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自动控制理论_第三章,第三章 自动控制系统的时域分析 第一节 系统时间响应的性能指标 第二节 一阶系统的时域分析 第三节 二阶系统的时域分析 第四节 高阶系统的时域分析 第五节 线性系统的稳定性分析 第六节 线性系统的稳态误差计算 本章 小节、重点和练习题,下一张,最后一张,结束授课,返回首页,参考教材 绪论 主要参考资料 第一章 自动控制系统绪论 第二章 自动控制系统的数学模型 第三章 自动控制系统的时域分析 第四章 根轨迹法 第五章 频率法分析 第六章 控制系统的综合校正 第七章 非线性控制系统分析 第八章 线性离散控制系统合 第九章 线性系统状态空间分析与综合,第三章 控制系统的时域性能分析,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,一旦建立起系统的数学模型，就可以采用各种方法对系统进行分析，以确定其性能是否满足预先的设计要求。 在经典控制理论中，常用时域分析法、根轨迹法和频率法来分析系统的性能。时域分析法就是根据控制系统的时间响应来分析系统的暂态性能、稳定性和稳态性能。它是一种直接分析方法，具有直观和准确的优点，尤其适用于低阶系统。 对控制系统的定性要求是稳定、快速、准确。本章从系统的暂态响应、稳定性、稳态误差方面进行定量分析。,第一节 系统时间响应的性能指标,通常，给控制系统施加一定的输入信号，通过考察系统的输出响应来分析系统性能。,系统数学模型由系统本身的结构和参数决定，输出响应除与数学模型有关外，还与系统的初始状态和输入信号的形式有关。可将输入信号规定为统一的典型形式。常用的典型输入信号有阶跃函数、斜坡函数、抛物线函数、脉冲函数和正弦函数。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,1、阶跃函数 定义：,式中A 为常量。A=1的阶跃函数称为单位阶跃函数，记为1（t），如下图所示。,单位阶跃函数的拉氏变换为,一、典型输入函数,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,2、斜坡函数,式中A为常量。当A=1时,称为单位斜坡函数,记为t1（t），如图所示。,它等于对单位阶跃函数对时间的积分。单位斜坡函数的拉氏变换为,R（S）=Lr(t)=1/s2,3、抛物线函数,定义：,定义：,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,式中A为常量, 当A=1时,称为单位抛物线函数,记为t2/21(t)如下图所示。,等于单位斜坡函数对时间的积分。,其拉氏变换为：,4、脉冲函数,定义为 ：,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,脉冲函数如下图(a)所示,令0,则称为理想单位脉冲函数,记为（t）,见下图（b）,有,单位脉冲函数的拉氏变换为：,单位脉冲函数是单位阶跃函数对时间的导数,5、正弦函数 定义为： r（t） A Sint,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,式中,A为振幅；为角频率。,用频率不同的正弦函数作为输入信号，可求得系统此时的稳态响应，在频率法中广泛使用。,正弦信号的拉氏变换为：,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,二 控制系统的时域性能指标,1、线性定常系统的时域响应 如系统的输入为r(t),输出为c(t),则用以下常微分方程描述其响应过程:,由,可得,式中 SiG(s)的极点； SkR(s)的极点。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,如果Si和Sk都是互异极点，则系统的零状态响应为,式中Ak，Bk常数。 由于 si只是 G（s）的极点，所以上式等号右侧第一项与输入无关，即为系统零状态响应中的暂态响应分量。 sk只与外部输入r（t）有关，所以上式等号右侧第二项即为系统零状态响应中的稳态响应分量。,因此可从暂态响应分量和稳态响应分量中 求取系统的性能指标。,可见在系统响应零状态响应由稳态响应和暂态响应两部分组成。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,稳态响应分量指系统在典型输入信号作用下,当时间t趋于无穷大时的系统输出量,表征系统输出量最终复现输入量的程度，可用于描述系统的稳态性能。,暂态响应分量随时间的变化过程也称为过渡过程,动态过程或瞬态过程。,2、控制系统的时域性能指标,指系统在典型输入信号作用下,系统输出量从初始状态变化到最终状态的过程, 表征系统输出量在各个瞬时偏离输入量的程度以及有关时间间隔的信息，用于描述系统的暂态性能。,一个实际运行的系统暂态响应有何特点?,动态过程是衰减的!,控制系统在典型输入信号作用下的响应性能指标，通常由暂(动)态性能指标和稳态性能指标两部分组成。,或者说动态过程是收敛的,或者说系统是稳定的!,稳定是首要条件,此时研究其暂态性能和稳态性能才有意义!,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,(1)暂(动)态性能指标 一般地说，阶跃输入对系统来说是常见的也是最严峻的输入信号，如系统在阶跃信号输入下的暂态性能满足了设计要求，则在其他信号输入作用下的暂态性能也是满意的。 系统在单位阶跃函数(或信号)作用下的输出响应，称为系统的单位阶跃响应,记为h(t)。,描述稳定系统单位阶跃响应过程随时间t变化情况的指标,称为该系统的动态性能指标。,假定单位阶跃信号作用前系统处于某个平衡状态,即输出量及其各阶导数为零!,常见指标有:,延迟时间td,上升时间tr,峰值时间tp,调节时间ts,超调量%,振荡次数N,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,1）td：输出响应第一次达到稳态值50的时间。 2）tr：输出响应第一次达到稳态值h()的时间。无超调时指响应从稳态值的10到90所经历的时间。 3）tp：输出响应超过稳态值h()达到第一个峰值的时间。 4）ts：输出响应与稳态值间的偏差达到允许范围并维持在此范围内所需的时间。,通常该偏差范围叫作允许误差带，一般取稳态值c（）的2或 5，用符号表示为： =2或=5,A: 下图是一个具有衰减振荡特征的系统单位阶跃响应曲线,各暂态性能指标定义如下：,注意:以上四个指标的量纲为时间!,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,5）最大超调量（简称超调量）：输出响应的最大值h(tp)超过稳态值,6）振荡次数N：在调节时间内，h(t)偏离h()的次数。,B: 具有单调变化(非振荡响应过程)的单位阶跃响应曲线示于右图,h()的部分与稳态值h()的百分比， 即,对于这样的动态响应过程,一般只需 用ts即可描述系统的暂态性能,常用tr或tp评价系统的快速性(响应速度),常用评价系统的阻尼程度(平稳度),常用ts综合反映快速性与平稳性,也作为整个动态过程快慢的指标.,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,C: 具有一次振荡变化的单位阶跃响应曲线示于下图,此时用tp,%和ts即可表示系统暂态性能指标,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,(2)稳态性能指标,稳态误差ess：对于单位反馈系统，当t时，系统响应的实际值h()与期望值（即输入量）之差，定义为稳态误差。 它反映系统复现输入信号的（稳态）精度,能够度量系统控制精度或抗干扰能力,系统稳态性能常用系统在典型输入信号作用下的稳态误差来表示,当t趋于无穷大时,系统输出量不等于参考输入或参考输入的确定函数,则存在稳态误差,一般以超调量、调节时间ts和稳态误差ess作为评价系统响应的主要性能指标!,性能指标的动态显示:PLAY,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,第二节 一阶系统的时域分析,可用一阶微分方程描述其动态过程的系统称为一阶系统,式中，T为一阶系统时间常数,一阶系统典型结构如下图所示,RC电路如下图所示,可根据其微分方程绘制其方框图,系统的闭环传递函数为：,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,一、一阶系统的单位阶跃响应,对单位阶跃输入，r(t)=1(t)，R(s)= 1/s,则,因此,单位阶跃响应为:,从曲线中可见，一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条初始值为零、以指数规律上升到稳态值1的曲线,以t为自变量,绘制单位阶跃响应h(t)的曲线,称为系统单位阶跃响应曲线,如右下图所示,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,特点：在t=0处曲线的斜率为最大，其值为1/T。即:如系统保持初始响应的变化率不变，则当t=T时输出就能达到稳态值，而实际上只上升到稳态值的 63.2，经过3T或4T时间，响应分别达到稳态值的95和98。,可以验算,一阶系统性能指标为: ts=3T（=5）或ts=4T （=2） td=0.69T tr=2.2T ess=0,显然,时间常数T的大小反映了一阶系统的响应速度。即 时间常数越小,系统惯性越小,响应越快!,反之则惯性越大,响应越慢!,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,二、一阶系统的单位脉冲响应 单位脉冲输入：r(t)=(t),R(s)=1,绘制系统单位响应曲线如右图所示。,特点：t=0时g(t)的变化率为(-1/T2),且 g(0) =1/T; 曲线均在时间轴上方; 按指数规律下降至零。,单位脉冲响应的拉氏变换:,单位脉冲响应函数:,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,三、一阶系统的单位斜坡响应,单位斜坡输入：,从 c(t)的表达式中可见，一阶系统单位斜坡响应的稳态分量，是与输入斜坡函数斜率相同但在时间上延迟时间常数T的斜坡函数。,时域响应：,系统响应的拉氏变换：,该曲线的特点： 在t=0处曲线的斜率等于零； 稳态输出与单位斜坡输入之间在位置上存在偏差T。,响应曲线如右图所示。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,请总结一下该表格有何规律?,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,四 、一阶系统的单位抛物线响应(单位加速度响应),如系统输入信号为单位抛物线函数,则可求解出其输出响应为:,此时系统给定信号r(t)(期望值 参考输入)与实际输出c(t)之间的偏差为:,e(t)随时间的变化规律:t,e(t) ,输出不能跟踪输入信号的变化,五、线性定常系统的基本特性,例如，有：,则有：,研究线性定常系统的时域响应时，不必对每一种典型输入信号的相应都进行分析，只需取其中一种典型信号进行研究即可。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,2、齐次性 如果某线性系统在输入信号r(t)作用下的响应为c(t), 对输入信号r(t)进行有限次的积分或微分运算(及放大与缩小常数A倍)后，作为同一系统的输入信号，则相应的输出信号即为c(t)的有限次积分或微分运算(及放大与缩小常数A倍)的结果。,1、叠加性,线性系统在输入信号r1(t)和r2(t)单独作用下的响应分别为c1(t)和c2(t) 如果输入信号变为r(t)= r1(t)+r2(t)时，输出信号必然为： c (t) =c1(t)+c2(t),该特性称为线性系统的叠加性,第三节 二阶系统的时域分析,典型二阶系统的特征方程为：,二阶系统不仅在工程实践中比较常见，而且许多高阶系统在一定条件下可近似为二阶系统。因此，二阶系统的研究具有非常重要的意义。 标准形式的二阶系统的方框图如下图 所示，,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,其闭环传递函数为：,n为无阻尼自然振荡频率； 为阻尼比； 两者称为二阶系统的特征参数，它们确定了系统的所有特征！,则特征方程的根，即闭环系统的极点为：,式中：,当为正常数时，闭环极点的位置将随取值范围不同而不同，系统性能也有明显的差异。 的变化范围 (1) 1 下图为二阶系统闭环极点的分布图,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,一、二阶系统的单位阶跃响应,单位阶跃输入信号：,单位阶跃响应的拉氏变换式为：,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,考察n不变时(n 0)， 取不同值时的各种情况。,1、 -1时，闭环系统存在两个不等的正实数极点：,对C(s)的表达式进行拉氏反变换，得到系统的单位阶跃响应：,绘制h(t)曲线或从公式中可知其特点： 当t,h(t)，曲线是单调发散的，输出h(t)不能跟踪输入r(t)=1(t),（一）负阻尼情况,2、 =-1，闭环系统存在两个相等的正实数极点：,对C(s)的表达式进行拉氏反变换，得到系统的单位阶跃响应：,绘制h(t)曲线或从公式中可知其特点： 当t时,h(t)，曲线也是单调发散的，h(t)不能跟踪r(t)=1(t),3、 -1 0，闭环系统存在两个具有正实部的共轭复数极点：,对C(s)的表达式进行拉氏反变换，得到系统的单位阶跃响应：,绘制h(t)曲线或从公式中可知其特点： 当t时,h(t)，曲线是正弦振荡发散的，h(t)不能跟踪r(t)=1(t),第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,负阻尼时的单位阶跃响应曲线：,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,二、非负阻尼情况,1=0（零阻尼、无阻尼），具有一对共轭虚数极点：,单位阶跃响应的拉氏变换式：,对C(s)的表达式进行拉氏反变换，得到系统的单位阶跃响应：,可见，系统单位阶跃响应为等幅振荡，频率为n(也称为无阻尼自然振荡角频率),响应曲线如右图：,称为无阻尼振荡状态，临界稳定状态等。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,2 0 1（欠阻尼）,系统的闭环极点为（实部为负的共轭复数） ：,d 称为阻尼振荡频率：,式中：称为衰减系数；,单位阶跃响应的拉氏变换式：,对C(s)的表达式进行拉氏反变换，得到系统的单位阶跃响应：,从公式中可见，欠阻尼系统单位阶跃响应的特点： 系统响应的暂态分量为振幅随时间按指数函数规律衰减的周期函数，其振荡频率为 d； 稳态响应值为1，能够无误差跟踪输入。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,式中称为阻尼角,系统响应曲线如右图：,响应曲线位于两条指数函数曲线之间：,上述曲线也称为该二阶欠阻尼系统的包络线,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,系统单位阶跃响应曲线的形状随在0与1之间变化而变化,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,3=1（临界阻尼）,单位阶跃响应的拉氏变换式：,对C(s)求拉氏反变换，得时域响应式：,响应曲线如右图 ：,特点： 暂态响应过程单调上升，无超调； 是单调上升型曲线中响应最快的; 稳态响应值为1，h(t)能无差跟踪r(t);,此时存在一对相等的负实数极点：,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,41（过阻尼）,系统闭环极点为：,单位阶跃响应拉氏变换式：,用留数法等求取c(s)的拉氏变换，得时域响应式：,如令：,则：,求c(s)的拉氏反变换得：,相当于两个惯性环节串接,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,绘制h(t)曲线如右图：, 1时的近似处理,可近似地等效为具有时间常数为T1的一阶系统。极点为：,调节时间为：,特点： 暂态响应部分单调上升； 形状呈“S”型； 稳态响应值为1，能无差跟踪1(t)。,即T1T2,单位阶跃响应近似为：,此时，,对比01. =1和 1的h(t)曲线可知 ， =1时二阶系统单位阶跃响应曲线处于衰减振荡与单调上升之间的临界,因此将=1时二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应,临界阻尼响应:,取不同值（ 非负）时二阶系统的位阶跃响应的曲线,图中的几个特征： (1)、 =0时,等幅振荡； (2)、01时, 越大,曲线单调上升过程越缓慢；,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,一般控制系统的阻尼比取为0.4-0.8,此时超调量适度，调节时间较短。,若两个二阶系统具有相同的和不同的n,则振荡特性相同（仅与有关）,但响应速度不同, n越大,响应速度越快。,不同、系统特征根、特征根在S平面上的位置 以及单位阶跃响应曲线如下图所示（1）,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,不同、系统特征根、特征根在S平面上的位置 以及单位阶跃响应曲线如下图所示（2）,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,（三）欠阻尼二阶系统的动态过程分析,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,欠阻尼二阶系统的闭环极点如右图所示,图中: n ; ; d; 的含义,1、延迟时间 td的计算,利用延迟时间 td的定义和单位阶跃响应式：,令h(td)=0.5，可得,利用上述关系式可绘制得到n td与的关系曲线如下图所示：,为非线性曲线,用曲线拟和方法可近似为直线,则有td近似计算式:,特别地,当01 时,有:,上式表明,增大n和减小,可减小td,特点: 当不变时,闭环极点离坐标原点越远(n越大),则td越小 当n不变时,闭环极点离虚轴越近(越小),则td越小,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,3、峰值时间tp的计算,2、上升时间tr的计算,利用上升时间tr的定义和单位阶跃响应式:,另h(tr)=1,可求得,为阻尼系数,可见一定时, tr的长短与d成反比,而当d一定时, 越小, tr越短,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,利用高等数学中函数求极值的方法，即对下式求导：,并令导数等于零,求得：,4、超调量 % 将tp表达式带入欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应表达式h(tp),可得:,注意到:,上述三角方程的解为dtp=0,2,3,整理得:,并利用tp 的定义(第一个峰值对应的时间),得:,特点: 峰值时间 tp阻尼振荡频率d成反比; 当一定时,闭环极点离实轴越远,峰值时间越短,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,注意到：,上式变为,按照超调量的定义式:,注意到:h()=1,可得,从公式中可见,超调量仅与阻尼比有关,而与n无关,绘制该曲线如下图所示,特点: 由图中可知,阻尼比 越大(在0到1之间),则超调量越小; =0时,%=100%(等幅振荡); =1时,%=0%(临界阻尼); 大致呈反比例关系,一般系统,选取=0.40.8之间,此时%介于25.4% 1.5%之间,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,5、调节时间ts的计算,当0 0.8时，通常使用以下近似式：,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,根据ts的定义，并借助右图衰减正弦包络线进行近似计算，可得：,前已述及,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线位于两条按照指数规律变化的包络线之间.,和,可见,调节时间ts 与闭环极点的实部成反比,（四）单位斜坡输入时二阶欠阻尼系统的稳态误差,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,根据线性系统的齐次性,二阶欠阻尼系统在单位斜坡输入下的输出响应是其单位阶跃响应的积分,即:,为较全面分析欠阻尼系统的性能指标,在此先给出单位斜坡输入时的稳态误差计算式,对下图所示系统,当r(t)=t1(t)时,利用拉氏变换终值定理,得,即误差与开环放大系数K成反比,有误差传递函数:,【例3-1】设控制系统的方框图如下图所示,当有单位阶跃信号作用于系统时,试求系统的暂态性能指标tr、tp、ts和 %。,解 求出系统的闭环传递函数为：,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,因此有：,上升时间：,峰值时间：,超调量：,调节时间：,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,【 例3-2 】 如下图所示的单位反馈随动系统，K=16s-1,T=0.25s,试求：,解 （1）求出系统闭环传递函数为：,因此有：,（1）特征参数和n；（2）计算 %和ts;（3）若要求 %=16%，当T不变时K应当取何值？,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,（2）由公式 得：,（3）为使 %=16%，由式,计算或查右图，得：,当T不变时，有,=0.5,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,（五）二阶系统性能的改善,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,1.比例-微分控制,等效系统的闭环传递函数为 ：,令z=1/Td ,则有,改善二阶系统性能的方法常见的有两种：比例-微分控制和测速反馈控制,结构图如下图所示,式中:,特点是在原系统闭环内增加（1+Tds)环节，将明显改善原系统的性能,定性分析的结论：可引起阻尼比增大,使超调量 %下降; 调节时间缩短; 不影响稳态误差（开环增益不变)和自然振荡频率n 。,考查该系统的单位阶跃响应：,从方框图中可知，这种方法在原系统内环中增加了一个一阶微分环节， 相当于增加了一个开环极点。也称为有零点的二阶系统。,由两项组成: （1）以nd为特征参数的二阶欠阻尼系统单位响应h(t)；,（2）以nd为特征参数的二阶欠阻尼系统的单位脉冲响应g(t)的1/z 。,定量分析见教材P9798,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,开环增益为：,等效闭环传递函数为：,增加测速反馈控制前后系统框图如下,2.测速反馈控制,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,开环传递函数为:,开环增益为:,式中,原为：,原为：,结论：加入测速反馈后会减小系统开环增益（增加稳态误差）； 使增大，因而可降低超调量%； 不改变n。,【例3-3】控制系统框图如下图所示，试确定时阻尼比为0.5的kt值，并,分别计算两个系统的性能指标。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,解 系统(a)的传递函数为：,特征参数为:,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,利用各性能指标计算公式可得：,(误差带取为=5%),系统（b）的传递函数为：,由公式：,得,可由,计算得到系统开环增益为K=3.16(加入反馈前为10),利用各性能指标计算公式可得：,(误差带取为=5%),单位斜坡信号作用下的稳态误差：,单位斜坡信号作用下的稳态误差：,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,比例-微分控制与测速反馈控制的对比：,(1)附加阻尼的来源不同;,(2)使用环境的不同;,(3)对开环增益和无阻尼自然振荡频率的影响;,(4)对动态性能影响的不同。,比例-微分：,来源于误差的变化速度,测速反馈：,来源于系统输出信号的变化速度,比例-微分：,对噪声信号有明显放大作用,不适合输入端噪声严重的场合,测速反馈：,无明显限制,比 例-微分：,测速反馈：,无影响,降低开环增益(使稳态误差加大);不影响n,在相同阻尼比要求时,比例-微分控制的超调量比较大,二、二阶系统的单位脉冲响应,利用线性定常系统的齐次性，将二阶系统单位阶跃响应对时间求导数，即可得到二阶系统的单位脉冲响应。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,零阻尼,欠阻尼,临界阻尼,过阻尼,或对系统闭环传递函数直接进行拉氏反变换，得不同值时二阶系统的单位脉冲响应 ：,特点： （1）零阻尼时为等幅正弦振荡； （2）欠阻尼系统单位脉冲响应曲线具有衰减振荡特征； （3）单位脉冲响应曲线第一次与时间轴交点的时间为峰值时间tp ； （4）如果脉冲响应g(t)不改变符号，则系统的=1，即为临界阻尼或过阻尼； （5）单位脉冲响应曲线与时间轴包围的面积为1。,不同值时二阶系统的单位 脉冲响应曲线如右图所示,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,三、具有零点的二阶系统分析,写成零、极点形式时：,设典型二阶系统的单位阶跃响应为c1(t)，c2(t)为增加零点引起的响应分量,则上述具有零点的二阶系统单位阶跃响应c(t)与c1 (t)、 c2(t)具有以下关系：,在典型二阶系统的闭环传递函数中增加一个闭环零点，构成一类具有零点的二阶系统。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,其阶跃响应与典型二阶系统明显不同。此时系统的闭环传递函数为：,c(t)=c1 (t) + c2(t),求其拉氏反变换，得：,单位阶跃响应的拉氏变换为:,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,单位阶跃响应曲线如右图所示,为定量说明引入的零点对典型二阶系统性能的影响，引入,不同a时的单位阶跃响应曲线, %与a的关系,几点结论： 当其它条件不变时，附加一个零点，将使 %增大，tr和tp减小; a减小时，明显加大上述影响；a加大时，对系统的影响变小，增大到一定程度时，可以忽略该零点的影响； 采用在系统闭环外增加一阶微分环节的方法实现附加零点，不改变原系统的闭环极点。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,第四节 高阶系统的时域分析,一、三阶系统的单位阶跃响应 典型三阶系统是最简单的高阶系统，是在典型二阶系统基础上增加一个惯性环节构成，其传递函数为：,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,在控制工程中,几乎所有系统都是高阶系统,其动态一般比较复杂。 但满足一定条件时,可用一阶或二阶系统近似分析,此时采用了高阶系统闭环主导极点的概念,可改写为：,设 0 1,引入：,单位阶跃响应为：,当,n不变时，绘出取不同值时的c(t)曲线如下图所示。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,特点: 增加极点将使超调量减小，调节时间增加。当增加的极点远离虚轴（ 1）时，其影响逐渐减小。 如果增加的极点位于共轭复数极点的右侧（即1），则系统响应趋于平缓，响应特性类似于过阻尼情况的二阶系统。,二、高阶系统的单位阶跃响应 1高阶系统的单位阶跃响应 一般高阶系统的方框图如右图所示,零、极点形式为：,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,传递函数为：,有理分式表示为:,K*=b0/a0为闭环传递函数写为闭环零、极点时的系数,当输入单位阶跃信号时，其系统阶跃响应的拉氏变换式为:,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,设 0 k 1,且初始条件为零,将C(s)展开为部分分式,式 中,Bk,CK为闭环共轭复数极点留数相关的常系数,A0,Aj(j=1,2,q),Bk,Ck除与闭环极点有关外,还与闭环零点有关,特点： 高阶系统的单位阶跃响应是由n+1项（每一项称为高阶系统单位阶跃响应的一个分量或模态）组成，每个分量对应于C(s)的一个极点； 每个实数极点对应一阶系统响应分量(模态)，一对共轭复数极点对应一个二阶振荡系统的响应分量(模态)； 如果系统所有的闭环极点都具有负的实部,即所有闭环极点都在S平面的左半部,那么随着时间的增长,c(t)中除第一项外的项都趋于零,且闭环极点距虚轴越远（实部的绝对值越大）,对应的响应分量衰减得越快。稳态响应为Ao1(t); 系统时间响应的类型取决于系统闭环极点的性质和大小，但时间响应的形状与闭环零点有关。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,对C(s)进行拉氏反变换,得,2.高阶系统的闭环主导极点,在工程实践中，通常利用主导极点的概念，对高阶系统进行近似处理，简化为一阶系统或二阶振荡系统，再进行性能指标的计算和分析。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,对于稳定的高阶系统,闭环极点和闭环零点在S左半平面分布不同,但与虚轴的距离有远近之分。注意到距离虚轴最近的极点,如果其附近没有闭环零点,其他极点又远离虚轴,则系统的单位阶跃响应的各个分量(模态)中,距离虚轴最近的分量随时间衰减最慢且该项的系数最大,因而在时间响应中起主导作用。这样的闭环极点称为主导极点。,教材P106P109介绍了高阶系统动态性能的估算办法,可在将来的工程实践中参考使用,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,常见高阶系统的单位阶跃响应如由图所示,高阶系统的主导极点应满足以下条件： （1）离虚轴最近，小于其它极点到虚轴距离的1/4。该极点对应的响应分量衰减最慢；,（2）附近无闭环零点，相应的响应分量系数Ai最大。,主导极点可以是一个单实数极点，也可以是一对共轭复数极点。前者可用一阶系统近似代替，后者则可用二阶欠阻尼系统近似代替。,曲线(a),(b)及(d)可用二阶欠阻尼系统近似分析其性能指标;,曲线 (c) 可近似用一阶系统近似分析其性能指标。,例3-5 设三阶系统的闭环传递函数为,试求系统的单位阶跃响应。,解:将闭环传递函数进行因式分解,得,由于R(s)=1/s,则输出信号的拉氏变换为:,根据留数计算公式,可得,对C(s)进行拉氏反变换,得:,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,第五节 线性系统的稳定性分析,一、稳定性的基本概念 系统稳定性： 如系统处于初始平衡状态，在受到外界扰动作用后，将会偏离该平衡状态。如果该扰动作用消失后，若系统在有限时间内能恢复到原平衡状态，则系统稳定； 否则，系统不稳定。 系统不稳定情况：离初始状态越来越远；达到另一个平衡状态。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,稳定是一个控制系统能否在实际中正常运行的首要条件。,为阐述简单起见，设上述特征方程不存在重极点（对有重极点的,情况，以下结论也成立），则在扰动作用下系统响应的暂态分量为：,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,特征方程为：,二、线性定常系统稳定的充要条件 根据稳定性的基本概念，系统稳定性应当决定于系统响应中的暂态分量。而暂态分量与系统的参数、结构和初始条件有关，与外作用无关，因此，分析系统响应中暂态分量的运动形式，即可找出系统稳定的充分必要条件。 设线性定常系统闭环传递函数为：,从c1(t)的表达式可知，只有当特征方程的所有根（闭环极点）都具有负的实部时，随着时间的推移， c1(t)才能趋于零，即回到初始状态。 线性定常系统稳定的充分必要条件为：系统特征方程的所有根（即闭环传递函数的所有极点）均具有负的实部。（或特征方程的所有根均在S平面的左半部）。 根据充要条件，如果能将系统所有极点求出，即可立即判断稳定性。 但系统阶次较高时，所有极点不易求出。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,三、赫尔维茨（Hurwitz）判据 是由赫尔维茨1895年提出的常用代数判据。设系统特征方程为：,用特征方程的系数ai(I=0,1,2,n)构成如下赫尔维茨行列式：,赫尔维茨判据 系统稳定的充分必要条件是：在ai 0的情况下，赫尔维茨行列式的各阶主子式均大于零，否则系统不稳定。 (林纳德-奇帕特证明了如下推论：在ai 0的条件下,系统稳定的充分必要条件是：所有奇数次赫尔维茨行列式均大于零,或者是所有偶数次赫尔维茨行列式均大于零。),即对稳定的系统来说，要求,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,【例3-6】系统特征方程为 S42S38S2十4s十2=0，试判别系统是否稳定？,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,四、劳斯判据,设系统特征方程如下：,(ai0), i=0,1,2,n,解 因ai 0 ，故可使用林纳德-奇帕特证明的推论进行判断。因为,所以系统稳定。,利用特征方程的系数构成劳斯表：,表中，除第一、二行外需要按照下列规律进行计算。,劳斯判据： (ai0) 劳斯表中第一列的所有计算值均大于零，则系统稳定。反之，如果第一列中出现小于或等于零的数，系统不稳定。而且第一列各系数符号的改变次数，等于特征方程正实部根的数目。,注意：劳斯表的每一行右边要计算到出现零为止；总行数应为n+1;如果计算过程无误，最后一行应只有一个数，且等于an；可用一个正整数去乘以或除去劳斯表中的任意一行，不改变判断结果。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,【例3-7】系统特征方程为S42S33S24S5=0，试用劳斯判据判别系统是否稳定；若不稳定，确定正实部根的数目。,因第一列出现负数，所以系统不稳定。又因第一列系数符号了改变两次，故特征方程有两个正实部根。,如题意只要求判别稳定性,则计算至出现符号改变即可结束。否则应计算到n+1行。,解 根据特征方程系数计算劳斯表,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,【例3-8】某系统特征方程为S43S33S22S2=O，试用劳斯判据判断系统的稳定性。 解 根据特征方程系数计算劳斯表,因第一列出现负数，系统是不稳定的。且第一列系数符号改变两次，故特征方程有两个正实部根。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,特殊情况一： 劳斯表的某一行中，出现第一列为零，而其余各项不全为零。 这时可用一个足够小的正数 代替为零的项，然后继续计算劳斯表余下 系数,【例3-9】系统的特征方程为S42S3+s2+2s1=0,试判别系统的稳定性。 解 列如下劳斯表，并计算。因第三行符号变为负，所以系统不稳定，第一列系数改变两次符号，因此有两个正实部根。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,特殊情况二：计算劳斯表时,某一行各项全为零。 这表明特征方程具有对称于原点的根。 这时可将不为零的最后一行(即全为零行的上一行)的各项构成一个辅助多项式。用对辅助多项式各项对s求导后所得的系数代替全部为零行的各项，继续计算余下各行。,这些对称于原点的根可令辅助多项式等于零构成的辅助方程求得,【例3-10】系统特征方程为 S5S4十3s3十3s22S2=0，试判别系统的,稳定性。 解 列劳斯表,构成辅助方程： Q（s）=S43S22=0 求导后得 4S3十 6S=0，用其系数构成全为零的行，继续计算余下各行：,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,可知，系统不稳定，但第一列元素未改变符号，所以系统没有位于S右半平面的根，有位于虚轴上的根。,虚轴上根的求取 由辅助方程可得 S43s22=0 则有 （S21）（S22）=0,故S1、2=j，S3、4= j,五、稳定判据的应用 1判别系统的稳定性（前已述及，略） 2分析系统参数变化对稳定性影响,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,【例3-11】设控制系统结构图如下图 所示，试确定满足稳定要求时K1的,解 系统的闭环传递函数为,特征方称为：,为使系统稳定，必须有 （1）K10,临界值和开环放大系数的稳定临界值Kc。,即利用代数稳定判据可以确定系统中某个参数变化对系统稳定性的影响,给出使系统稳定的参数范围。,（2）a1a2-a0a30,得K16 综合考虑（1）、（2），求得使系统稳定的 K1取值范围应为：0K16 开环放大倍数的临界值：Kc=3,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,3检验稳定裕量,检验系统的稳定裕量，即检验系统的相对稳定性，采用以下方法： （1）判断原系统是否稳定。只有原系统稳定时,才有检验稳定裕度的必要。 （2）将s平面的虚轴向左移动某个数值,即令s=z-(为正实数）,代入系统特征方程,则得到关于z的特征方程。 （3）利用代数判据对新的特征方程进行稳定性判别。如新系统稳定,则说明原系统特征所有根均在新虚轴之左,原系统具有稳定裕量。否则,不具有稳定裕量,【例3-12】系统特征方程为 2S310s213s4=0 ，设=1，试检验系统的稳定裕量。 解 （1）首先判别系统是否稳定。所有系数均大于零；且D2=a1a2-a0a30,系统稳定。 （2）令s=z- =z-1,代入特征方程得：2z3+4z2-z-1=0，,（3）利用劳斯判据对新系统进行判断,第一列符号变化一次,系统不稳定。原系统达不到=1的稳定裕度。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,第六节 线性系统的稳态误差计算,系统响应由稳态响应和暂态响应两部分组成。从稳态响应可以分析系统的稳态误差，从而定量分析系统的稳态性能。 因此稳态误差分析是控制系统分析的一项基本内容，前提是系统稳定。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,控制系统的稳态误差是系统控制准确度（控制精度）的一种定量指标。,控制系统的稳态误差是不可避免的，因此设计中尽量减少稳态误差。,无差系统：阶跃函数作用下无原理性稳态误差的系统； 有差系统：阶跃函数作用下存在原理性稳态误差的系统；,本节讨论线性系统由于系统结构、系统类型和输入作用形式所产生的稳态误差，即原理性稳态误差的计算方法。,包括系统类型与稳态误差的关系,以及静态误差系数和动态误差系数。,一、误差、稳态误差和误差传递函数,稳态误差ess是在初始平衡条件下加入输入信号,经过足够长的时间,其暂态响应部分已经衰减到微不足道时,系统误差e(t)的值。因此,只有稳定的系统,讨论稳态误差才有意义。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,设控制系统结构图如下图所示,有：,E(s)=R(s)-H(s)C(s),系统在E(s)信号作用下，使输出量C(s)趋于R(s)。称E(s)为误差信号,也 称为误差或偏差，对应的时域信号记为e(t)。,稳态误差的定义式：,对于右图所示的一般系统 ，其稳态误差计算式为：,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,为求出稳态误差的计算公式,首先根据系统的误差传递函数e(s),则:E(s)= e(s)R(s),根据拉氏变换的终值定理,得稳态误差的一般计算式：,误差及稳态误差与系统的开环传递函数G(s)H(s)和输入信号R(s)有关。,当输入信号确定后，稳态误差大小取决于系统的开环传递函数。,系统开环传递函数记为：,稳态误差的一般计算式为：,表明，影响稳态误差的因素有开环增益、输入信号和开环传递函数中积分环节的数目。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,上式为误差信号e(t)在t趋于时的数值,也称为终值误差,不能反映e(t)随时间的变化规律。,按系统开环传递函数中积分环节的个数对系统进行分类,即当 =0,1,2,时，分别称相应系统为0型，I型，II型， 型系统。,系统的类型,二、给定输入信号作用下的稳态误差 1阶跃输入信号下的稳态误差与静态位置误差系数Kp,设r(t)=A.1(t)，则R(s)=A/s，则,令,定义Kp为静态位置误差系数，则有,对0型系统，有,则,为有限值。,对I型及I型以上系统，有,则ess=0,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,2. 斜坡输入信号下的稳态误差与静态速度误差系统Kv,设r(t)=At，则R(s)=A/s2，则有,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,由于0型系统无积分环节，其阶跃输入时的稳态误差为与K有关的一定值，因此常称为有差系统。 为减小稳态误差，可在稳定条件允许的前提下增大K值。 若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则应使系统的类型高于I型。,令,，定义Kv为静态速度误差系数，则有,对0型系统，有,此时，ess= ,对I型系统，有,此时，,对II型及以上系统,有,此时，ess= 0,可见,0型系统不能跟踪斜坡输入信号,随时间的推移,误差越来越大； I型系统可以跟踪斜坡输入信号。但具有与K有关的稳态误差，可用增加K的方法提高稳态精度； II型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信号，即稳态误差为零。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,3. 抛物线输入信号下的稳态误差与静态加速度误差系数Ka,设r(t)= ( A/2)t2，则R(s)=A/s3，则有,令,定义Ka为静态加速度误差系数,有,根据定义，有：,对于0型系统， =0，Ka=0,ess= ; 对于I型系统， =1，Ka=0,ess= ; 对于II型系统， =2，Ka=K,ess= A/K; 对于III型及以上系统， =3，Ka= ,ess= 0。,可见，I型及以下系统不能跟踪抛物线输入，误差越来越大； II型系统可以跟踪抛物线输入信号。但具有与K有关的稳态误差，可 用增加K的方法提高稳态精度； III型及以上系统可完全跟踪抛物线输入信号，即稳态误差为零。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,4. 有限个典型信号构成的组合信号作用下的稳态误差计算,设给定组合信号为：,显然，只有II型以上系统才能跟踪上述给定信号。 各静态误差系数的大小反映了系统限制或消除稳态误差的能力，系数值越大，则给定输入时的稳态误差越小。,各种不同输入信号作用下的稳态误差见下表,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,利用线性系统的叠加原理，可得,【例3-13】已知两控制系统如下图 所示。当给定输入为r（t）=46t3t2,解 （1）图(a)的开环传递函数为：,这是一个I型系统，K=2.5,，Kp= ,Kv=K=2.5，Ka=0,不能跟踪抛物线输入，所以ess= ,时，试分别求出两个系统的稳态误差。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,（2）图（b）系统的开环传递函数为：,这是一个II型系统，K=2.5,，Kp= ,Kv= , Ka= K=2.5, 能跟踪抛物线输入，所以,三、扰动输入引起的稳态误差,对于右图所示典型控制系统:,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,根据式,en(s)为以N(s)为输入,E(s)为输出时的传递函数,扰动输入时输入端的稳态误差为:,根据终值定理得,1阶跃扰动信号下的稳态误差,因,则有,当开环增益足够大时，则有,当G1(s)为比例环节时,当G1(s)为积分环节时,为使阶跃扰动下的稳态误差为零，则应在误差信号与扰动作用点之间至少应设置一个积分环节。实际系统所受到的干扰以阶跃信号居多,此结论很有意义 。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,2、斜坡扰动信号下的稳态误差,因,则有,为使斜坡扰动下的稳态误差为零，应在误差信号与扰动作用点之间，至少应设置两个积分环节。但积分环节的增多，会使系统的阶数升高，将会降低系统的稳定性。 实际系统一般总是同时受到给定信号和扰动作用,因此系统总的稳态误差应等于给定信号和扰动信号分别作用于系统时,其稳态误差的代数和，即,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,四、用动态误差系数法计算系统的稳态误差,利用静态误差系数求稳态误差，实际上是计算在t时系统误差的极限值。它不能反映误差随时间变化的规律。 为此,引入动态误差系数的概念 ,用于分析误差随时间变化的规律。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,由前述可知，系统在给定信号下的误差传递函数为,将e（s）在s=0的邻域内展开成泰勒级数，即,误差E(s)=e(S)R(s)也可表示为如下级数,上述无穷级数称为误差级数,它的收敛域是s=0的邻域,相当于t。所以当初始条件为零时,对上式求拉氏反变换,可得到稳态误差的时域表达式为,令,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,则稳态误差的时域表达式可以写为,其中C0，C1，C2，称为动态误差系数。C0为动态位置误差系数；C1为动态速度误差系数；C2为动态加速度误差系数 . 。,通常使用以下求动态误差系数的方法： （1）将已知开环传递函数写成分子、分母多项式的比值形式,（2）写出多项式比值形式的误差传递函数（按s的升幂排列写）,（3）使用多项式除法，得到一个S的升幂级数,（4）得到用动态误差系数表示的E(s),第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,举例说明长除法:,结果为: X(z)=,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,【例3-14】已知两系统的开环传递函数分别为,试比较两系统的静态误差系数和动态误差系数。若输入信号为,其中A0、A1、A2、A3均为正常数,试写出两个系统的稳态误差表达式。,解 由于两个系统都是I型系统，且具有相同的开环放大倍数，因此有完全相同的静态误差系数，即,对系统1有,用长除法可求得,可得动态误差系数为,对系统2有,用长除法可求得,可得动态误差系数为,可见,两系统虽有相同的静态误差系数，但动态误差系数却不相同,第一张,上一张,下一张,最后一