AB+BC)=18 cm.故选D.4.A四边形ABCD为菱形,BD与AC互相垂直且平分,且AB=BC=CD=AD.AC=10,BD=24,AO=5,BO=12,AB=13.菱形ABCD的周长为134=52,故选A.5.B四边形ABCD是正方形,直线AC是正方形ABCD的对称轴,EGAB,EIAD,FHAB,FJAD,垂足分别为G,I,H,J,由对称性可知:四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等,S阴=S正方形ABCD=,故选B.6.B连接AC、BD.AC交FG于L.四边形ABCD是菱形,ACBD,DH=HA,DG=GC,GHAC,且GH=AC,同理可得EFAC,且EF=AC,GHEF,四边形EFGH是平行四边形,同理可证GFBDEH,OLF=AOB=90,ACGH,HGL=OLF=90,四边形EFGH是矩形.故选B.7.C四边形ABCD是正方形,边长为2,AB=BC=CD=AD=2,DAB=ABC=90.E为AB的中点,F为BC的中点,AE=BF=1,AEDBFA(SAS),AF=BAF=ADE,BAF+FAD=90,ADE+FAD=90,AMD=90=ABF,AMDFBA,=,=,AM=.ADBC,ANDFNB,=,=,AN=,MN=AN-AM=-=,故选C.二、填空题8.答案2解析在矩形ABCD中,设AB=CD=2x,则AE=BE=CG=DG=x,AD2=BC2=AC2-CD2=6-4x2,AGGF,AGD+CGF=90,又AGD+DAG=90,CGF=DAG,ADGGCF,=,即DGGC=ADCF,DG=GC=x,CF=AD,x2=AD2=(6-4x2),解得x1=1,x2=-1(舍去),则AB=2x=2.9.答案解析延长DM交CB的延长线于H,四边形ABCD为菱形,AB=AD=BC=2,ADBC,ADM=H,又M是AB的中点,AM=BM=1,在ADM和BHM中,ADMBHM(AAS),DM=HM,AD=BH=2,EMDM,EH=ED.设BE=x,EH=ED=2+x,AEBC,AEB=EAD=90,AE2=AB2-BE2=ED2-AD2,即22-x2=(2+x)2-22,化简得x2+2x-2=0,解得x=-1或x=-1-(舍去).在RtABE中,cos B=.10.答案8解析多边形每一个内角都是135,每一个外角的度数是180-135=45,多边形的外角和为360,36045=8,即这个多边形是八边形.11.答案解析如图,连接AE,由作图方法得MN垂直平分AC,EA=EC=3.在RtADE中,AD=.在RtADC中,AC=.12.答案3-3解析在正方形ABCD中,AD=BC=CD,ADC=BCD,DCE=BCE,在RtADM和RtBCN中,RtADMRtBCN(HL),1=2,在DCE和BCE中,DCEBCE(SAS),2=3,1=3,ADF+3=ADC=90,1+ADF=90,AFD=180-90