2017届人教A版椭圆考点规范练.doc

第4节椭圆【选题明细表】 知识点、方法题号椭圆的定义1,6,8,9,11椭圆的标准方程2,4,7椭圆的几何性质3,4,8,12,13直线与椭圆的位置关系5,10,14,15基础对点练(时间:30分钟)1.设P是椭圆+=1上的点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于(D)(A)4(B)5(C)8(D)10解析:由方程知a=5,根据椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a=10.故选D.2.椭圆+=1的焦距是2,则m的值是(C)(A)15(B)3或8(C)3或5(D)20解析:由2c=2得c=1,当焦点在x轴上时,a2=m,b2=4,此时有m-4=1,解得m=5.当焦点在y轴上时,a2=4,b2=m,此时有4-m=1,解得m=3.综上,m=5或3.3.椭圆+=1(ab0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为(B)(A)(B)(C)(D)-2解析:因为A,B分别为左、右顶点,F1,F2分别为左、右焦点,所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c,又由|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,得(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2.所以离心率e=.4.若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离为,则这个椭圆的方程为(C)(A)+=1(B)+=1(C)+=1或+=1(D)以上都不对解析:由题意知解得则b2=a2-c2=9,当焦点在x轴上时,椭圆方程为+=1;当焦点在y轴上时,椭圆方程为+=1.5.直线y=k(x-2)+1与椭圆+=1的位置关系是(B)(A)相离(B)相交(C)相切(D)无法判断解析:直线y=k(x-2)+1过定点P(2,1),将P(2,1)代入椭圆方程,得+5,解得a2=15.故所求椭圆的方程为+=1.答案:+=18.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为.解析:由题意可得解得故b2=a2-c2=3.所以椭圆方程为+=1.答案:+=19.已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P在椭圆上.(1)若|PF1|=8,求|PF2|;(2)若F1PF2=,求F1PF2的面积.解:(1)由椭圆方程知a=10,由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=20.所以|PF2|=20-|PF1|=20-8=12.(2)由a=10,b=8,c=6.设|PF1|=m,|PF2|=n.由椭圆定义得m+n=20.又|F1F2|=2c=12.在F1PF2中,由余弦定理得,|F1F2|2=m2+n2-2mncosF1PF2=(m+n)2-2mn（1+cos）即122=202-2mn,解得mn=,所以=mnsinF1PF2=.10.(2015高考安徽卷)设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,证明:MNAB.(1)解:由题设条件知,点M的坐标为（a,b）,又kOM=,从而=.进而得a=b,c=2b,故e=.(2)证明:由N是线段AC的中点知,点N的坐标为（,-）,可得=（,）.又=(-a,b),从而有=-a2+b2=(5b2-a2).由(1)可知a2=5b2,所以=0,故MNAB.能力提升练(时间:15分钟)11.在平面直角坐标系中,已知ABC的顶点A(0,-2)和C(0,2),顶点B在椭圆+=1上,则的值是(A)(A) (B)2 (C)2 (D)4解析:由方程得a=2,b=2,c=2.由椭圆定义得|BA|+|BC|=4.由正弦定理得=.12.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为(C)(A)2(B)3(C)6(D)8解析:由题意得F(-1,0),设点P(x0,y0),则=3(-2x02),=x0(x0+1)+=+x0+=+x0+3=(x0+2)2+2,当x0=2时,取得最大值为6.13.如图所示,把椭圆+=1的长轴AB分成8等份;过每个分点作x轴的垂线,交椭圆的上半部分于P1、P2、P7七个点,F1是椭圆的一个焦点,则|P1F1|+|P2F1|+|P7F1|=.解析:由椭圆的对称性知:|P1F1|=|P7F2|,|P2F1|=|P6F2|,|P3F1|=|P5F2|,且|P4F1|=5,所以|P1F1|+|P2F1|+|P3F1|+|P7F1|=(|P7F2|+|P7F1|)+(|P6F2|+|P6F1|)+(|P5F2|+|P5F1|)+|P4F1|=35.答案:3514.设椭圆+=1(ab0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设A、B分别为椭圆的左右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点,若+=8,求k的值.解:(1)根据椭圆方程为+=1(ab0).因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为,所以=,因为离心率为,所以=,解得b=,c=1,a=.所以椭圆的方程为+=1.(2)直线CD:y=k(x+1),设C(x1,y1),D(x2,y2),由消去y得,(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0,所以x1+x2=-,x1x2=,又A(-,0),B(,0),所以+=(x1+,y1)(-x2,-y2)+(x2+,y2)(-x1,-y1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+=8,解得k=.15.(2015高考陕西卷)如图,椭圆E:+=1(ab0),经过点A(0,-1),且离心率为.(1)求椭圆E的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.(1)解:由题设知=,b=1,结合a2=b2+c2,解得a=.所以椭圆E的方程为+y2=1.(2)证明:由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k2),代入+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.由已知0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x20,则x1+x2=,x1x2=.从而直线AP,AQ的斜率之和kAP+kAQ=+=+=2k+(2-k)（+）=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k-2(k-1)=2.精彩5分钟1.(2015甘肃兰州第二次监测)已知椭圆C的中点为O,两焦点为F1,F2,M为椭圆C上的一点,且满足|=2|=2|,则椭圆C的离心率e等于(D)(A)(B)(C)(D)解题关键:关键设出|MF1|,|MO|,|MF2|列出方程表示a,c.解析:过M向椭圆的长轴作垂线,垂足为N,则N为OF2的中点,设|=t,则有|2-|2=|2-|2,即4t2-c2=t2-c2,所以c=t,而a=t,所以e=.2.(2015高考福建卷)已知椭圆E:+=1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是(A)(A)(B)(C)(D)解题关键:关键根据椭圆定义求出a的值,再列出不等式求出e的范围.解析:设椭圆的左焦点为F1,半焦距为c,连接AF1,BF1,则四边形AF1BF为平行四边形,所以|AF1|+|BF1|=|AF|+|BF|=4.根据椭圆定义,有|AF1|+|AF|+|BF1|+|BF|=4a,所以8=4a,解得a=2.因为点M到直线l:3x-4y=0的距离不小于,即,b1,所以b21,所以a2-c21,4-c21,解得0c,所以0b0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.解题关键:关键是数形结合思想及