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大题精做11 圆锥曲线：存在性问题 2019株洲一模已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且轴，的周长为6（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，设为坐标原点，是否存在常数，使得恒成立？请说明理由【答案】（1）；（2）当时，【解析】（1）由题意，的周长为6，椭圆的标准方程为（2）假设存在常数满足条件当过点的直线的斜率不存在时，当时，；当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，联立，化简得，解得，即时，；综上所述，当时，12019宜昌调研已知椭圆的离心率为，短轴长为（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于、两点，是椭圆的上焦点问：是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由22019江西联考已知点为抛物线的焦点，抛物线上的点满足(为坐标原点)，且（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于不同的两点，是否存在实数及定点，对任意实数，都有？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由32019哈三中期末在圆上取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，设线段中点的轨迹为（1）求的方程；（2）试问在上是否存在两点，关于直线对称，且以为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由1【答案】（1）；（2）存在直线或【解析】（1），且有，解得，椭圆的方程为（2）由题可知的斜率一定存在，设为，设，联立，为线段的中点，将代入解得将代入得将代入解得将式代入式检验成立，即存在直线或合题意2【答案】（1）；（2）存在及点，对任意实数，都有【解析】（1）由得点横坐标为，由抛物线定义及得，所以，所以抛物线的方程为（2）假设存在实数及定点，对任意实数，都有，设，联立，得，则，由，得，所以，当时不满足题意，所以，即存在及点，对任意实数，都有3【答案】（1）；（2）存在，【解析】（1）设，则点，将代入圆，可得，的方程为（2）显然，直线存在斜率，设直线的方程为，联立，消去并整理得，化为，设，则，依题意，可得，又，解得，由的中点在直线上，化为，把代入化为，解得（舍去）或，
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