高中数学第一章几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）学案.docx

12.1几个常用函数的导数12.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)1.能根据定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，y，y的导数2能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数1几个常用函数的导数函数导数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)f(x)f(x)f(x)2.基本初等函数的导数公式函数导数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)(1)上述导数公式表是比较全面的，涵盖了基本初等函数中的常数函数、指数函数、对数函数、幂函数和三角函数，其中幂函数的导数公式中幂指数可以推广到全体实数(2)若函数式中含有根式，一般将其转化为分数指数幂的形式，再利用yx的导数公式解决(3)记忆正弦函数、余弦函数的导数时，一要注意函数名的变化，二要注意符号的变化(4)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数(5)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)cos.()(2)因为(ln x)，所以ln x()(3)若f(x)sin x，则f(x)cos x()答案：(1)(2)(3) 已知f(x)，则f(4)()A B.C2 D2解析：选B.因为f(x)，所以f(4). 曲线ysin x在x0处的切线的倾斜角是()A. B.C. D.解析：选D.由题知，ycos x，所以y|x0cos 01.设此切线的倾斜角为，则tan 1，因为0，)，所以. 已知f(x)2x，则f_解析：因为f(x)2x，所以f(x)2xln 2，所以ff(log2e)2log2eln 2eln 2.答案：eln 2探究点1运用导数公式求导数求下列函数的导数(1)y2 018；(2)y；(3)y3x；(4)ylog3x.【解】(1)因为y2 018，所以y(2 018)0.(2)因为yx，所以yx1x x.(3)因为y3x，所以y3xln 3.(4)因为ylog3x，所以y.用公式求函数导数的方法(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解(2)对于不能直接利用公式的类型，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y可以写成yx4，y可以写成yx等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误 1.已知函数f(x)，若f(a)12，则实数a的值为_解析：f(x)，若f(a)12，则或，解得a或a2.答案：或22求下列函数的导数(1)ylg 5；(2)y；(3)y；(4)y2cos21.解：(1)y(lg 5)0.(2)yln.(3)因为yx2x，所以y(x)x.(4)因为y2cos21cos x，所以y(cos x)sin x.探究点2利用导数研究曲线的切线方程(1)求过曲线ysin x上一点P且与过这点的切线垂直的直线方程；(2)已知点P(1，1)，点Q(2，4)是曲线yx2上的两点，求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程【解】(1)因为ysin x，所以ycos x，曲线在点P处的切线斜率是y|xcos .所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为，故所求的直线方程为y，即2xy0.(2)因为y(x2)2x，设切点为M(x0，y0)，则y|xx02x0，又因为直线PQ的斜率为k1，而切线平行于直线PQ，所以k2x01，即x0，所以切点为M.所以所求的切线方程为yx，即4x4y10.1在本例(2)中是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由解：假设存在与直线PQ垂直的切线，因为PQ的斜率为k1，所以与PQ垂直的切线斜率k1，设切点为(x0，y0)，则y|xx02x0，令2x01，则x0，y0，切线方程为y，即4x4y10.2本例(2)中的曲线不变，求过点M(2，3)的切线方程解：设切点为N(x0，y0)，由y2x，则切线方程为yy02x0(xx0)由M(2，3)在切线上，则3y02x0(2x0)，又点N(x0，y0)在曲线上，则y0x，由得x01或3.所以切点为(1，1)或(3，9)则切线方程为y12(x1)或y96(x3)，即2xy10或6xy90.(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解 (2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤1.曲线yex在点A(0，1)处的切线方程为()Ayx1 By2x1Cyex1 Dyx1解析：选A.由条件得yex，根据导数的几何意义，可得所求切线的斜率ky|x0e01，故所求切线方程为yx1.2已知曲线yln x的一条切线方程为xyc0，求c的值解：设切点为(x0，ln x0)，由yln x得y.因为曲线yln x在xx0处的切线方程为xyc0，其斜率为1.所以y|xx01，即x01，所以切点为(1，0)所以10c0，所以c1.1下列函数中，导函数是奇函数的是()Aysin xByexCyln x Dycos x解析：选D.ycos x，ysin x为奇函数，故选D.2曲线ycos x在点P处的切线与y轴交点的纵坐标是()A. B.C. D.解析：选C.因为ysin x，切点为P，所以切线的斜率ky|xsin，所以切线方程为y，令x0，得y，故选C.3已知f(x)ln x且f(x0)，则x0_解析：因为f(x)ln x(x0)，所以f(x)，所以f(x0)，所以x01.答案：14已知点P(e，a)在曲线f(x)ln x上，直线l是以点P为切点的切线，求过点P且与直线l垂直的直线的方程(e是自数对数的底数)解：因为f(x)，所以直线l的斜率klf(e).所以所求直线的斜率为e.因为点P(e，a)在曲线f(x)ln x上，所以aln e1.故所求直线的方程为y1e(xe)，即exye210. 知识结构深化拓展连续的奇函数、偶函数、周期函数的导函数性质如图是奇函数的图象，图是偶函数的图象，图是周期函数的图象观察图中各曲线的切线，可知(1)图中曲线在点A，B处的切线斜率相等，即f(a)f(a)(2)图中曲线在点A，B处的切线斜率互为相反数，即g(a)g(a)(3)图中曲线在不同周期上的同一位置A，B，C处的切线斜率相等，即(aT)(a)(aT)因此，我们可以得到如下结论：(1)奇函数的导数是偶函数例如，ysin x是奇函数，ycos x是偶函数(2)偶函数的导数是奇函数例如，yx2是偶函数，y2x是奇函数(3)周期函数的导数还是周期函数例如，ysin x的最小正周期是2，ycos x的最小正周期也是2. A基础达标1给出下列结论：(sin x)cos x；若f(x)，则f(3)；(ex)ex；(log4x).其中正确的有()A1个 B2个C3个 D4个解析：选D.因为(sin x)cos x，所以正确；f(x)(x2)2x3，则f(3)，所以正确；因为(ex)ex，所以正确；因为(log4x)，所以正确2若幂函数f(x)mx的图象经过点A，则它在点A处的切线方程是()A2xy0 B2xy0C4x4y10 D4x4y10解析：选C.因为函数f(x)mx为幂函数，所以m1.又幂函数f(x)x的图象经过点A，所以，所以f(x)x，f(x)，f1，所以f(x)的图象在点A处的切线方程为yx，即4x4y10.3过曲线ycos x上一点P且与曲线在点P处的切线垂直的直线方程为()A2xy0B.x2y10C2xy0D.x2y10解析：选A.因为ycos x，所以ysin x，曲线在点P处的切线斜率是y|xsin，所以过点P且与曲线在点P处的切线垂直的直线的斜率为，所以所求的直线方程为y，即2xy0.4设曲线yxn1(nN*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1x2xn的值为()A. B.C. D1解析：选B.由题意得xn，则x1x2xn，故选B.5已知点P在曲线y2sincos上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D.因为y2sincossin x，所以ycos x，设P(x0，y0)由题意，知切线的斜率存在，则曲线在点P处的切线的斜率ktan cos x0，所以1tan 1.因为0，所以，故选D.6已知函数f(x)，且f(a)f(a)2，则a_解析：f(x)，所以f(x)，f(a)f(a)2.即2a2a10，解得a1或a.答案：1或7曲线yx3在点(1，1)处的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为_解析：因为y3x2.所以切线的斜率为y|x13123，所以切线方程为y13(x1)，与x轴的交点为，与直线x2的交点为(2，4)所以S4.答案：8设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为_解析：设f(x)ex，则f(x)ex，所以f(0)1.设g(x)(x0)，则g(x).由题意可得g(xP)1，解得xP1.所以P(1，1)答案：(1，1)9求与曲线yf(x)在点P(8，4)处的切线垂直，且过点(4，8)的直线方程解：因为y，所以y()x.所以f(8)8，即曲线在点P(8，4)处的切线的斜率为.所以适合条件的直线的斜率为3.从而适合条件的直线方程为y83(x4)，即3xy200.10点P是曲线yex上任意一点，求点P到直线yx的最小距离解：根据题意设平行于直线yx的直线与曲线yex相切于点P(x0，y0)，该切点即为与yx距离最近的点，如图则在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，即y|xx01.因为y(ex)ex，所以ex01，得x00，代入yex，得y01，即P(0，1)利用点到直线的距离公式得距离为.B能力提升11若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质下列函数中具有T性质的是()Aysin x Byln xCyex Dyx3解析：选A.设函数yf(x)的图象上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1f(x1)，k2f(x2)，若函数具有T性质，则k1k2f(x1)f(x2)1.对于A选项，f(x)cos x，显然k1k2cos x1cos x21有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，f(x)(x0)，显然k1k21无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，f(x)ex0，显然k1k2ex1ex21无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，f(x)3x20，显然k1k3x3x1无解，故该函数不具有T性质故选A.12设f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2 018(x)_解析：由已知f1(x)cos x，f2(x)sin x，f3(x)cos x，f4(x)sin x，f5(x)cos x，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为3，则f2 018(x)f2(x)sin x.答案：sin x13若曲线f(x)x2在点(a，a2)(a0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，求loga的值解：由题意，得f(x)2x3，所以曲线f(x)在点(a，a2)处的切线方程为ya22a3(xa)，令x0，得y3a2，令y0，得x.所以3a2a3，解得a.所以loga2.14(选做题)已知两条