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经济数学授课提纲,第一学期第十七次授课 授课教师：郭正光,二、微分的几何意义,三、微分的计算,四、微分在近似计算中的应用,第五节,一、微分的概念,函数的微分,一、微分的概念,引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,的微分,定义: 若函数,在点 的增量可表示为,( A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理: 函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,定理 : 函数,证: “必要性”,已知,在点 可微 ,则,故,在点 可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,定理 : 函数,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 可导,则,说明:,时 ,所以,时,很小时, 有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,例如,又如,二、微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,自变量的微分,记作,记,三、微分计算,基本初等函数的微分公式：,函数和、差、积商的微分法则,设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),分别可微 ,的微分为,微分形式不变,复合函数的微分,则复合函数,例2 设,，求,解: 利用一阶微分形式不变性 ,有,四、微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,的近似值 .,解: 设,取,则,例5. 求,的
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