2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题20不等式选讲教学案文（含解析）.docx

不等式选讲【2019年高考考纲解读】本部分主要考查绝对值不等式的解法求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想【重点、难点剖析】 1含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)a；(2)|f(x)|0)af(x)0)(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)0，有f(x)|xa|a2.所以f(x)2.(2)f(3)|3a|.当a3时，f(3)a，由f(3)5，得3a.当0a3时，f(3)6a，由f(3)5，得0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题设可得，f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1，0)，C(a，a1)， ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，)题型二不等式的证明【例2】已知函数f(x)|x1|.(1)解不等式f(x)x1；(2)设函数f(x)的最小值为c，实数a，b满足a0，b0，abc，求证：1.【解析】(1)解f(x)x1，即|x1|x1.当x1时，不等式可化为42xx1，解得x1.又x3时，不等式可化为2x4x1，解得x5.又x3，3x5.综上所得，1x3或3x5，即1x5.原不等式的解集为.【感悟提升】(1)作差法是证明不等式的常用方法作差法证明不等式的一般步骤：作差；分解因式；与0比较；结论关键是代数式的变形能力(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧【变式探究】已知函数f(x)|3x1|3x1|，M为不等式f(x)|ab|.(1)解f(x)|3x1|3x1|6.当x时，f(x)3x13x16x，由6x1，1x；当x时，f(x)3x13x12，又2时，f(x)3x13x16x，由6x6，解得x1，x1.综上，f(x)6的解集Mx|1x1(2)证明2(ab)2a2b22ab1(a2b22ab)a2b2a2b21(a21)(b21)由a，bM，得|a|1，|b|1，a210，b210，|ab|.【变式探究】【2017课标II】已知。证明：（1）；（2）。【答案】(1)证明略；(2)证明略。【解析】（1）（2）因为所以，因此a+b2.【变式探究】已知函数，为不等式的解集（）求；（）证明：当时，【答案】（）；（）详见解析.【解析】（I）当时，由得解得；当时， ；当时，由得解得.所以的解集.（II）由（I）知，当时，从而，因此 【变式探究】设a、b、c、d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd|的充要条件证明(1)因为()2ab2，()2cd2，由题设abcd，abcd得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2， 即(ab)24ab(cd)24cd.因为abcd，所以abcd.由(1)得.若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.综上，是|ab|cd|的充要条件【变式探究】已知q和n均为给定的大于1的自然数设集合M0，1，2，q1，集合Ax|xx1x2qxnqn1，xiM，i1，2，n(1)当q2，n3时，用列举法表示集合A；(2)设s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中ai，biM，i1，2，n.证明：若anbn，则st.(1)解当q2，n3时，M0，1，Ax|xx1x22x322，xiM，i1，2，3可得，A0，1，2，3，4，5，6，7(2)证明由s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，ai，biM，i1，2，n及anbn，可得st(a1b1)(a2b2)q(an1bn1)qn2(anbn)qn1(q1)(q1)q(q1)qn2qn1qn110.所以，st.【举一反三】已知a，b，c均为正数(1)求证：a2b224；(2)若a4b9c1，求证：100.【命题意图】本题主要考查利用均值不等式证明不等式的成立问题意在考查考生的逻辑推理与论证能力解题过程中要注意标明等号成立的条件，以保证过程的完整性【证明】(1)证法一：a，b均为正数，由均值不等式，得a2b22ab，22，a2b222ab24.当且仅当ab时，等号成立(2)(a4b9c)9169343422234241824100.当且仅当a3b9c，且a4b9c1时，等号成立，即当且仅当a，b，c时，原式取等号【感悟提升】不等式证明的基本方法是比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法，其中以比较法和综合法最为基础，使用综合法证明不等式的关键就是通过适当的变换后使用重要不等式或柯西不等式，证明过程注意从重要不等式的形式入手达到证明的目的【变式探究】已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|.【证明】因为3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设知|xy|，|2xy|，从而3|y|，所以|y|0)(1)当a2时，求不等式f(x)8的解集；(2)若xR，使得f(x)成立，求实数a的取值范围解(1)当a2时，由f(x)8，得|2x1|x2|8，即或或得x3或x或x3或x0，所以实数a的取值范围是.【方法技巧】绝对值不等式的成立问题的求解策略(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为af(x)或af(x)的形式(2)转化最值：f(x)a恒成立f(x)mina；f(x)a恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa；f(x)a有解f(x)mina无解f(x)maxa；f(x)4；(2)若不等式f(a)对任意的实数a恒成立，求b的取值范围解(1)当b1时，f(x)|2x1|2x1|4，即x1或x|b1|，所以(2b)2(b1)2，即(3b1)(b1)0，所以b的取值范围为(1，)题型四 不等式的综合应用例4、（2018年全国卷） 选修45：不等式选讲设函数（1）画出的图像；（2）当，求的最小值 【答案】（1）见解析 （2）5【解析】（1）的图像如图所示（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5。【举一反三】（2018年江苏卷）选修45：不等式选讲若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值【答案】4【解析】证明：由柯西不等式，得因为，所以，当且仅当时，不等式取等号，此时，所以的最小值为4【变式探究】已知函数f（x）=x2+ax+4，g(x)=x+1+x1.（1）当a=1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，不等式等价于.当时，式化为，无解；当时，式化为，从而；当时，式化为，从而.所以的解集为.（2）当时， .所以的解集包含，等价于当时.又在的最小值必为与之一，所以且，得.所以的取值范围为.【变式探究】已知a，b都是实数，a0，f(x)|x1|x2|.(1)若f(x)2，求实数x的取值范围；(2)若|ab|ab|a|f(x)对满足条件的所有a，b都成立，求实数x的取值范围【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法，及带绝对值符号的最值问题【解析】(1)f(x)由f(x)2，得或解得x.所求实数x的取值范围为.(2)由|ab|ab|a|f(x)且a0，得f(x)又2，f(x)2.f(x)2的解为x.f(x)2的解为x.所求实数x的取值范围为.【感悟提升】不等式f(a)g(x)恒成立时，要看是对哪一个变量恒成立如果对于aR恒成立，则f(a)的最小值大于等于g(x)，再解关于x的不等式求x的取值范围；如果对于xR不等式恒成立，则g(x)的最大值小于等于f(a)，再解关于a的不等式求a的取值范围【举一反三】已知函数f(x)|xa|2x1|(aR)(1)当a1时，求不等式f(x)2的解集；(2)若f(x)2x的解集包含，求a的取值范围【解析】(1)当a1时，不等式f(x)2可化为|x1|2x1|2，